數(shù)學(xué)分析第十七章課件隱函數(shù)存在性定理

第十七章隱函數(shù)存在定理

前面關(guān)于隱函數(shù)（組）的微分法都假定：隱函數(shù)存在，且它們的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)也存在。本章：存在性問題及連續(xù)性、可微性。1優(yōu)秀課件，精彩無限！§1單個(gè)方程的情況曲面與面的交線唯一確定隱函數(shù)曲面必須與相交

（1）連續(xù)（1）連續(xù)曲線存在,使（2）可微（2）存在切線交線2優(yōu)秀課件，精彩無限！曲面在點(diǎn)有切平面且切平面的法線不平行于軸（即切平面不是平面）切平面的法向量為與不共線（即不能同時(shí)為零）交線存在切線，意味著一元函數(shù)的可微性，也要求3優(yōu)秀課件，精彩無限！定理17.1：設(shè)滿足下列條件：在D：，上連續(xù)（3）（1）（2）4優(yōu)秀課件，精彩無限！則使得在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，方程唯一地確定一個(gè)定義在區(qū)間內(nèi)的隱函數(shù)，定義在內(nèi)滿足

,且（2）在上連續(xù)在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且（3）（1）存在5優(yōu)秀課件，精彩無限！條件（1）在D連續(xù)條件（3）不妨設(shè)對(duì)每個(gè)關(guān)于嚴(yán)格單調(diào)上升,特別固定嚴(yán)格單調(diào)上升又，所以要證（1）：有任意使在D（不妨設(shè)），證明：6優(yōu)秀課件，精彩無限！取故對(duì)任意，關(guān)于連續(xù)且唯一7優(yōu)秀課件，精彩無限！則：（1）存在使得在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，方程唯一地確定一個(gè)定義在區(qū)間內(nèi)的隱函數(shù)，定義在內(nèi)滿足且（2）在上連續(xù)(證明略)在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且（3）(證明略)可將條件（3）改為，結(jié)論應(yīng)改為？8優(yōu)秀課件，精彩無限！例1．方程能否在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)確定隱函數(shù)或？9優(yōu)秀課件，精彩無限！解：令則，他們都在全平面上連續(xù)，而故方程在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可唯一地確定可微的隱函數(shù)它定義在，使得，但由于，據(jù)此無法斷定是否在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在。，，。有隱函數(shù)10優(yōu)秀課件，精彩無限！例2．。由知,當(dāng)，確定可微的隱函數(shù)上任何在這個(gè)鄰域內(nèi)可唯一11優(yōu)秀課件，精彩無限！定理17.2滿足下列條件：，

（ii）；

(iii)則（i）偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)

.12優(yōu)秀課件，精彩無限！存在的一個(gè)鄰域，使得在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，方程唯一地確定了一個(gè)定義在的元隱函數(shù)，滿足。換句話說，存在函數(shù)，使得當(dāng)時(shí)；且；13優(yōu)秀課件，精彩無限?。?）內(nèi)連續(xù)；內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，

.（3）14優(yōu)秀課件，精彩無限！例3

設(shè)

,問方程是否在原點(diǎn)地確定可微函數(shù)，其中屬于某個(gè)領(lǐng)域，使得.如可能，求的某鄰域唯一點(diǎn)的解：令

.顯然的偏導(dǎo)數(shù)，且

,由，知，存在，使得在有唯一的可微函數(shù)，滿足：在全平面有連續(xù)15優(yōu)秀課件，精彩無限！，.且16優(yōu)秀課件，精彩無限！第2節(jié)方程組的情況問題：由能否唯一確定17優(yōu)秀課件，精彩無限！定理17.3的某個(gè)領(lǐng)域元有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（初始條件）；

則(ii)(i)在點(diǎn)(iii)設(shè)函數(shù)滿足：內(nèi)F，G對(duì)各變

.18優(yōu)秀課件，精彩無限！(1)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)，方程組唯一地確定一組函數(shù)，它們定義在的某鄰域D內(nèi)，當(dāng)滿足，，且

；(1)，19優(yōu)秀課件，精彩無限！(2)(3)，且，20優(yōu)秀課件，精彩無限！注：條件(iii)在定理中的地位和作用與定理17.1中的條件的地位和作用相當(dāng)，它對(duì)于隱函數(shù)組的存在性、連續(xù)性和可微性都是重要的。另外，結(jié)論(3)中公式的推導(dǎo)方法就是我們?cè)诘谑碌?節(jié)中介紹的隱函數(shù)組求導(dǎo)法，因此公式不必死2記硬背，重要的是掌握求導(dǎo)方法。21優(yōu)秀課件，精彩無限！例1.

設(shè)有方程組討論在的某鄰域能否確定隱函數(shù)組.又問在點(diǎn)的某鄰域能否確定函對(duì)確定的函數(shù)組求其偏導(dǎo)數(shù)。數(shù)組22優(yōu)秀課件，精彩無限！解:

顯然F，G在全平面上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。又，，，23優(yōu)秀課件，精彩無限！因此在，但在點(diǎn)的附近難言是否可唯一確定

.求函數(shù)點(diǎn)的某鄰域方程組可以唯一地確定一組可微函數(shù)函數(shù)組和數(shù)，在方程組兩邊對(duì)的偏導(dǎo)求偏導(dǎo)數(shù)，得:

.在方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得:,解得24優(yōu)秀課件，精彩無限！

定理17.4

設(shè)函數(shù)組(6)滿足：的某鄰域D內(nèi)對(duì)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；，(iii).,解得:(i)在(ii)；25優(yōu)秀課件，精彩無限！則在的某鄰域內(nèi)存在唯一的一組反函數(shù)使得，，且當(dāng)

(1)有，.，，其中.26優(yōu)秀課件，精彩無限！推論1

在定理17.4的條件下有27優(yōu)秀課件，精彩無限！例2.

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換為因?yàn)樗猿醋鴺?biāo)原點(diǎn)，外，變換的逆變換存在，即有28優(yōu)秀課件，精彩無限！內(nèi)容小結(jié)隱函數(shù)存在性定理隱函數(shù)的連續(xù)性隱函數(shù)的可微性隱函數(shù)的求導(dǎo)方法29優(yōu)秀課件，精彩無限！習(xí)題1、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且在與點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)唯一確定一組單值、連續(xù)且具有證明:函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)30優(yōu)秀課件，精彩無限！解:,則有由定理可知結(jié)論成立①式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).①②31優(yōu)秀課件，精彩無限！從方程組②解得同理,①式兩邊對(duì)y求導(dǎo),可得32優(yōu)秀課件，精彩無限！2、

驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令則①連續(xù)；②③由定理可知,在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可導(dǎo)的隱函數(shù)33優(yōu)秀課件，精彩無限?。?、試討論方程組在點(diǎn)的附近能否確定形如的隱函數(shù)．４、求下列函數(shù)組的反函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)；34優(yōu)秀課件，精彩無限！補(bǔ)充題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),1.

設(shè)解:兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得(2001考研)解得因此35優(yōu)