2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市祁東重點中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷-普通用卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市祁東重點中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知m，n為實數(shù)，1?i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程x2A.0 B.1 C.2 D.42.如圖所示，四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，由斜二測畫法，畫出這個梯形的直觀圖O′A′A.24 B.23 C.3.已知在正四面體A?BCD中，M為AB的中點，則直線CMA.12 B.23 C.4.在△ABC中，AC?(A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形5.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P?ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA=ABA.8π B.12π C.20π6.已知向量a=(1,2x)，A.22 B.2 C.27.已知菱形ABCD的邊長為2，菱形的對角線AC與BD交于點O，BA?BO=1，點E是線段A.83 B.43 C.1 8.如圖，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，A.2153a

B.4+

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知復(fù)數(shù)z=?1+3i(i為虛數(shù)單位)，A.w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限 B.|w|=1

C.w的實數(shù)部分為?110.設(shè)向量a=(2,0)A.|a|=|b| B.a與b的夾角是π4

C.11.設(shè)平面向量|a|=1，|b|=2，bA.a?c=c?b B.a12.已知棱長為2的正方體ABCD?A1B1A.所得的截面可以是五邊形 B.所得的截面可以是六邊形

C.該截面的面積可以為33 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為6014.在正方形ABCD?A1B1C1D1中，M、N、Q分別是棱D1C1、A1D1、BC的中點，點P在BD1上且BP=23BD1.則以下四個說法：

15.異面直線a、b所成角為π3，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點C、D分別在直線a、b上，若AC=1，AB=2，16.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BA四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知平面向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，(a+2b)?(2a18.(本小題12.0分)

銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足：asinB=bcos(19.(本小題12.0分)

已知圓錐SO的底面半徑R=5，高H=12．

(Ⅰ)求圓錐SO的母線長；

(Ⅱ)圓錐SO的內(nèi)接圓柱OO′20.(本小題12.0分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積S=tanA，BC邊上的中線長為321.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點．

(1)求證：EF/?/平面PAD．

22.(本小題12.0分)

后疫情時代，很多地方嘗試開放夜市地攤經(jīng)濟，多個城市也放寬了對擺攤的限制.某商場經(jīng)營者也順應(yīng)潮流準備在商場門前擺地攤.已知該商場門前是一塊扇形區(qū)域，擬對這塊扇形空地AOB進行改造.如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域為顧客的休息區(qū)域，陰影區(qū)域為“擺地攤”區(qū)域，點P在弧AB上，點M和點N分別在線段OA和線段OB上，且OA=90cm，∠AOB=π3.記∠POB=θ

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由1?i是關(guān)于x的方程x2?mx+n=0的一個根，

則1+i是關(guān)于x的方程x2?mx+n=0的一個根，

則m=1?i+1+i=2，n2.【答案】A

【解析】解：∵四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，

故OABC的高為1，面積S=12×(1+3)×1=2，

故其直觀圖的面積S′=2×3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)正四面體A?BCD的棱長為2，取BD的中點N，連結(jié)MN，CN則MN/?/AD，∠CMN是CM與AD所成的角，由此能求出直線CM與AD所成角的余弦值．

【解答】

解：如圖，設(shè)正四面體A?BCD的棱長為2，取BD的中點N，

連結(jié)MN，CN，∵M是AB的中點，∴MN/?/AD，

∴4.【答案】A

【解析】解：由(BC+BA)?AC=|AC|2，得(BC+BA)?(BC?BA5.【答案】C

【解析】解：由題意，PC為球O的直徑，PC=4+16=25，

∴球O的半徑為5，

∴球O的表面積為4π?5=20π，

故選：C6.【答案】D

【解析】解：已知向量a=(1,2x)，b=(0,2)，

則a?ba2=4x1+4x2，

①當x=0時，a?ba2=0，

②當7.【答案】B

【解析】解：菱形對角線相互垂直，即∠AOB=90°，

BA?BO=1=|BO|?(|BA|?cos∠ABO)=|BO|2，

故BO=1，即cos∠A8.【答案】B

【解析】解：連接BD，B1D1，

由圖易得，△C1PQ的三邊都在三棱錐B?B1C1D1的三個側(cè)面上，

將三棱錐B?B1C1D1的側(cè)面展開成平面圖形，如圖，

可得四邊形BC1D1C1′為直角梯形，

當C9.【答案】AB【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的實部與虛部的簡單應(yīng)用，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是中檔題．

