隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)

隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函數(shù)(implicitfunction).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可顯化為函數(shù)例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家.的隱函數(shù)客觀存在,但無法將表達(dá)成的顯式表達(dá)式.顯化.2第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二2.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法則

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導(dǎo).變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化？如何求導(dǎo)3第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)解6/7/20234第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二

雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達(dá)式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導(dǎo),

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導(dǎo),就得到一個含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),5第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy6第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例2.解6/7/20237第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例3.求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導(dǎo)故切線方程為即6/7/20238第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二練習(xí)解在題設(shè)方程兩邊同時對自變量求導(dǎo),得解得求由方程所確定的函數(shù)在點處的切線方程.在點處于是,在點處的切線方程為即第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二對數(shù)求導(dǎo)法1.方法:2.適用范圍:先在兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出y的導(dǎo)數(shù).適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù).例如冪指函數(shù)：兩端對x求導(dǎo)：6/7/202310第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例.解等式兩邊取對數(shù)得也可這樣求:6/7/202311第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例.解等式兩邊取對數(shù)得6/7/202312第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二另例兩邊取對數(shù)兩邊對

x求導(dǎo)6/7/202313第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二?由于思考與討論:則第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得6/7/202317第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例.解

所求切線方程為第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例求由擺線的參數(shù)方程所表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).t一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經(jīng)過的軌跡稱為擺線．第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二解第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二練習(xí)：解第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則6/7/202322第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量達(dá)到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向6/7/202323第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三、相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對

t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率6/7/202325第二十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例.一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多