文都高數(shù)概率論線代講義匯總

?向量 Ax0AxbA|B

ABBAmnx0Amnx0 最定理1 r(A)r(A|b)Amnxb有解 r(A)+1=r(A|

1rAmnmAmnxbrAmnnAmnxb2若mnAxbA0.克萊姆法則Anxb的系數(shù)行列式|A|0x1 LAn1b1 D12 2xx2A1b A*b

An2b2

1DMx

A L

Mb

AMDn nnn nDi12,LnAib2所得的行列式．特別地，系數(shù)行列式|A| 注 x r(

)mn4Anx0

A0Anx0

A0k1k2,Lkm，使得k11k22L存在一組k1k2,Lksk11k22LkssAx0rAs（s為向量組中向量的個(gè)數(shù)全為零的數(shù)k1k2Lks0k11k22Lkssk11k22Lkss0一定是k1k2=L=ksAx0rAs（s為向量組中向量的個(gè)數(shù) 例如A

a 【線代最定理3A1】

ci|1,L,j,L,i,L,n|（2）|1,Lkj,L,n|k|1,L,j,L,n|（j1,2,Ln；（3）|1,L,jj,L,n||1,L,j,L,n||1,L,j,L,n|

cikc|1,L,ikj,L,j,L,n| Aai1Ai1ai2Ai2LainAin,i1,a1jA1ja2jA2jLanjAnj,j1,

LO

1

n(

( *

12Ln設(shè)方陣Am,Bn，則有拉斯 * O|A||B|； A A(1)mn|A||B|

(xx)nD n

1ji baabLLaaMMOMabaabLLaaMMOMaaLb

L b aM

b(n1)aa Lab(n . M b(n 1aLb(n1)a MM 000000000002（1996，I）D

b(n1)a(ba)n1．000000000000c000b0a0000ba000000a

3

1D

a 0b

0(aabb)(aabb134221 1134221 1 2 200aba0

例 xxxxxxx2x2x2x2x3x3x4x3x44x5x4x fx

x 2x 1

x 2x 3x x 4 x

3x x 4 x 4Dn1L1L11L11L1L0MMOMMMOM11L10L1aa1L

(ai0,i1,2,Ln)1L11L1MMOM11L12n2n0L0MMOM00La1a2Lan ) a001a001a00a00

a001a001a00a001

(1)(1)21 1(1a)D(1)(1)21

1

(1a)DD1a,

1 1

1aa

D3

(1a)D2(1a)(1aa2)a(1a)1aa2a3D(1a)DaD1aa2a3a4 26設(shè) 24例 設(shè)A a3A 1 設(shè)有行列式A|1,L,j,L,n|，Aij為A中元素aij的代 式LLLLa2則b1A1jb2A2jLbnAnjMMMM ,j1,2,L,nMMMMMLM（Aj列換為M

i ai1Aj1ai2Aj2LainAjn i

A1

+a2

A2

+

k．k

，求M MM30412314304123140835323041231408311M41M42M43M44A304123140831103140560830314056083117

6

78例2設(shè)三階行列式D的第三行元素為1,1,1，第二行元素的式依次a,a1,a2，則常數(shù)a a311a321,a331M21aM22a1,M23aA21aA22a1A23a2a31A21a32A22a33A231A211A221A23即1(a1(a1)1(a2)0a1

10 第二 矩 b b矩陣的乘法： a 2

in

mn

7

A, 9

8 4

9 31 T2T3T 3 3ABOBAx0的解r(BnrArAr(Bn b1s② (,,L,)

2smn L nsnb,nb,L,nb k1 k2 kskk ABC，則CA的列向量組線性表示，表示的系數(shù)為右邊矩陣B的列元素.（ABCABTCTBTATCT，注意換元法的思想ABC，則CB的行向量組線性表示，表示的系數(shù)為左邊矩陣A的行元素.例 （A）(A2)B （B）B(A2E)（C）BC(A2E （D）B(A2EAB2BCAB2BCA2E)BCBA2E1C ABC可知CAB可逆，由ABC可推得CB1AA的列向量組可以由的C列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)，選（B）.aa