先根據(jù)條件求出ω；再結(jié)合其定義以及幾何意義即可求得答案．【解答】解：因為復(fù)數(shù)z=?1+3i(i為虛數(shù)單位)，z?為z的共軛復(fù)數(shù)，

則復(fù)數(shù)w=z?z=?1?3i?1+

10.【答案】BC【解析】解：設(shè)向量a=(2,0)，b=(1,1)，

對于選項A，|a|=22+02=2，|b|=12+12=2，即|a|≠|(zhì)b|，即選項11.【答案】BC【解析】【分析】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的定義和運算，也考查了投影向量及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，逐一驗證，即可求解．【解答】解：

設(shè)b與a的夾角為θ，

對于A，當θ為銳角時，a?c=|a|?|c|=|c|,c?b=|c|?|b|cosθ=|c|2，不一定相等，故A錯誤，

對于B.當

12.【答案】BC【解析】解：過正方體中心的平面截正方體所得的截面至少與四個面相交，所以可能是四邊形、五邊形、六邊形，

又根據(jù)正方體的對稱性，截面不會是五邊形，但可以是正六邊形和非正方形的菱形(如圖)，

故A錯誤，BD正確；

因為平面AA1B1B的面積為4，B1C=22<33，平面A1B1CD13.【答案】4

【解析】解：∵a⊥(λb?a)，

∴a?(λb?a)=0，即|a|2=λa?b，

∵向量a，b14.【答案】(2【解析】解：(1)MN//AC，連接AM、CN，

得AM、CN交于點P，即MN?面PAC，所以MN/?/面APC是錯誤的；

(2)平面APC延展，可知M、N在平面APC上，AN/?/C1Q，

所以C1Q//面APC，是正確的；

(3)由BP=23BD115.【答案】11或【解析】解：過點A作AE/?/BD，且AE=BD，連結(jié)ED，CE，

因為異面直線a，b所成角為π3，所以∠CAE=π3或2π3，

AC=1，AE=3，當∠CAE=π3時，CE2=12+32?2×1×3cosπ3=7，解得：CE=7，

當∠CAE=2π3時，CE2=12+32?216.【答案】2116【解析】解：因為AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．

故如圖，建立如圖所示的坐標系．則A(1,0)，連接AC，易證Rt△ACD≌RtACB，

∴∠DAC=∠DAB=60°=17.【答案】解：(1)∵(a+2b)?(2a?b)=2a2?a?b+4a?b?2b2=3a?b?【解析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的公式進行計算即可．

(2)18.【答案】解：(1)因為asinB=bcos(A?π6)，

所以由正弦定理得sinAsinB=sinBcos(A?π6)，

因為B∈(0,π)，sinB≠0，

所以si【解析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角，利用兩角和差關(guān)系得sinA=3cosA，即tanA19.【答案】解：(Ⅰ)∵圓錐SO的底面半徑R=5，高H=12，

∴圓錐SO的母線長L=H2+R2=13；

(Ⅱ)作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，

其中SO=12，OA=OB=5，OK【解析】(Ⅰ)由已知結(jié)合勾股定理求得圓錐的母線長；(Ⅱ)作出圓柱與圓錐的截面圖，把圓柱的軸截面用h表示，然后結(jié)合二次函數(shù)求最值．

本題考查圓柱、圓錐側(cè)面積與體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，是中檔題．

20.【答案】解：(1)△ABC的面積S=12bcsinA，

又S=tanA，

于是得12bcsinA=sinAcosA，

而0<A<π，即sinA>0，

因此bccosA=2，

令邊BC的中點為D，則線段AD是△ABC的中線，有AD=12(AB+AC)，

因此4【解析】(1)利用三角形面積結(jié)合已知求出bccosA，再借助向量數(shù)量積運算律、余弦定理求解作答．

(221.【答案】解：(1)證明：如圖，取PA的中點M，連接MD，MF，

∵F，M分別為PB，PA的中點，∴FM/?/AB，F(xiàn)M=12AB，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB/?/CD，AB=CD，

∵E為CD的中點，∴DE/?/AB，DE=12AB．

∴DE//FM，DE=FM，則四邊形DEFM為平行四邊形，

∴EF/?/DM．

∵EF?平面PAD，DM?平面PAD，

∴EF/?/平面PAD；

(2)存在點Q符合題目條件，且此時PQ：QC=2：1．

取AB的中點H，連接PH交AF于G，在PC上取點Q，使PQ：QC=2【解析】(1)取PA的中點M，連接MD，MF，證明四邊形DEFM為平行四邊形，可得EF/?/DM，由直線與平面平行的判定可得E