2021-2022學年山東省臨沂市高一年級上冊學期12月月考數(shù)學試題含答案

2021-2022學年山東省臨沂市高一上學期12月月考數(shù)學試題

一、單選題

1.已知集合'=,8={1,25},則AuB=（）

A{1}B.{-1Q25}c{-1,0151口.{-1，012,5},

【答案】D

【分析】利用并集運算法則進行計算.

[詳解]/U8={-l,0,l}U{l,2,5}={-l,0,l,2,5}

故選：D

y=A/1—X2H----r

2.函數(shù)1的定義域是（）

A.（-刈B.（T，0）U（0，l）c,[-l，0）U（0,l]D（0,1]

【答案】C

>0

【分析】函數(shù)定義域滿足1父*°，求解即可

fl-x2>0

【詳解】由題，函數(shù)定義域滿足〔1工。，解得x?-l，°）U（O，l]

故選：C

3.已知命題P：3x>l,X2-4<0,則力是（）

A.>1,x2-4>0B.<1,x2-4<0

22

C.Vx<ltX-4>0DVX>1,X-4>0

【答案】D

【解析】根據(jù)命題的否定的定義寫出命題的否定，然后判斷.

【詳解】命題P：3x>l,W-4<0的否定是：Vx>l,X2-4>0.

故選：D.

4.方程l^=4-2x的根所在的區(qū)間是（）

A.（叫B.。2）C.（2,3）D.0,4）

【答案】B

【分析】構造函數(shù)/G）=MX+2X-4,確定其單調性，結合零點存在性定理得到結論.

【詳解】令，（x）=lnx+2x-4,顯然/（x）=lnx+2x-4單調遞增，

又因為/（1）=2-4=-2<0/（2）=ln2+4-4=ln2>0

由零點存在性定理可知：/5）=出'+2'-4的零點所在區(qū)間為（1，2）,

所以Inx=4-2x的根所在區(qū)間為（L2）

故選：B

5.1614年蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中為了簡化計算而發(fā)明了對數(shù)方法;

1637年法國數(shù)學家笛卡爾開始使用指數(shù)運算；1770年瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對

數(shù)的互逆關系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù).若5,=2,

lg2=0.3010,貝ijx的值約為（）

A.0.431B.0.430c.0-429D.2.322

【答案】A

【分析】由指對互化原則可知尤=bgs2,結合換底公式和對數(shù)運算性質計算即可.

,c1g21g2lg20.3010……

x=loe,2=-s—==——?---------?0.431

收5l-lg21-0.3010

【詳解】由5、=2得：°2

故選：A.

/'（x）=X

6,函數(shù)'%+1的圖像大致是（）

尸，

O\\___--------上

A.

A

0x

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的正負即可判斷.

【詳解】因為""）一",所以/（X）為奇函數(shù)，所以C錯誤；

當x>°時，所以A,D錯誤，B正確.

故選：B.

7.中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊

長分別為。，6c,三角形的面積S可由公式S=?二5求得，其中

P為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長

滿足。+6=12,c=8,則此三角形面積的最大值為

A.4有B.4而C.8后D.8屏

【答案】C

【分析】由題意，p=10,s=j20（10-a）（10-b）,利用基本不等式，即可得出結論.

【詳解】由題意，p=10,

=J10（10-a）（10-/?）（10-c）=^20（10-?）（10-/>）<而-1°二‘：0二'=舊

此三角形面積的最大值為8逐.

故選C.

【點睛】本題考查三角形的面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題.

8.已知函數(shù)"x）=3”,且函數(shù)g（x）的圖像與/G）的圖像關于對稱，

函數(shù)eG）的圖像與g（x）的圖像關于X軸對稱，設a~f[5）,

A.a<b<cB.b<c<ac.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的對稱關系可以得到g（x）,9（x）的解析式，代入后跟特殊值

0比較可得b最小，然后構造函數(shù)，利用特殊值和函數(shù)的單調性比較4，。的大小即可.

【詳解】因為名卜）的圖像與/G）的圖像關于丁=工對稱，所以g（x）=logsx,又因為

夕（X）的圖像與且6）關于x軸對稱，所以*卜）=一爪，0<"/（2）-3<\

*=g|-|=log3-<00<c=^|-|=-log3-=log32<l

⑵2.⑵2,所以6最?。?/p>

—=V3-=log23=2log,V3

a,c,

h，（A.2=xln2-2

構造右（式）=x_2bg2%,則xln2xln2,

當時，所以〃（X）在T°'In2）上單調遞減，

2

因為0<ln2<l,所以京“，令》=2,得"2）=0,所以'3）>岫戶。，

V3-21og,V3>0=i>V3>21og,A/3=>->-

ac，

又因為a>°,c>0,所以c>a,綜上所述c>0>/

故選：D.

