2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】.故選：B.2．已知向量，，則（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運算的坐標(biāo)表示求出的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)求出模作答.【詳解】向量，，則，所以.故選：B3．在△ABC中，，，，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】利用正弦定理求得，進(jìn)而求得.【詳解】由正弦定理得，所以，由于，所以為銳角，所以.故選：B4．在中，若為邊上的中線，點在上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角形法則和平行四邊形法則表示向量.【詳解】如圖所示，在中，因為為邊上的中線，所以為的中點，所以由平行四邊形法則有：，又點在上，且所以，所以，故選：A.5．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．沿軸向左平移個單位 B．沿軸向右平移個單位C．沿軸向左平移個單位 D．沿軸向右平移個單位【答案】C【解析】利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，即可得到函數(shù)的圖象，故選：C【點睛】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．6．小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（

）A．20m B．30m C．20m D．30m【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運算求解.【詳解】，由題意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.故選：D.7．已知向量，滿足，，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)及相關(guān)公式求出，再根據(jù)投影向量的計算公式即可求解.【詳解】由，得，則，即，則，所以向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.故選：.8．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積，設(shè)是邊的中點，若，則等于（

）.A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】由面積公式及余弦定理求出，即可得到與的夾角為，再由面積公式求出，最后由數(shù)量積的定義計算可得.【詳解】由，又，所以，所以，又，所以，所以與的夾角為，由面積公式，解得，即，因為是邊的中點，所以，所以．故選：A．二、多選題9．邊長為2的等邊中，為的中點.下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】由向量加減法法則，可以判斷選項ABD，再由向量數(shù)量積公式可判斷C.【詳解】根據(jù)向量加法法則可知，，故A正確；根據(jù)向量減法法則可得，故B錯誤；由向量數(shù)量積公式得，故C正確；根據(jù)向量加法法則可知，，所以D正確.故選：ACD.10．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（

）.A．是的充要條件B．若，，，則有兩解C．若為鈍角三角形（C為鈍角），則D．若為斜三角形（若一個三角形不包含直角，則稱此三角形是斜三角形），則【答案】ABD【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角恒等變換的知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，若，則，所以，所以是的充要條件，故A選項正確；對于B選項，，則，如圖：所以有兩解，B選項正確；對于C選項，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得，C選項錯誤；對于D，因為，所以因為，所以，所以，所以D正確.故選：ABD.11．設(shè)點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點在線段上B．若，則點是的重心C．若，則點的軌跡必過的內(nèi)心D．若，且，則的面積是面積的【答案】BCD【分析】利用平面向量的線性運算可判斷A選項；利用平面向量的線性運算以及三角形重心的定義可判斷B選項；利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及平面向量的線性運算可判斷C選項；利用平面向量的線性運算以及三角形面積的關(guān)系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，則，可得，所以，點在射線上，且點為線段的中點，A錯；對于B選項，設(shè)點為線段的中點，則，因為，此時點為重心，B對；對于C選項，因為，則，因為、分別是與、方向相同的單位向量，記住，，以、為鄰邊作平行四邊形，則四邊形為菱形，則平分，且，即，此時，點的軌跡必過的內(nèi)心，C對；對于D選項，因為，且，所以，且，設(shè)，則，即，即，所以，、、三點共線，又因為，所以為的中點，如圖所示：所以，故D正確.故選：BCD.12．在中，記角所對的邊分別為，若，則（

