高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)解答題匯總

PAGE概率與統(tǒng)計(jì)解答題1、A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為.（Ⅰ）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；（Ⅱ）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。（Ⅰ）解：設(shè)Aeq\s\do4(i)表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2；Beq\s\do4(i)表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2依題意有P(Aeq\s\do4(1))=2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,9),P(Aeq\s\do4(2))=eq\f(2,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,9),P(Beq\s\do4(0))=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,4),P(Beq\s\do4(1))=2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,2),所求的概率為p=P(Beq\s\do4(0)Aeq\s\do4(1))＋P(Beq\s\do4(0)Aeq\s\do4(2))＋P(Beq\s\do4(1)Aeq\s\do4(2))=eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,9)=eq\f(4,9)…………6分（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3，且~B(3,eq\f(4,9)),∴P(=0)=(eq\f(5,9))3=eq\f(125,729),P(=1)=CEQ\O\ac(\s\up4(1),\s\do4(3))×eq\f(4,9)×(eq\f(5,9))2=eq\f(100,243),P(=2)=CEQ\O\ac(\s\up4(2),\s\do4(3))×(eq\f(4,9))2×eq\f(5,9)=eq\f(80,243),P(=3)=(eq\f(4,9))3=eq\f(64,729)∴的分布列為`0123peq\f(125,729)eq\f(100,243)eq\f(80,243)eq\f(64,729)數(shù)學(xué)期望E=3×eq\f(4,9)=eq\f(4,3)……………12分2、設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）．（Ⅰ）求方程有實(shí)根的概率；（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率．.解:（I）基本事件總數(shù)為，若使方程有實(shí)根，則，即。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為因此方程有實(shí)根的概率為(II)由題意知，，則，，故的分布列為012P的數(shù)學(xué)期望(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，“方程有實(shí)根”為事件N，則，，.3、如圖是在豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”．圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點(diǎn)處相遇，若豎直線段有第一條的為第一層，有二條的為第二層，……，依次類推．現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運(yùn)動(dòng)．記小彈子落入第層第個(gè)豎直通道（從左至右）的概率為．（已知在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個(gè)通道） （Ⅰ）求的值，并猜想的表達(dá)式．（不必證明） （Ⅱ）設(shè)小彈子落入第6層第個(gè)豎直通道得到分?jǐn)?shù)為，其中，試求的分布列及數(shù)學(xué)期望．.……10分所以，的分布列是123所以，．…………12分6、某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為，，...，.由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；（Ⅱ）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列；（Ⅲ）從流水線上任取5件產(chǎn)品，估計(jì)其中恰有2件產(chǎn)品的重量超過505克的概率.解：（Ⅰ）重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量是件2分（Ⅱ）的所有可能取值為0,1,2（只有當(dāng)下述沒做或都做錯(cuò)時(shí)，此步寫對(duì)給1分）,,,（以上（Ⅱ）中的過程可省略，此過程都對(duì)但沒列下表的扣1分）的分布列為0129分（每個(gè)2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)知，抽取的40件產(chǎn)品中有12件產(chǎn)品的重量超過505克，其頻率為，可見從流水線上任取一件產(chǎn)品，其重量超過505克的概率為，令為任取的5件產(chǎn)品中重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)，則，11分故所求的概率為13分HCA1A2B1B2L1L2A37、張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1，A2，A3三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為；LHCA1A2B1B2L1L2A3（Ⅰ）若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（Ⅱ）若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．解：（Ⅰ）設(shè)走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件，則．4分所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為．（Ⅱ）依題意，的可能取值為0，1，2，，．8分隨機(jī)變量的分布列為：012P．11分（Ⅲ）設(shè)選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，所以．12分因?yàn)?，所以選擇L2路線上班最好14分8、某商場(chǎng)一號(hào)電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4層停靠.已知該電梯在1層載有4位乘客，假設(shè)每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的.