第十一講二元隨機變量函數(shù)的分布

第十一講二元隨機變量函數(shù)的分布第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一一、二元連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義3.6

（P54）

對于二維隨機變量(X,Y)，若存在一個非負(fù)可積函數(shù)，使對(x,y)R2，其分布函數(shù)則稱(X,Y)為二元連續(xù)型隨機變量，

為(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為(X,Y)～，(x,y)R2二元連續(xù)型隨機變量第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一聯(lián)合密度的性質(zhì)(P54)(1)非負(fù)性：0,(x,y)R2;(2)歸一性：(4)重要公式:對于任意平面區(qū)域GR2,第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一邊際密度函數(shù)（P55）第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一三、連續(xù)型隨機變量的條件分布(P57)第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一四、隨機變量的獨立性（P58）定理：隨機變量X與Y獨立的充分必要條件是

F(x,y)=FX(x)FY(y) 定理：

設(shè)(X,Y)是二元連續(xù)型隨機變量，X與Y獨立的充分必要條件是第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一要求：

（1）會由二元連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度求邊際密度并能進(jìn)行簡單的相關(guān)概率計算。

(2)兩個隨機變量相互獨立時，聯(lián)合分布與邊際分布的關(guān)系。第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

在第二章中，我們討論了一元隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:我們只討論幾種特殊情形：當(dāng)隨機變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù)

Y=g(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的分布?第十一講二元隨機變量函數(shù)的分布第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一一、二元離散型隨機變量函數(shù)的分布（P60）或

Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…（其中g(shù)(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。）一般地若隨機變量X的分布列為：XPk而隨機變量Y是X的函數(shù)，Y=g(X)，則Y的分布列為：PkY第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一0.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.0500.050123450.150.200.350.150.10123123423450.10.10.050.050.050.10.050.050.20.10.1第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一0.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.05-3-2-10123460.050.050.350.10.150.10.050.1第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一0.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.251230.300.45第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一例3：已知兩隨機變量與相互獨立，其分布如下：

P

0.3

0.5

0.2P

0.4

0.6

解：

P

0.120.380.380.12第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一解：依題意

例4

若X和Y相互獨立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,求Z=X+Y的分布i=0,1,2,…j=0,1,2,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.k=0,1，…X和Y相互獨立第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的密度Z=X+Y的分布函數(shù)是:這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}是直線x+y=z左下方的半平面.二、二元連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布（P61）1、Z=X+Y的分布FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

化成累次積分,得由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式(P62).第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

特別，當(dāng)X和Y獨立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊際密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

這兩個公式稱為卷積公式

.（P62）第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域

例5

若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式即第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一如圖示:第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).P63設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一M=max(X,Y)

(M≤z)(X≤z,Y≤z)又由于X和Y

相互獨立,M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)即有FM(z)=FX(z)FY(z)結(jié)論的運用可看一下P63例5=P63此處的x,y應(yīng)改為z=P{max(X,Y)≤z}

第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)(N>z)=(X>z,Y>z)第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一設(shè)X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,(i=0,1，…,n)它們的分布函數(shù)分別為

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:…N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是…特別，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n與二維情形類似，可得:第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時,常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的作用和實用價值.第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一此次課要求：

（1）若X，Y為離散型隨機變量，會由X,Y的聯(lián)