O130R-作業(yè)與答案-《數(shù)學分析(一)》作業(yè)參考答案

《數(shù)學分析（一）》作業(yè)參考答案一．選擇1、A； 2、B； 3、D；4、C； 5、B； 6、C；二、填空題1、6兀 2、e2 3、一8cos2x； 4、8e2x 5、bA6、x=0,y=o三、判斷對錯1．x；2．V；3．x；4．V；9．x;10．x；11．V；12．V;四．求極限1．2；2．nm'3．1.2;4．125．1.3;5．x; 6．x; 7．V； 8．V；13．V。6.sin2a； 7.--； 8.-； 9.1；3 310. —; 11. e-2.；12.1； 13.e2； 14.3;兀15.--。16.解

8limsin—cot2xx—0 2x

sin

=lim 2-x—0tan2xx=lim_2_

x—02x=1417.解：A+L+...+—1—.22.3 n(n+1)1 11一(1-20+(2-3)+…+1nn+1)=1-1n+1lim(ns1——+1-211 +...+ 2?3 n(n+1)）=lim(1-——)n— n+1=1(3x+6)30(8x-8)2018.解：lim- - x-8(5x-1)50(3+9)30(8--)20=lim-x ”… (5--)50A 5lim(3+—)30-lim(8-—)20__x—>00 X X—>00 %lim(5-))5oX—>00 X330-82055019.「VX2+1-1解：hmx xx—>0=lim1Xf0(X2+1)-1xQx2+1+1)=lim, %—10也2+1+1=020.r/11

解：lim(--+——n—>81?31+...+ (2n-l)(2n+l)21.五.=lim匕(1」)+(!」)+???+(…2 3 35=—lim(l-2n—>co-2解：limX—>8=limX—>001112n-12n+1)]12n+l(x-l)(x-2)(x-3)(5x-1)31 2 3)(1—)(5-1)3

X153 125計算導(dǎo)數(shù)或積分11. y'=^=; 2./'(%)=3(x-1)2,尸(x+1)=J1+X2,[(X-1)=3(X-2)2；3.y";4.y'=x(l-lnx)27, sin2x5.y=j=v'l-sin4x13x2,x>0,

7. f'(x)=' ;I—3x2,x<0;. 4%：xyx+yx+2Vx+1y=一_ _ 三8vx\x+vxy'x+\；x+<xy'=6xsin2x2cosx2; 9.3,f'(x)=3(x+1)2, f'(x+1)=3(x+2)2,f'(x—1)=3x2八,、 24 ,sgnx10. f(5)(x)= ； 11.dy=- —dx； 12.y=—4csc2xcot2x；(1+x)5 1—x2 '13.y'=[f'(sin2x)—f'(cos2x)]sin2x；14.(3—x)4%-x+2r4 1 _ 1y(x+1)5[x―3+2(x+2)—5(x+1)15.y'=(ln(x+i，(1+x2))'1x+v1+x21x+-\；1+x21(x+\1+x2)'(1+ )\1+x2\：1+x2y'=(excosx)'=(ex)'cosx+ex(cosx)'=excosx—exsinx=ex(cosx—sinx)dy=d(x+2x2—3x3+x4)=dx+d(2x2)—d(—x3)+d(x4)=(1+4x—x2+4x3)dxtanx、,18.解：y=( )xxsec2x—tanxx219.解：y'=[(sinx2)3]'=3(sinx2)2(sinx2)'=3(sinx2)2cosx2?(x2)'=6xcosx2(sinx2)220.解：dy=d(xlnx—x)=d(xlnx)—dx=lnxdx+x?d(lnx)—dx=Inxdx+x?—dx-dxx=Inxdx六.計算3.解：令f(x)=2x2(3—2x)=0,得駐點x=0,x=萬;當xe(-1.1)時，3f'(x)>0.，f(x)嚴格增，，x=0非極植點；又f"(5)=—9<0,3 一3 27二.x——是極大值點，極大值f(—)——T。2 2 161+x2—x?2x2(1—x)(1+x).解：令f'(x)—2?———--—二八、=0,得x=±1,(1+x2)2 (1+x2)2由于在x——1附近，f(x)由“一”變?yōu)椤?”，，x—-1為極小值點，極小值f(—1)——1;在x―1附近，由“+”變?yōu)?，，一，，，，x―1為極大值點，極大值f(1)—1。.解：令f'(x)=5x4—20x3+15x2=0,得駐點x―0,x―1,x―3(舍去)。1 2 3f(—1)——10,f(0)=1,f(1)=2,f(2)——7,，f.—f(-1)——10,f—f(1)2。minmaxf'(x)由于.解：令f(x)=6x2—6x—12=0得x——1,x—2。1 2又f"(x)=12x—6,f"(—1)=—18<0,f"(2)=18>0。?二x—-1是極大值點，極大值f(—1)=28；x=2是極小值點，極小值f(2)=1。.解：?「y'=—,/.k=j'I=12 x-2，切線方程y—1=1?(x—2),即y=x-1；法線方程y—1——1?(x—2)即y——x+36.解：:y，=(工)，———xx214/.k=y'|=

切x=2，切線方程為y—!=一!(x-2)241 1即y—-4x+1又k=4法，法線方程為y—2=4(x—2)即y=4%-72七．證明.證：由羅必達法則有l(wèi)im于("+h+于(:-h)-2于(〃)h-0 h2二limf'(a+h)-f'(a-h)h—0 2h=lim廣-h+f9-h)=f，，(〃)h—0 2.證：假設(shè)3%,%e[0,1],%<%，使得f(%)=f(x)=0，從而由R0lle定理知12 1 2 1 235e(%,%)c(0,1)：f代)=0，但在(0,1)上，f'(%)=3(%2-1)<0，矛盾，%3-3%+c=0在bj]12內(nèi)不可能有兩個不同的實根。.證：令F(%)=%2f(b)-f(a)]-(b2-a2)f(%)，則F(%)在[a、b]上可導(dǎo)，F(xiàn)(a)=F(b)=a2f(b)-b2f(a),.?.由Rolle定理知3&e(a、b)：下&)=0，即.證：由條件及Rolle定理知3己e(%,%)及5e(%,%)：1 12 2 23f任)=f任)=0，再由Rolle定理知35e&害)u(%,%)：f’'&)=0。1 2 12 13.證：令f(%)=%2%-1,財(0)=-1,f(1)=1,「.3&e(0、1)使得f也)=0,即%2%=1在(0,1)內(nèi)有一根。又f'(%)=2%(1+%ln2)>0,「.f(%)在(0,1)內(nèi)嚴格增，最多有一個零點，故%2%=1在(0、1)內(nèi)有且僅有一個根。.證：設(shè)f(%)=arcsin%+arccos%, %e[-1,1]1 -1則f(%)二. + 三0,%e(-1,1)\：1—%2 1—%2由拉格朗日定理的推論知f(%)三c,%e(-1,1)。兀丁f(0)=arcsin0+arccos0=—“、兀?f(%)=—,%e(-1,1)乙一、 … …、兀 …又 f(%)在[-1,1]上連續(xù)，，f(%)三-,%e[-1,1]_ 兀即arcsin%+arccos%=一，%e[-1,1]2八.1.解：令f(%)=5%4-20