La1bn a a La 2b,b,L,b2 2 2nn n

a a Lan n n nn注：若0,0ATOT(T)Tb1a,a,L,a a abLabT

2 T nM 1 2 nb bn 1

1

（2）An

1 1

11,2,11 2 T1(1)(2)5

An(T)n1A(5)n1

1 1 1例2設(shè)n維列向量 ,0,L, 2 (B)

(D)E10 T ,0,L, M 01 1 22

.所以應(yīng)選(C性質(zhì)：（1）ABnABBAAB；AmAmm

kAknA

AB

AB (A)ABA (B)AB AB (D)(AB)1A1（列）是兩個(gè)數(shù)的和時(shí)，可把行列式對(duì)該行（列）拆開成兩個(gè)故A錯(cuò)誤

AB) 0 0

0 212

取A ，B ，則(AB) 1 2 3 1 3 AB

AB

A，知(C正確例2（1991，IV）設(shè)A,B為n階方陣，滿足等式ABO，則必有 AO或B AB A0或B ( AB

AB0.

AB

1注意，若A ，B 1，有ABO，顯然AO,BO1 注“ABOBOAO”，這里一個(gè)常見的錯(cuò)誤 均為3維列向量，A3

B2

2A3B 2A

52(2A3B)300 例 設(shè)A為n階正交陣（AATE，且A0，證明AE0AEAAATA(EATA(EA)T例

A3

B2A1

2則AB1 AB1ABB1B1(ABE)B1(ABAA1AA1B)B1,AB1A(A1B)B1AA1BB132

132 1 1 1

4A 16

4

BA 4 7（1992，V）A(aij)33aijAij(i,j1,2,3)；Aij為A中元素aij的代數(shù)式a110求A【解】由題意aijAiji,j123 a13 A (A*)Taa

a

33 33A(A*)TA*A2A0A1由 0知AaAaAaAa2a2a20，所以A1 11 12例設(shè)三階方陣A的特征值為1,2,3，則AE 例 設(shè)A

0 a c 0

An ab 0 【解】A2 0,A3A4L 0 0 0 例2設(shè)A 1，求A a 0 0 【解】A 1 0

aE a a 0 B

0 1 0 0

，

0 0 1 0

,

LO An(aEB)n(aE)nC1(aE)n1BC2(aE)n2B2C3(aE)n3B3 C1an C2an2 C1an1

例 設(shè)(1,1,2)T,(3,1,2)T，且AT，則An An(2)n1A(2)n1 0例 （2004，I）設(shè)A 0,BP1AP,P為可逆矩陣 則B20042A2 0

1【解】

0,（對(duì)角陣） 1

E,

P

PE 0B20042A2E2A2 0 C 例1設(shè)A,B均為可逆陣，證明 C X C X 【解】設(shè) 2 2 B X X4 BX X4 EAX1CX3EAX2CX4OBX3OBX4E, X A1CB1 X2 B 2

4

0 QT

A b 解:（1）AA*A*AAEA*AA1 0 T*

T* A

AA A

EPT

0EAA

A0PQ

PQ

QA(bTA1例3若A2A2EO，則(AE)1 A2A2EOA2A2AE4

(A2E)(AE)4E(AE)11(A2E)4 0 設(shè)A 0,B(EA)1(EA)，則(EB)1 0 B(EA)1(EA(EA)BEABABAA(BE)BE2E(AE)(BE) 0(EB)11(AE) 0 0 ABA2BA2E)(BE2E(A2E1且(BEA2E2EBAA2BAB

