誤差理論設(shè)計與實踐

誤差理論設(shè)計與實踐第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一設(shè)計與實踐分布：第1、3、6學(xué)期每學(xué)期1W或相應(yīng)的學(xué)時物理、科教：加強普物實驗第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一本次課的目的1、掌握誤差、測量等基本概念2、掌握數(shù)據(jù)處理的方法第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一等精度測量：在相同條件下進行的多次測量

測量列：在等精度測量中的一組n

次測量的值

測量分：直接測量間接測量

直接測量分：等精度測量非等精度測量

第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一誤差及偏差

誤差的定義誤差ε＝測量值x－真值a真值：客觀存在的真實值由于真值的不可知，誤差實際上很難計算第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一最佳估計值——算術(shù)平均值算術(shù)平均值理論可證明：當(dāng)測量次數(shù)n→∞，算術(shù)平均值可作為測量結(jié)果：最佳估計值(假定無系統(tǒng)誤差)——近似真實值第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一偏差：測量值與近似真實值的差值為偏差

誤差ε＝測量值x－真值a第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一產(chǎn)生原因：由于測量儀器、測量方法、環(huán)境影響等誤差的分類及其規(guī)律（按性質(zhì)和產(chǎn)生的原因分）（1）系統(tǒng)誤差：在對同一被測量的多次測量過程中，絕對值和符號保持恒定或按某一確定的規(guī)律變化的測量誤差。第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一（2）偶然誤差（隨機誤差）：對同一量的多次重復(fù)測

量中，絕對值和符號變化不定的測量誤差。

產(chǎn)生原因：實驗條件、環(huán)境因素?zé)o規(guī)則的起伏變化、觀察者生理分辨能力等的限制例如：讀數(shù)時的視差影響。特點：①絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大；絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率為零②多次測量時分布對稱（正態(tài)分布），具有抵償性。因此取多次測量的平均值有利于消減隨機誤差。f(ε)-σ0σε第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一直接測量值誤差的估計

假定對一個量進行了n次等精度測量，測得的值為xi(i=1,2，…，n)，可以用多次測量的算術(shù)平均值作為被測量的最佳值(假定無系統(tǒng)誤差)——近似真實值等精度測量：在相同條件下進行的多次測量

測量列：在等精度測量中的一組n

次測量的值

第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一用貝塞爾公式表示意義:表示某次測量值的隨機誤差在之間的概率為68.3％。f(ε)-σ0σε貝塞爾公式注意：若分子是誤差，則標(biāo)準(zhǔn)差：（中學(xué)用此公式）標(biāo)準(zhǔn)偏差

（也稱均方誤差）直接測量值誤差的估計第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一2.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

意義:測量平均值的隨機誤差在之間的概率為68.3%。反映了平均值接近真值的程度。f(ε)-σ0σε第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一一般教學(xué)實驗：測5～10次理論上：測量次數(shù)n→∞，051015

20n平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差實際測量多少次合適？由圖可知：n大于10后，曲線變得較平坦。第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一3、t分布

實際中，測量次數(shù)n不可能趨于無窮。當(dāng)測量次數(shù)較少時，隨機誤差服從的規(guī)律是t分布。正態(tài)分布εf(ε)t分布0t分布的曲線比正態(tài)分布的要平坦，兩者的分布函數(shù)不同，n較小時,t分布偏離正態(tài)分布較多，n較大時,趨于正態(tài)分布第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一t分布標(biāo)準(zhǔn)偏差(正態(tài)分布）t分布與正態(tài)分布的誤差計算關(guān)系第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一t值與測量次數(shù)有關(guān)下表是當(dāng)置信度p=0.95的t值

n34567891015≥100t4.33.182.782.572.452.362.312.262.14≤1.972.481.591.2041.050.9260.8340.7700.7150.553≤0.139所以對一般的教學(xué)實驗，也可用Sx（貝塞爾公式）作為估算誤差的公式。由上表可知，當(dāng)5≤n≤10時，接近1→ΔA≈Sx第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一

與及t分布的誤差估算公式對比測量列中某次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差※測量次數(shù)n為有限次：用t分布（也可用貝塞爾公式）計算直接測量量的誤差。對t分布

第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一測量結(jié)果的不確定度

:用統(tǒng)計方法評定σB:用估算方法評定取儀器誤差σA取偶然誤差合成不確定度

因真值得不到，測量誤差就不能肯定，所以用不確定度的概念對測量數(shù)據(jù)做出評定比用誤差來描述更合理。

不確定度：表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度。第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一儀器不確定度一般?。鹤钚】潭龋ǚ侄戎担┑?/10、1/5、1/2

或最小刻度例：用米尺測量某物的長度為202.5mm,儀器不確定度取0.5mm,即：L=202.5±0.5mm（1）對儀器準(zhǔn)確度未知的（2）對非連續(xù)讀數(shù)儀器（如數(shù)字儀表）取其最末位數(shù)的一個最小單位

第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一（3）已知儀器準(zhǔn)確度如一個量程150mA，準(zhǔn)確度0.2級的電流表測某一次電流，讀數(shù)為131.2mA最大絕對不確定度為ΔI=150×0.2％＝0.3mA測量的結(jié)果：I＝131.2±0.3mA最大絕對不確定度：如：電表第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一電表板面上的符號～交流U磁電系儀表或1.01.0準(zhǔn)確度等級為1.02絕緣強度試驗電壓為2千伏或水平放置或垂直放置Ⅱ二級防外磁場：在強度為400AW/m(5奧斯特)的直流均勻外磁場下，儀表指示值的改變不應(yīng)超過1.0％