）A．B．C．內(nèi)角的最大值為D．面積的最小值為【答案】BC【分析】先由向量的數(shù)量積公式計算判斷A選項，再結(jié)合余弦定理公式計算判斷B選項，再結(jié)合基本不等式和余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C選項，最后利用面積公式結(jié)合bc的范圍判斷D選項.【詳解】，故A選項錯誤；因為，所以，故B選項正確；因為，所以，所以，故C選項正確；因為，所以，故D選項錯誤.故選：BC.三、填空題13．已知向量，，若，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【分析】已知，則它們數(shù)量積小于0且兩向量不為相反向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，共線向量的坐標(biāo)表示，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：已知，則它們數(shù)量積小于0且兩向量不為相反向量，所以，若為相反向量,則兩向量共線，有，，所以實數(shù)的取值范圍是且.故答案為：.14．一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東，距離海里，燈塔C在A的北偏西，距離為海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東方向，則__________．【答案】/【分析】在中，利用正弦定理求出，在中，先利用余弦定理求出，再利用余弦定理即可得解.【詳解】如圖，在中，，則，因為，所以，在中，，則，所以，則.故答案為：.15．已知，是兩個不共線的向量，，，若與共線，則______.【答案】/【分析】利用向量共線求出，再利用二倍角的正弦公式結(jié)合齊次式法求值作答.【詳解】依題意，由與共線，得，而，，于是，即，又，不共線，因此，解得，所以.故答案為：16．在銳角三角形中，內(nèi)角所對的邊滿足，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】先利用余弦定理結(jié)合可得，再利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求出的關(guān)系，從而可將都用表示，再根據(jù)三角形為銳角三角形求出的范圍，再根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因為為銳角三角形，則，所以，又因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，則，因為，所以，則，因為存在最大值，則，解得．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用余弦定理和正弦定理結(jié)合已知條件求得.四、解答題17．已知向量，滿足，，且，的夾角為45°．(1)若，求實數(shù)k的值；(2)求與的夾角的余弦值．【答案】(1)k；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示，列式計算作答.（2）根據(jù)給定條件，利用向量夾角的計算公式計算作答.【詳解】（1）因，，與的夾角為45°，則，又，則，解得，所以實數(shù)k的值是.（2）由（1）知，，，，因此，，所以與的夾角的余弦值.18．在條件：①，②，③，且，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中：中，內(nèi)角、、所對邊長分別是、、.若，，______.(1)求；(2)求的面積.（注意：選擇多個條件時，按你第一個選擇結(jié)果給分.）【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選擇條件①：由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡得出，求出的取值范圍，即可得出的值；選擇條件②：利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選擇條件③：利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）解：選擇條件①：由正弦定理知，，，，，，化簡得，，則，，即，，則，則，即；選擇條件②：，，由余弦定理知，，；選擇條件③：，，且，，由正弦定理知，，則，、，則，，則，故.（2）解：由三角形的面積公式可得.故的面積為.19．中，、、分別為角、、的對邊，，，且.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）本題首先可根據(jù)得出，然后通過三角恒等變換得出，最后根據(jù)得出；（2）本題首先可根據(jù)余弦定理得出，然后與聯(lián)立求出、的值，最后根據(jù)解三角形面積公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，因為，，所以，即，，因為，所以，故，解得.（2）因為，，所以，聯(lián)立，解得或，當(dāng)時，的面積；當(dāng)時，的面積，故的面積為或.【點睛】本題考查解三角形相關(guān)問題的求解，考查通過三角恒等變換求角的大小，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查余弦公式以及解三角形面積公式的應(yīng)用，若兩個向量互相垂直，則這兩個向量的數(shù)量積為，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是中檔題.20．的內(nèi)角的對邊分別為，．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知，再根據(jù)正弦定理邊角互化并整理得，進(jìn)而得答案；（2）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換得，進(jìn)而結(jié)合已知條件得，再求解正弦值即可.【詳解】（1）解：因為，所以，即，所以，正弦定理可得，因為，所以，因為，．所以，因為，所以．（2）解：因為，所以，由正弦定理得．又因為，，所以，整理可得，即，所以，因為，所以或，即或，因為，所以，．21．在近年，中國采用“吹沙填?！钡姆绞剑晒⒉糠中u礁連成一片，可以進(jìn)而形成一個大島礁．已知南海上存在、、、四個小島礁，它們在一條直線上且滿足，若通過“吹沙填?！钡姆绞浇ǔ闪巳鐖D所示一個矩形區(qū)域的大島礁，其中米．(1)為線段上一點，求最小值；(2)為線段上一點，求的最小值；(3)因特殊原因，劃定以圓心，為半徑的圓的區(qū)域為“隔離區(qū)”，擬建造一條道路，使與該“隔離區(qū)”的邊界相切，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)8000(2)(3)【分析】(1)取中點，將原問題轉(zhuǎn)化為向量求模即可；(2)根據(jù)余弦定理及第一問的結(jié)果可以求解；(3)由于MN，MB都是圓A的切線，連接AM，利用以及切線之間的幾何關(guān)系，再利用面積公式求解即可.【詳解】（1））取中點，，當(dāng)且僅當(dāng)點位于中點時等號成立，∴最小值為8000；（2）由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即點立位于中點時等號成立，的最小值為；（3）設(shè)與圓切于點，連接，，設(shè)，，則，，，，∴的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立時等號成立，四邊形CDNM的最大值為：；綜上，最小值為8000，的最小值為，四邊形CDNM的最大值為：.22．已知向量，，函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式和對稱軸方程；(2)若a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，，，試判斷這個三角形解的個數(shù)，并說明理由；(3)若時，關(guān)于x的方程恰有三個不同的實根，，，求實數(shù)的取值范圍及的值.【答案】(1)，對稱軸方程為(2)見解析；(3)，【分析】（1）利用三角恒等變換得到，求出對稱軸方程；（2）先求出，再根據(jù)與及b的大小關(guān)系判斷這個三角形解的個數(shù)；（3）將方程化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為要有兩個不同于的根，數(shù)形結(jié)合得到數(shù)的取值范圍及的值.【詳解】（1），令，解得：，故對稱軸方程為：（2），因為，所以，故，解得：，當(dāng)時，此時，故此時三角形解的個數(shù)為0，即不存在這樣的三角形；當(dāng)時，此時，此時三角形解的個數(shù)為1，且∠B為直角