(BE1218】A1A*AAAAAEA11A*A*AA1 A2,B3,則分塊矩陣 A的伴隨矩陣為 3B* 2B* O

3A*

2A* 【解】|A|20,|B|30，A,B,C B1C*|C|C1(1)22|A||B| |A||B| O |B||A|

|B|

3 0 0

例 若A

0 8 ABA1BA13EABB3AA*ABA*B3A* 0 (2EA*)B6EB6(2EA*)1 0 0 0 1 例2（2001，II）設(shè)A 0,B 1

X

AXABXBAXBBXAA(AB)AXABXBAXBBXAA(ABAX(AB)BX(AB)A(A(AB)X(AB)A(A

1

2 所以X(AB)1A 1 1 r A (AB)1Ar 2 1 例 設(shè)A 0,B 0，且矩陣A 求常數(shù)a的值 （2）求解矩陣方程AXBABAB同型且rAr(B 1

0

0 0

1

1,r(B)2r(A)2 2

A 082a442a0a2 AAXB(1,2,3Axjj123，相當(dāng)于解三個(gè)系

1

2

2 1 r

2r

1 0

1 0 X1

1

2m

klm任意 1 1 E(i,j)

0

． 0

1 1 E(i(k))

ik k E(ij(k))

i ?1 ?1 A做一次初等行（列）A的左（右）邊乘一個(gè)相應(yīng)的初 1 b a 舉例說明 1 d c E(ij)A將Ai,jAE(i,j)：將Ai,j 0 0 例如 0, 1 1 1 1 例 設(shè)A為三階矩陣，將A的第2列加到第1列得到矩陣B，再對(duì)調(diào)B的第2行3P

0

,P

0

P1 11

1 P1 2（D）PP2C1 ABC 0

0

1 所以 1A

E即有PAPEAP P （D 0

2 0 例 （2012IIIIII 0 2 0 0 1

0 0 2

0 （C） 0 2

0 （D） 0 1

0 PQ,P 0Q 1 0 0 0 Q1AQ P1AP 0 1 1 1 2 1 0 0

1 （A）E(2, （B）E(2, A*E(2, BAB*BA

E(2,3)

A*E(2,3).選定義AA的秩rA．規(guī)定零矩陣的秩1rAk2AOr(A0AOr(A13An(n1)A0rAnAA0rAnA為降秩矩陣初等變換不改變矩陣的秩;等價(jià)矩陣有相同的秩；行階梯型矩陣的秩等于非零行r(kA)r(A)(k0)；r(A)r(A),r(2EA)r(A2E),r(A)r(AT)①0r(Amn)min{m,n}rABrArABr(BBrABrAr(A|B)r(A),r(A|B)r(B)例1（1999，I）設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣，則 當(dāng)mnAB當(dāng)mnAB0(C)當(dāng)nmAB0D)nmAB0ABmAB0rABm.rABr(Bmin(mn，可見當(dāng)mnrABnm，因此選(B③r(AB)r(A)r(B)④AmnBOr(Ar(BnnAB的行數(shù);AmnBOA列滿秩，則一定有BO. ⑤r(A

r(An)rAnn1n1)n34r(An)nn⑥r(nóng)(A)1AT,,為 n⑦r(A)r(ATA)r(AT)r(AAT)101011101011例 已知A ,r(ATA)2,求常數(shù)a的值 a 1 rATA2rA2,A

1

，得a1 a a1 O ⑧A ,r(A)r(B)r(C) 0100001000 1 DA ,r(Ar(Br(C).A C11A

1130142a7bb21130130 1 1 1 b2 a b3 b0且b20rA4A（1）a（2）a80且b20rA3a80b2與b3至少有一個(gè)不為零，rA3

L 1 1 OM La OM La1 L1a

1 a 【解】AM Ma(n1)(a1)n1 1 1 a1且a1nA0rAna1,r(A)1a1L111aL11MOM aa1L111aL11MOM a(n2)(a1)n2011La111L1a例 A為n階方陣，證明：r(A)1AT,0,0aa

1 2 L 1bn a a La n【證明】AT 2b,b,L,bn

2 2

nO

a a Lan n n nn ,L,kT

2 n ,T(1,k,L,k 例4設(shè)A 3,B是三階非零矩陣，且ABO，求a 1 ABOr(Ar(B3,r(B1r(A)2A3a1846a493a90a3（II）第三 向量存在一組k1k2,Lksk11k22LkssAx0rAs（A的秩少于列數(shù)，則列向量組線性相關(guān) k1k2Lks0k11k22Lkssk11k22Lkss0一定是k1k2=L=ksAx0x0Axx0xTATA)x0（二次型的正定性ATA為正定矩陣若A行滿秩則行向量組線性無(wú)關(guān).例

