概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程第6章課件

數(shù)理統(tǒng)計從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計的工作.但是當(dāng)時的統(tǒng)計，只是對有關(guān)事實的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.到了十九世紀末二十世紀初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計學(xué)這門學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是兩個有密切聯(lián)系的學(xué)科,它們都以隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律為研究對象.

但在研究問題的方法上有很大區(qū)別：

概率論

——已知隨機變量服從某分布,尋求分布的性質(zhì)、數(shù)字特征、及其應(yīng)用;

數(shù)理統(tǒng)計

——通過對試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析,尋找所服從的分布和數(shù)字特征,從而推斷總體的規(guī)律性.

它們構(gòu)成了統(tǒng)計推斷的兩種基本形式.這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計的每個分支.概括起來可以歸納成兩大類:參數(shù)估計──根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對分布的未知參數(shù)進行估計.假設(shè)檢驗──根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對分布的未知參數(shù)進行檢驗.數(shù)理統(tǒng)計的核心問題——由樣本推斷總體第6章數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識6.1總體與樣本6.3抽樣分布6.2統(tǒng)計量6.4正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布6.1

總體與樣本一、總體與個體二、樣本與簡單隨機樣本個體：一、總體與個體總體:

所研究的對象的全體,也稱母體.一般用表示某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的某項指標民意測驗的全體對象某林區(qū)的樹木直徑組成總體的單個對象,一般用表示抽樣:從總體中抽取一部分個體的過程隨機抽樣:從總體中隨機抽取一部分個體的過程簡單隨機抽樣:總體中每個個體等可能被抽取的隨機抽樣樣本:經(jīng)抽樣取得的個體的集合二、樣本與簡單隨機樣本簡單隨機樣本:經(jīng)簡單隨機抽樣取得的個體的集合樣本點:樣本中的個體樣本容量:樣本中包含的個體的數(shù)量樣本觀測值:對樣本進行觀測的結(jié)果,以后未經(jīng)聲明抽樣即為簡單隨機抽樣樣本即為簡單隨機樣本常見的要求和敘述:樣本的同分布性和相互獨立性6.2

統(tǒng)計量一、統(tǒng)計量的定義二、常用統(tǒng)計量對所研究的對象收集了有關(guān)樣本的數(shù)據(jù)后,還要對數(shù)據(jù)進行加工和提煉,將樣本的有關(guān)信息,利用數(shù)學(xué)的工具進行加工.引入統(tǒng)計量的概念定義例1

為一個統(tǒng)計量為一個統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量為一個統(tǒng)計量為一個統(tǒng)計量常見統(tǒng)計量:樣本均值樣本方差顯然樣本均方差樣本標準差樣本修正方差顯然樣本k階中心矩樣本k階原點矩顯然6.3

抽樣分布一、2分布二、t分布三、F分布2分布的定義及概率密度一、2分布分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分

2分布的密度函數(shù)的圖形(1)設(shè)且X1,X2相互獨立，則(2)

設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布則分布的可加性2分布的期望和方差(臨界值)例1

查表求臨界值例2設(shè)是來自總體的樣本,又設(shè)試求常數(shù)解因為所以且相互獨立,于是故應(yīng)取則有使服從分布.設(shè)X

～N(0,1),Y

～2(n),

且X,Y相互獨立,

服從自由度為n的t分布.記為

t

～t(n).t分布的定義及概率密度二、t分布稱隨機變量t分布的密度函數(shù)為：查分位數(shù)的重要公式查表求下列臨界值例3例4設(shè)隨機變量隨機變量均服從且都相互獨立,令試求的分布,并確定的值,使解由于故由分布的定義知即服從自由度為4的分布:由三、F分布F分布的定義及概率密度定理證明:例5查表求下列分位數(shù)例6例7設(shè)總體服從標準正態(tài)分布,是來自總體的一個簡單隨機樣本,試問統(tǒng)計量服從何種分布?解因為且與相互獨立,所以再由統(tǒng)計量的表達式,即得6.4

正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布一、一個正態(tài)總體的抽樣分布二、二個正態(tài)總體的抽樣分布樣本均值樣本方差樣本修正方差它們的數(shù)學(xué)期望或方差為一、一個正態(tài)總體的抽樣分布因此定理或-------(1)-------(2)n取不同值時樣本均值的分布n取不同值時的分布推論(1)(2)事實上例1設(shè)為的一個樣本,求:樣本均值的數(shù)學(xué)期望與方差;解由于樣本容量所以于是例2在設(shè)計導(dǎo)彈發(fā)射裝置時,重要事情之一是研究彈著點偏離目標中心的距離的方差.對于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置,彈著點偏離目標中心的距離服從正態(tài)分布這里現(xiàn)在進行了25次發(fā)射試驗,用記這25次試驗中彈著點偏離目標中心的距離的樣本修正方差,試求超過50米的概率.解根據(jù)題意,有于是于是我們可以以超過的概率斷言,超過50米例3從正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本是樣本的均值,若未知,計算概率與解由有而故例4從正態(tài)總體中抽取容量為16的一個樣本,分別為樣本均值和樣本修正求:的方差及概率解根據(jù)題意,得所以若均未知,于是方差.當(dāng)時,則有二、二個正態(tài)總體的抽樣分布定理事實上由(2)式事實上由(2)式例5設(shè)兩個總體與都服從正態(tài)分布今從總體與中分別抽