2022-2023學(xué)年黑龍江省雙鴨山市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省雙鴨山市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部之和為（

）A．3 B． C．1 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可得，從而可得其實(shí)部和虛部之和.【詳解】，故其實(shí)部為，虛部為，兩者的和為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法以及復(fù)數(shù)的虛部和實(shí)部，注意復(fù)數(shù)的虛部為，本題屬于基礎(chǔ)題.2．中，角，，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可直接求出.【詳解】由余弦定理得，.故選：C.3．向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用坐標(biāo)求得與同向的單位向量，由可知所求向量為.【詳解】，與同向的單位向量，又，所求投影向量為.故選：C.4．已知直線和平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，即可判斷.【詳解】對(duì)A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線平行可知，C正確；對(duì)D：若，，則與可能平行、可能相交、可能異面，故D錯(cuò)誤.故選：C5．如圖，在△ABC中，，，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加法法則，即可求解.【詳解】解：由題意得：，故選：D.6．一個(gè)水平放置的三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形如圖所示，若，那么原的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法可得原三角形的底邊及高，進(jìn)而可求原三角形的面積.【詳解】因?yàn)槿切蔚男倍?cè)直觀圖是等腰直角三角形，所以的底．斜邊，則為直角三角形，高．所以直角三角形的面積是．故選：B．7．空間四邊形中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則異面直線，所成的角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】取AC中點(diǎn)G，連接EG、FG，可知∠EGF或其補(bǔ)角即為異面直線AD，BC所成的角，在△EFG中，由余弦定理可得cos∠EGF，結(jié)合角的范圍可得答案．【詳解】取AC中點(diǎn)G，連接EG、FG，由三角形中位線的知識(shí)可知：EGBC，F(xiàn)GAD，∴∠EGF或其補(bǔ)角即為異面直線AD，BC所成的角，在△EFG中，cos∠EGF，∴∠EGF＝120°，由異面直線所成角的范圍可知應(yīng)取其補(bǔ)角60°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，涉及解三角形的應(yīng)用，屬中檔題．8．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用正弦定理和銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故選：A二、多選題9．已知兩點(diǎn)，，則與向量垂直的單位向量（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】設(shè)，根據(jù)單位向量的模長(zhǎng)公式以及向量垂直的坐標(biāo)表示列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，設(shè)，則且，所以，解得或，所以或.故選：AB10．，是三個(gè)平面，是兩條直線，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐個(gè)分析可得答案.【詳解】對(duì)于A，若，由平面與平面平行的性質(zhì)可得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若，當(dāng)與相交時(shí)，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若則與無(wú)公共點(diǎn)，因?yàn)?，所以與無(wú)公共點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，，則或與相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BD.11．在中，設(shè)所對(duì)的邊分別為，則以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則為等腰三角形.B．若，則C．若，則是銳角三角形.D．若，則一定是一個(gè)鈍角三角形.【答案】BD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)正弦定理及大邊對(duì)大角的性質(zhì)可判斷B，由余弦定理以及銳角三角形的定義判斷C，根據(jù)已知條件及余弦定理判斷D.【詳解】，，或，即或，為等腰或直角三角形，故A錯(cuò)誤；，由正弦定理可知，，故B正確；因?yàn)椋?，所以，而角、角不一定是銳角，所以不一定是銳角三角形，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則解得，則，因?yàn)?，所以是鈍角，故D正確.故選：BD12．在正四面體中，若，為的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．正四面體的體積為B．正四面體外接球的表面積為C．如果點(diǎn)在線段上，則的最小值為D．正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓柱的側(cè)面積的最大值為【答案】BCD【分析】由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用棱錐的體積公式求體積，并確定外接球的半徑求表面積，展開側(cè)面，要使最小，只需共線，結(jié)合余弦定理求其最小值，根據(jù)正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱底面圓與其中截面正三角形關(guān)系求半徑、體高，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求側(cè)面積最大值.【詳解】由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，故棱長(zhǎng)為2，如下圖示，為底面中心，則共線，為體高，故，所以，故正四面體的體積為，A錯(cuò)誤；由題設(shè)，外接球球心在上，且半徑，所以，則，故外接球的表面積為，B正確；由題意知：將面與面沿翻折，使它們?cè)谕粋€(gè)平面，如下圖示，所以且，，又，而，要使最小，只需共線，則，所以，C正確；如下圖，棱錐中一個(gè)平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長(zhǎng)為，則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，所以其側(cè)面積，故當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：BCD三、填空題13．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則________.【答案】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以且，解得.故答案為：14．若一個(gè)圓錐的側(cè)面是半徑為6的半圓圍成，則這個(gè)圓錐的表面積為________.【答案】【分析】求出底面半徑，代入公式即可.【詳解】因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，所以圓錐的表面積為.故答案為：.15．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為．【答案】【詳解】試題分析：設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，則三棱錐的體積為即【解析】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算四、雙空題16．已知銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別，角．若是的平分線，交于，且，則的最小值為________；若的外接圓的圓心是，半徑是1，則的取值范圍是________．【答案】.【分析】(1)由已知利用，可得，然后利用“”的代換，基本不等式即可得出結(jié)果.(2)根據(jù)銳角三角形的角度范圍，表示出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】(1)由是的平分線，得，又，即，化簡(jiǎn)得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)．(2)，=，是銳角三角形，，，．故答案為：；.五、解答題17．如圖為長(zhǎng)方體與半球拼接的組合體，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10，8，15（單位：cm），球的直徑為5cm，(1)求該組合體的體積；(2)求該組合體的表面積.【答案】(1)（cm3）(2)（cm2）．【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體和球的體積公式可求出組合體的體積；（2）根據(jù)長(zhǎng)方體和球的表面積公式可求出組合體的表面積；【詳解】（1）根據(jù)該組合體是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)半球組合而成．由已知可得，又，所以所求幾何體體積為：，（2）因?yàn)殚L(zhǎng)方體的表面積，半球的底面積，球的表面積，故所求幾何體的表面積為.18．已知向量.(1)若，求；(2)若向量與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)；(2)且.【分析】(1)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可求出k，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式即可計(jì)算；(2)若向量與的夾角是鈍角，則＜0且與不反向，根據(jù)數(shù)量積即可運(yùn)算.【詳解】（1）∵，∴，解得，∴.（2）∵與的夾角是鈍角，∴，且與不反向，即且，∴且.19．如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，平面ABCD，，，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．(1)證明：平面PBE；(2)證明：；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取PB中點(diǎn)，連接FG，EG，證明，根據(jù)鮮明平新的判定定理即可證明結(jié)論；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論.【詳解】（1）證明:取PB中點(diǎn)，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn),所以，，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以，且，所以，，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以,因?yàn)槠矫鍼BE，平面PBE，故平面PBE.（2）證明:由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面,所以.20．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，且.(1)求；(2)若，求的面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡(jiǎn)求解作答.（2）利用余弦定理結(jié)合均值不等式求出的最大值，再由面積定理求解作答.【詳解】（1）在中，，由及正弦定理得：，即，，于是得，又，即，則，因，所以.（2），由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因此，，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的面積的最大值為.21．如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，交于點(diǎn)，，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成的角．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用已知條件結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面角的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）在正方形中，，因?yàn)椋?，又因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，則，而，∴，而，又平面，∴平面（2）連接，如圖所示：∵為正方形，，∴，而平面，∴平面，∴為直線與平面所成的角，∵，∴，所以直線與平面所成的角為.22．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)求的取值范圍；(3)若D是AC邊上的一點(diǎn)，且，，當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）先由向量的數(shù)量積