【點睛】比較對數(shù)、指數(shù)、累的大小的方法：

①利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、黑函數(shù)的單調性比較大小;

②借助特殊值或其它的數(shù)值比較大小；

③根據(jù)兩數(shù)之間的關系，構造函數(shù)來比較大小.

二、多選題

9.若。>6>°則（）

11

一<——

A.ac'>be'B.a-c>b-cc.2">2"D.ab

【答案】BCD

【分析】利用特殊值法可以排除A,利用不等式的基本性質可判斷B正確，再利用函

數(shù)的單調性可判斷CD正確.

【詳解】對于A,當c=°時，ac2^bc\故A錯誤；

對于B,不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，故B正確；

對于C,因為y=2'在R上單調遞增，又a>b>0,故2">2〃，故C正確；

對于D,因為'=7在（°48）上單調遞減，又a>b>0,故故D正確.

故選：BCD

10.下列不等式一定成立的是（）

X4+1.

X+-^2y[3B.丁"2

A.x

《堂4"

C.2D,若x<0,…，則XV

【答案】BC

【分析】利用基本不等式可判斷各選項的正誤.

3

X4--<0

【詳解】對于A中，當時，x，所以A不正確:

X4+l21cI21C

~~^x-+—>2,x---=2

對于B中，由xxNx,

x——---->2

當且僅當X時，即》=±1時，等號成立，即X,所以B正確;

，2x2+y2x2+y2x2+y2(x+y)2

x-+y-=-----+---------->^+xy=~~—

對于C中，2222,當且僅當x=N時，等

號成立，所以C正確；

z>o^>0上+*庫=2

對于D中，x<0,可得X,V,可得xyNxy,

當且僅當Xy時，即x=N時，等號成立，即XV,所以D不正確.

故選：BC.

\fa+aY,x>0/

/(%)=",、(a>0

11.若函數(shù)[3+(a-l)x,x<0且"")在R上為單調遞增函數(shù)，則。的值

可以是()

2

A.3B.3C.6D,2

【答案】AD

【分析】由分段函數(shù)單調性可直接構造不等式組求得結果.

a>1

-a-1>0

【詳解】；"x)在R上單調遞增，'3-a+1,解得：a>2,

????的取值可以為選項中的3或2.

故選：AD.

12.已知/(X)為偶函數(shù)，且/(a)為奇函數(shù)，若則()

A.八3)=0B/(3)=/(5)C/(X+3)=/(X-1)D

/(x+2)+/(x+l)=l

【答案】ABC

【分析】A選項，根據(jù)題干條件得到/(r)=/(x)，/(T+1)=-/(X+I),利用賦值

法得到/⑴二°,〃3)=0,"5)=0,判斷出AB選項，再推導出函數(shù)的周期為4,

故C正確；代入特殊值，判斷D錯誤.

【詳解】A選項，因為/G)為偶函數(shù)，所以/(-x)=/G),

因為/(x+1)為奇函數(shù)，所以/(-x+l)=-/(x+l),

令x=0得：/0)=-/(1),解得：/0)=°,所以/(-1)=/0)=°

令E得/3)一(2+)即?(3)=。，所以/(?。，故A正確

B選項，令x=4得：/(-4+1)=-/(4+1)(即/(-3)=-/(5)

因為，(-3"/。)=。，則-/(力。，所以/(5)=。，所以心/⑸，故B正確

C選項,因為/(r)=/(x),所以/(X+3)=/(T-3),

因為/(r+l)=-/G+l),所以/(—x_2+l)=_/(x+2+i)

即/(*1)=-仆+3),所以/(x+3)=_/(r_i),

/(-x-3)=-/(-x-l)>所以/(-x+2_3)=-/(_x+2-l)

即=+所以/(_*_3)=/(_*+])

所以/㈤的周期為4,/G+3)=/(x-l),故c正確：

D選項，因為/(r+l)=-/(x+l),

所以令x=l得：/(°)=-/(2)=0,解得：/(2)=0,

令小+2)+仆)=】中…得：/(2)+外)=。+。叫故口錯誤

故選：ABC

三、填空題

(*1。&2=

13.

【答案】6-6

【分析】利用指數(shù)騫與對數(shù)運算即可求解.

19-3111

+嘀2=七+血83=-+-log88=-^-

【詳解】

n

故答案為：7.

14.若“VxwR,/_加_2a>0”的否定是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是

[答案](-8,-8]U[0,+OO)

【分析】寫出命題的否命題，根據(jù)二次不等式有解問題，利用根的判別式列出不等式,

求出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】由題意得：*。eR,/-仆-2°40為真命題，

△=/+8“±0,解得：a-8]u[0,+<?）

故答案為：S，-8Moz）

15.已知函數(shù)/（X）=（2、T）+x"+1（〃>°且°*1）的圖象恒過定點P,則點P的坐

標為____________

【答案】（1，2）

【分析】由/°）=2恒成立可得定點坐標.