BU1.02ⅡB工作環(huán)境：溫度：－20℃～50℃；濕度：95％以下

直流第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一（2）A類不確定度（偶然誤差）較大時：(1)A類不確定度與儀器不確定度相差不大時：可只取儀器不確定度(3)只測一次或A類不確定度很?。阂虿淮_定度

實際中不確定度的處理原則：第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一σx只取1位，下一位0以上的數(shù)一律進位例：的末位與σx所在位對齊，下1位簡單采取4舍5入（1）測量值和不確定度測量結(jié)果的表達：測量值、絕對不確定度和相對不確定度例：算得σx＝2.12……mm取σx＝3mm注：以上為本教材的規(guī)定。不同的教材，有差異。算得R＝910.12Ω,ΔR＝1.234Ω算得t＝10.126s,Δt＝0.0123s第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一有時候還需要將測量結(jié)果與公認(rèn)值或理論值進行比較（即：百分誤差）：相對不確定度與哪個測量不確定度?。恳话闳?位（2）相對不確定度第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一相對不確定度完整的結(jié)果表示或第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例：用50分度的游標(biāo)卡尺測某一圓棒長度L，測量6次，結(jié)果如下（單位mm）：

250.08，250.14，250.06,250.10,250.06,250.10則：測得值的最佳估計值為不確定度（t=2.57)游標(biāo)卡尺的儀器不確定度取0.02mm,即ΔI=0.02mm合成不確定度第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例：用螺旋測微計(分度值：0.01mm）測某一鋼絲的直徑，6次測量值yi分別為：0.249,0.250,0.247,0.251,0.253,0.250;同時讀得螺旋測微計的零位y0為：0.003,單位mm，請給出測量結(jié)果。解：最佳值不確定度

結(jié)果：y=0.247±0.005mm儀器不確定度：ΔI=0.004mm或取1/2分度值0.005mm對于一級千分尺，一般取0.004mm。實驗室一般是一級千分尺。第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一間接測量值不確定度的估計不確定度的傳遞公式第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一（1）（2）完整的結(jié)果表示和相對不確定度哪個簡單，先算哪個！第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一有效數(shù)字及其運算規(guī)則1.有效數(shù)字的一般概念有效數(shù)字由準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成。05101520mm例：13.7mm準(zhǔn)確可疑（估讀）第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一2、有效數(shù)字的運算規(guī)則（1）加減運算的結(jié)果末位以參與運算的小數(shù)位最少者相同。如7.65+8.268=15.92

75-10.356=65（2）乘除運算結(jié)果的有效位數(shù)多少以參與運算的有效位數(shù)最少的相同或多一位。如3.841×2.42=9.304000×9=3.6×1042.000÷0.99=2.00

7.65+)8.268

15.918=15.92可疑取一位可疑

3.841×2.42

76821536476829.29522=9.30注意：不同

3.841×8.42

7682153643072832.34022=32.343位4位下劃線表示可疑位第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一(3)三角函數(shù)、對數(shù)、指數(shù)運算的結(jié)果有效數(shù)字三角函數(shù)：一般取四位例：sin30o07′(4位）＝sin30.12o=0.5018對數(shù)：結(jié)果的有效數(shù)字，其小數(shù)點后的位數(shù)（尾數(shù)）與真數(shù)的位數(shù)相同例：ln15.55=2.7441（4）自然數(shù)1,2,3,…不是測量而得，可以視為無窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，如D＝2R，D的位數(shù)僅由直測量R的位數(shù)決定。4位第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一（5）無理常數(shù)π的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。例如L＝2πR,π應(yīng)比R多取一位，若R＝2.23cm（3位），則π取3.142（4位）,或用計算器輸入π。注：1、不用算誤差時，要用上面的規(guī)定確定有效位數(shù)。

2、若為減少運算中出現(xiàn)過多位時用此規(guī)定，但中間過程可多取1～2位（可疑位）（但不能任意減少），最后由不確定度決定。第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一

例已知一圓柱體的質(zhì)量

,高度

,用千分尺測量得直徑D的數(shù)據(jù)如下表，求圓柱體的密度ρ及不確定度。HD次數(shù)i123456平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一解：次數(shù)i123456平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645=0.00373＝0.0038(mm)查表，n＝6時的t值中間過程可多保留1～2位第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一合成不確定度千分尺的分度值是0.01mm，若儀器不確定度取1/2分度值：

ΔI=0.005mm第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一比參加運算的數(shù)據(jù)中最少的位數(shù)多一位，或就用π表示。第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一用附表中最后一行公式與不確定度所在位對齊（指小數(shù)位）相對不確定度取2位（有效位，不是小數(shù)位）不確定度取1位第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一作圖時要先整理出(或算出）數(shù)據(jù)表格，并要用正規(guī)紙張作圖。用作圖法處理數(shù)據(jù)第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一T(C0)R(Ω)15.020.025.030.035.040.045.050.055.0T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0R(Ω)2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107R－T曲線3.1003.0503.0002.9502.9002.8502.8000.01為2小格數(shù)據(jù)中最后一位準(zhǔn)確位(即數(shù)據(jù)的倒數(shù)第二位）對應(yīng)于整數(shù)格：1C0

為2小格數(shù)字標(biāo)整數(shù)，標(biāo)到可疑位作者：張三日期：2010.3.15.第四十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一不當(dāng)圖例展示：nλ(nm)1.65005007001.67001.66001.70001.69001.6800600400玻璃材料色散曲線圖圖1曲線太粗，不均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細實線。第四十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期