(Ⅰ)求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；(Ⅱ)用表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(Ⅰ)設(shè)4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為,1分由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是，3分則.6分(Ⅱ)的可能取值為0,1,2,3,4,7分由題意可得每個(gè)人在第4層下電梯的概率均為，且每個(gè)人下電梯互不影響，所以，.9分0123411分.13分9、甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手，乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手，學(xué)校計(jì)劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動(dòng).（Ⅰ）求選出的4名選手均為男選手的概率.（Ⅱ）記為選出的4名選手中女選手的人數(shù)，求的分布列和期望.解：（Ⅰ）事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知3分.5分（Ⅱ）的可能取值為.6分，7分，9分，10分.11分的分布列：12分.13分10、某校選拔若干名學(xué)生組建數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)隊(duì)，要求選拔過程分前后兩次進(jìn)行，當(dāng)?shù)谝淮芜x拔合格后方可進(jìn)入第二次選拔，兩次選拔過程相互獨(dú)立。根據(jù)甲、乙、丙三人現(xiàn)有的水平，第一次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為，，。第二次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為，，。（1）求第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率；（2）分別求出甲、乙、丙三人經(jīng)過前后兩次選拔后合格的概率；（3）設(shè)甲、乙、丙經(jīng)過前后兩次選拔后恰有兩人合格的的概率；解：（1）分別設(shè)甲、乙經(jīng)第一次選拔后合格為事件、；設(shè)E表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，則4分（2）分別設(shè)甲、乙、丙三人經(jīng)過前后兩次選拔后合格入選為事件A、B、C，則，，。8分（3）經(jīng)過前后兩次選拔后合格入選的人數(shù)為，則、1、2、3。則，，（或者）。的概率分布列為0123P。12分11、某工廠有120名工人，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數(shù)按[20，30)，[30,40)，[40，50)，[50，60]分組，其頻率分布直方圖如下圖所示.工廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，引進(jìn)了新的生產(chǎn)設(shè)備，要求每個(gè)工人都要參加A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試，已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示.假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的，結(jié)業(yè)考試也互不影響。年齡分組A項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)B項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)[20，30)3018[30，40)36[40，50)129[50,60]43(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個(gè)容量為40的樣本，求各年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)，并估計(jì)全廠工人的平均年齡；(2)隨機(jī)從年齡段[20，30)和[30,40)中各抽取1人，設(shè)這兩人中A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解：（1）由頻率分布直方圖知，年齡段的人數(shù)的頻率分別為因?yàn)樗阅挲g段應(yīng)取的人數(shù)分別為14；16；6；4；………………3分因?yàn)楦髂挲g組的中點(diǎn)值分別為25；35；45；55；對(duì)應(yīng)的頻率分別為則由此估計(jì)全廠工人的平均年齡為35歲.………6分（2）因?yàn)槟挲g段的工人數(shù)為人，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率；B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率所以A,B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為。………8分因?yàn)槟挲g段的工人數(shù)為人，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率；B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率。所以A,B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為?！?0分由題設(shè)X的可能取值為0,1,2；,?！?2分12、某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)x681012y2356（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（3）試根據(jù)（II）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力。（相關(guān)公式：）解：（Ⅰ）如右圖：┄┄┄┄┄┄┄┄3分(Ⅱ)解：=62+83+105+126=158， =，=， ，，，故線性回歸方程為．┄┄┄┄┄┄┄┄10分(Ⅲ)解：由回歸直線方程預(yù)測(cè)，記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.┄┄┄┄12分13、某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為50的學(xué)生成績(jī)樣本，得頻率分布表如下：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第一組80.16第二組①0.24第三組15②第四組100.20第五組50.10合計(jì)501.00(1)寫出表中①②位置的數(shù)據(jù)；(2)為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核人數(shù)；(3)在(2)的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生，求2人中至少有1名是第四組的概率．解：(1)①②位置的數(shù)據(jù)分別為12、0.3；………4分(2)第三、四、五組參加考核人數(shù)分別為3、2、1；……………8分(3)