【詳解】當“1時，/0）=bg“l(fā)+l+l=2,

故答案為：。'2）.

16.若存在常數(shù)左和仙使得函數(shù)尸G）和GO）對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:

F（x）2&+b和G（x）4h+b恒成立，則稱此直線尸去+/,為尸（x）和G（x）的“隔離直

線”.已知函數(shù)WGeR）,g（x）=：（x>°）,若函數(shù)"x）和g（x）之間存在隔

離直線y=2x+g則實數(shù)b的取值范圍是.

【答案】卜2及1]

【分析】根據(jù)“隔離直線”定義可將問題轉化為Vx-bNO和2x2+6x+120在

（0,+/）上恒成立：利用一元二次不等式在區(qū)間內恒成立的求法可構造不等式組求得結

果.

[詳解]由“隔離直線”定義知：+b和一1W2x+6在似+8）上恒成立，

即x2-2x-b>0^2x2+故+120在（°，+8）上恒成立，

若/_2尸此0在（°，+8）上恒成立，則4=4+4640,解得：Z,<-1.

若2，+阮+120在（。，+8）上恒成立，42=〃-8,

A2>0伊-8>0

■_2<o--<0

貝心2?0或[4<,即840或[4<,解得：啦或b>20；

綜上所述：實數(shù)方的取值范圍為卜2&，T[

四、解答題

17.在①/u8=8；②“xe/，，是“xe8，，的充分不必要條件；③4n8=0這三個條

件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.

問題：已知集合"={x|aT4x4"+l},8={x|-14x42}.

⑴當。=2時，求/UB；

(2)若,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴"0'={劉-1,欠43}

(2)答案不唯一，具體見解析

【分析】(1)根據(jù)并集得定義求解即可；

(2)選①，由=得2,列出不等式組，從而可得出答案.

選②，由“xe/”是"xe8?的充分不必要條件，得集合A為集合8的真子集，列出不

等式組，從而可得出答案.

選③，根據(jù)/口8=0列出不等式，解之即可得解.

【詳解】⑴解:當。=2時，/={x|l4x43},B={x\-l<x<2}f

所以/u8={x|—14x43}；

(2)解：若選擇①，AuB=B,則4勺8,

因為/={x1aT?x4a+l},所以”0,又8={x|-14xW2},

所以1a+142,解得：0<?<1,

所以實數(shù)。的取值范圍是［°11

若選擇②,是“xe小，的充分不必要條件，

則集合A為集合8的真子集，

因為“={x|a-14x?a+l},所以六0,

75={x|-l<x<2}

所以L+142,且ZxB,

解得：04a41,

所以實數(shù)。的取值范圍是［°」1

若選擇③，4n8=0,

又因為"={刈"-+5={x|-l<x<2）

所以"1>2或a+l<-l,解得：。>3或…2,

所以實數(shù)”的取值范圍是（f°L2）u（3,+oo）.

18,設函數(shù)/（刈=加+3-2）》+3.

⑴若不等式/（、）>°的解集為（T/），求實數(shù)的值；

⑵若且VxeR,使〃x）<4成立，求實數(shù)。的取值范圍.

p=-3

［答案］⑴W=2

⑵（-91）

【分析】（1）由韋達定理列方程組求解可得;

（2）該問題為恒成立問題，整理后分二次系數(shù)是否等于0兩種情況討論即可.

【詳解】（1）由題意可知：方程”x2+（b-2）x+3=°的兩根是1

三=7+1=0

a

3a=-3

-=(-l)xl=-l

所以〃解得6=2

(2)由/°)=°得b=-a-l

VxeR,?f（x）<4成立，即使辦、0-2）x7<0恒成立,

又因為6=T,代入上式可得-（a+3）x-1<0恒成立.

當。=°時，顯然上式不恒成立；

當aH。時，要使辦一一（"+3）x7<0恒成立

a<0

△解得一

所以=(a+3)+4"<0,9<”_[

綜上可知。的取值范圍是G9，T）.

7

f（x）=A--------（26R）

19.已知函數(shù)31+1、）

（1）若,求函數(shù)/G）的零點；

（2）探索是否存在實數(shù)幾，使得函數(shù)/（X）為奇函數(shù)？若存在，求出實數(shù)%的值并

證明；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）函數(shù)/（X）的零點為1

⑵存在；幾=1；證明見解析

【分析】⑴根據(jù)零點的定義求零點即可；

⑵根據(jù)奇函數(shù)定義域包含零，那么/（°）二°的性質求又，再結合奇函數(shù)的定義去證明

即可.

」/G）=--——

【詳解】⑴當2時，23、+1,

2_1

令/（x）=°得丙一5，所以3"+1=4,解得x=l,

所以函數(shù)/（“）的零點為1.

