線性方程組的消元法和矩陣的初等變換詳解演示文稿

線性方程組的消元法和矩陣的初等變換詳解演示文稿當前第1頁\共有47頁\編于星期四\10點（優(yōu)選）線性方程組的消元法和矩陣的初等變換當前第2頁\共有47頁\編于星期四\10點引例

有三家生產同一種產品的工廠A1

、A2

、A3，其年產量分別為40t，20t和10t，該產品每年有兩個用戶B1、B2

，其用量分別為45t和25t不妨假設每噸貨物每公里的運費為1元，問各廠的產品如何調配才能使總運費最少？當前第3頁\共有47頁\編于星期四\10點解設各廠到各用戶的產品數量如表1-2依題意，3個廠的總產量和用戶的總用量相等：當前第4頁\共有47頁\編于星期四\10點再來看總運費，由表1-1：12于是，題目要解決的問題是：使之滿足方程組①和②并使總運費最少.當前第5頁\共有47頁\編于星期四\10點

幾個線性方程聯立在一起，稱為線性方程組，若未知數的個數為n

，方程個數為m

，則線性方程組可以寫成如下形式：若常數項均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，否則，稱為非齊次線性方程組.當前第6頁\共有47頁\編于星期四\10點2.線性方程組的線性組合線性方程的加法：將兩個線性方程(1)(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：稱為原來兩個線性方程的和。當前第7頁\共有47頁\編于星期四\10點線性方程乘常數將線性方程兩邊同乘以已知常數，線性方程與常數相乘，也稱為方程的數乘。線性方程的線性組合將線性方程(1)和(2)分別稱兩個已知常數再將所得的兩個方程相加，得到新方程：得到一個新的線性方程：當前第8頁\共有47頁\編于星期四\10點(3)稱為原來兩個方程(1)和(2)的一個稱為這個線性方程的組合系數。將(1)和(2)看作一個線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。對給定的兩個線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個方程都是(I)中方程的線性組合，就稱(II)是(I)的線性組合。線性組合，若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個方程組等價，等價的線性方程組一定同解。將方程組(I)變成方程組(II)的過程稱為同解變換。當前第9頁\共有47頁\編于星期四\10點例1二、線性方程組的消元法求解線性方程組1、線性方程組的初等變換當前第10頁\共有47頁\編于星期四\10點解當前第11頁\共有47頁\編于星期四\10點用“回代”的方法求出解：當前第12頁\共有47頁\編于星期四\10點于是解得(2)當前第13頁\共有47頁\編于星期四\10點小結：1．上述解方程組的方法稱為消元法．

2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（以替換）定義1上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換．（以替換）（與相互替換）當前第14頁\共有47頁\編于星期四\10點3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組．當前第15頁\共有47頁\編于星期四\10點2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)當前第16頁\共有47頁\編于星期四\10點2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)當前第17頁\共有47頁\編于星期四\10點2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)當前第18頁\共有47頁\編于星期四\10點2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)當前第19頁\共有47頁\編于星期四\10點2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)當前第20頁\共有47頁\編于星期四\10點當前第21頁\共有47頁\編于星期四\10點當前第22頁\共有47頁\編于星期四\10點當前第23頁\共有47頁\編于星期四\10點定理2在齊次線性方程組證明：顯然，方程組在化成階梯型方程組之后，方程個數不會超過原方程組中方程個數，即當前第24頁\共有47頁\編于星期四\10點第二節(jié)矩陣的初等變換

為了簡化方程組的表達，可以省掉各個未知數，只考慮系數和常數項，把它們排成一個表，用這個表代替線性方程組，直接對這個表進行與求解線性方程組相應的初等變換，這樣在表達上可以更加簡潔和直觀。為此，我們將引出矩陣的概念，介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解。當前第25頁\共有47頁\編于星期四\10點1.線性方程組的解取決于系數常數項一、矩陣及其初等變換當前第26頁\共有47頁\編于星期四\10點對線性方程組的研究可轉化為對這張表的研究.線性方程組的系數與常數項按原位置可排為當前第27頁\共有47頁\編于星期四\10點由個數排成的m

行n

列矩陣的數表稱為m

行n

列矩陣.簡稱矩陣.記作定義1當前第28頁\共有47頁\編于星期四\10點簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣,元素是復數的矩陣稱為復矩陣.當前第29頁\共有47頁\編于星期四\10點例如是一個實矩陣,是一個復矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.當前第30頁\共有47頁\編于星期四\10點例如是一個3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數與列數都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作當前第31頁\共有47頁\編于星期四\10點只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或對角陣）.（3）形如的方陣,不全為0當前第32頁\共有47頁\編于星期四\10點注意不同階數的零矩陣是不相等的.例如記作（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.當前第33頁\共有47頁\編于星期四\10點（5）方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.同型矩陣與矩陣相等的概念

1.兩個矩陣的行數相等,列數相等時,稱為同型矩陣.全為1當前第34頁\共有47頁\編于星期四\10點

2.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.當前第35頁\共有47頁\編于星期四\10點矩陣的轉置（1）定義

設是一個矩陣，把A的各行都變?yōu)榱?，不改變它們前后的順序而得到的矩陣，稱為A的轉置矩陣，記為A'

（或AT）即A'=當前第36頁\共有47頁\編于星期四\10點線性方程組稱為方程組的系數矩陣；稱為方程組的增廣矩陣。當前第37頁\共有47頁\編于星期四\10點下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:定義2當前第38頁\共有47頁\編于星期四\10點等價關系的性質：一般，將具有上述三條性質的關系稱為等價．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．初等行變換和初等列變換統稱為矩陣的初等變換.定義3當前第39頁\共有47頁\編于星期四\10點例1求解線性方程組解：用矩陣的初等行變換解方程組當前第40頁\共有47頁\編于星期四\10點當前第41頁\共有47頁\編于星期四\10點當前第42頁\共有47頁\編于星期四\10點特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數即是非零行的行數，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．當前第43頁\共有47頁\編于星期四\10點注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數也是由方程組唯一確定