（2）假設存在實數(shù)幾，使得函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，

因為/（X）的定義域為R，關于原點對稱，

則/'（0）='T=°,所以4=1,此時,

又因為““一37+1-1+3'-.⑴，所以此時/（X）為奇函數(shù)，滿足題意.

故存在實數(shù)/=】，使得函數(shù)/（X）為奇函數(shù).

20,已知函數(shù)，m>0,且“l(fā)）+/（-l）=°.

（1）證明：/（X）在定義域上是增函數(shù)；

⑵若/（x）+M9</（-x）,求x的取值集合.

【答案】（1）證明見解析

⑵{工1-2cx<-1}

【分析】（1）由條件等式，結合對數(shù)運算法則可解出機，即有/G）解析式，用定義法

證2-X的單調性，最后結合復合函數(shù)的單調性即可證明；

（2）結合對數(shù)運算法則得了（一⑼二一/6），即可化簡不等式，最后結合/（X）單調性即

可求得解集.

［詳解］⑴：/（】）+/（_］）=0,?,-In2^+ln27^=ln^

2f（x）-

m=1,又加>0,..機=1,2—x.

2+x.0

由2-x>,解得-2<"2,，/（》）的定義域為（-2,2）.

令gX-2-彳一+2-x,任取再，斗?-2,2）,且為<三,則

g（為）-g（%）=4一六=（2駕2）

又X|_X2c0,2-x,>0；2-%>0,，ga）-g（X2）<0,即g（xj<g（x2）,

又>=lnx在（0,+"）上是增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調性知：/（X）在（一2,2）上是增函

數(shù).

⑵...止xRnE-n念f⑺

，原不等式可化為2/（*）<一叱即八""叫-/（-1）

由（1）知，/（“）是增函數(shù)，，x<T.

又‘（X）的定義域為（一2,2）,x的取值集合為{x12<x<-1}

21.2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產生活造成嚴重影

響.在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，

另一方面逐步復工復產，減輕經濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，

某廠家擬在2020年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠

__J

的年產量）X萬件與年促銷費用/萬元（加20）滿足“=—一心為常數(shù)），如果不搞促

銷活動，則該產品的年銷售量只能是2萬件.己知生產該產品的固定投入為8萬元，

每生產一萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年

8+16x

平均成本的1.5倍（此處每件產品年平均成本按x元來計算）.

（1）求左的值;

（2）將2020年該產品的利潤V萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；

（3）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

y=36!------ni（tn>0）

【答案】⑴人=2；（2）'機+1:⑶投入3萬元時，廠家的利

潤最大為29萬元.

【解析】（1）根據(jù)題意機=°時，*=2可得解；

“2-8+16x

x=4-------1.5x---------

（2）由（1）求出加+1,進一步求出銷售價格X,由利潤=銷售額-固

定成本一再投入成本-促銷費,即可求解.

16

y=36-----m=31-------+(w+1)(w>0)

(2)由(1)機+1,利用基本不等式即可求

解.

【詳解】（1）由題意知，當機=0時，x=2（萬件）,

則2=4-&，解得％=2,

x—4--------

(2)由(1)可得加+1.

、u8+16x

1.5x---------

所以每件產品的銷售價格為x(元)，

y=1.5xx§+16"-8-16x—機=36—————m(m之0)

「?2020年的利潤x〃?+1

(3),??當加20時,加+1>0,

.?.*-+(加+1)22而=8

m+1,當且僅當加=3時等號成立.

.?.”-8+37=29

------=+1

當且僅當〃?+1,即機=3萬元時，為?=29（萬元）.

故該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元.

/（1）=1嗚,一小噫（一）

22.已知函數(shù)I2）（a＞0且a"）.

⑴當4=2時，解不等式/（x）＞log26；

⑵VX€[2“,4〃],/（x）Wl,求實數(shù)a的取值范圍;

（3）在（2）的條件下，是否存在必0e（"+8）,使/G）在區(qū)間依網上的值域

是[logaAlog?a]?若存在，求實數(shù)。的取值范圍；若不存在，試說明理由.

【答案】（1）（4+“）

⑵

（3）不存在；理由見解析

【分析】（1）先求定義域，然后根據(jù)單調性解不等式可得；

（2）將問題轉化為最值問題，然后分0＜。＜1和。＞1,利用單調性求解即可;

（3）利用單調性得到a和4滿足的方程，然后構造函數(shù)，由判別式列式求解可得.

【詳解】⑴。=2時，/（》）=唾2（1）+唾2。-2）=題2（犬-3》+2）

由工一2>°,解得x>2,即函數(shù)定義域為（2，+8）,

因為/(x)>log26,即Iog2(x2-3x+2)>log26

所以-—3X+2>6,

即X2-3X-4>0,解得x<-l或x>4,

又xe（2fl+8）,所