1 0,且 020，

1

k13k k

k23

0

33

0例 rAr(BnnAB的行數(shù)矩陣，故1rAn,1rBnAB的行向量組線性相關(guān)，相關(guān)

ABOBTATOATOBTy0BTB.1（1993，I，II）AnmBmnnmABEn，證明：矩陣B的列向量組線性無(wú)關(guān)．B1,2,L,nABEnA1,2,L,ne1,e2,L,en設(shè)

k11k22Lknnk1e1k2e2Lknen由e1e2,Lenk1k2Lkn0B的列向量組線性無(wú)關(guān))2設(shè)1,2,L,sAx0為非齊次線性方程組(k0k1Lks)k11k22Lkss (k0k1Lks)b0k0k1Lks【證法二】r(,1,2,L,s)r(,1,2,L,s)s1（因?yàn)椴豢梢杂?,2,L,s線性表示，所以,1,2,L,s線性無(wú)關(guān).【注】若1,2,L,s線性無(wú)關(guān)，1,2,L,s,線性相關(guān)，則可由1,2,L,s線性表示，且表示法唯一；或者若1,2,L,s線性無(wú)關(guān)，不可由1,2,L,s線性表示，則1,2,L,s,線性無(wú)關(guān)k1k2,Lkm，使得k11k22L)例 x22x33x440x40，從而4可以由1,2,3線性表2（2005，II）確定常數(shù)a, （I）(11a)T,(1a1)T,(a1 （II）(11a)T,(2a4)T,(2aa)T線性表示但（II

a 1

，B(,,)

1 2 2 a 系數(shù)行列式A 1(a2)(a1)20，得a2或a1 .r(B)rBMA當(dāng)a2B

M

a 2 M

M M rB2rBMA3，故排除a2當(dāng)a1B

M

M 1 M1 1 0M M1 M 0 rBrBMA31,2,3可由1,2,3線性表示1（含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組A的的秩，記為r(A)．行例 （2006，III）設(shè)4維向量組1a,1,1,1T，2,2a,2,2T 2341234123412342341234123412341 a10

9 2 3 4

4 10 r 1r

3 0

注：a 時(shí)，也可以

2 3

(a6)a2 r(1,2,3,4)3，可以取1,2,3為極大無(wú)關(guān)組，且由于12340 得4123..r1,2,L,mr1,2,L,m|1,2,L,sr1,2,L,s，r(A)r(A|B)r(B)1,2,L,m與向量組1,2,L,m等價(jià)可以得到他們分別構(gòu)成的矩陣?yán)? ,線性無(wú)關(guān)，,能由,線性表示，則2rArB2 0,0,

00

10 10 （B 1,2線性無(wú)關(guān) 1,2能 1,2線性表示，r(BrA2r(B2，例如121

1

00,10

,0,1, 0,1, （A（B）,線性無(wú)關(guān)，因?yàn)榫仃嘇B等價(jià)的充要條件是rAr(B) B等價(jià)思考（2000I）n維列向量組1,L,m(mnn維列向量組 A(1,L,mB(1,L,m等價(jià)Amnx( x r(

nA mnnA Amnxb(bkl0k1l2Ax0的解；①AxbrAmnrAbnbAAxbrArAbnbA③AxbrA1rAb)bA1A是n階矩陣,是n維列向量,若

r(A),則線性方程組

0

(

0y 0y Ax0僅有零解”與Ax0必有非零解”由于

0 0 0

r(A)nn1，因此D 確 1 (,24,39)(,,) 3 9 9 1 由于

3 0

1例1（2012，I，II，III）設(shè)A 0，1 0 1a0001a0001aa001【解（Ⅰ）A1a0001a0001aa001A0得a1 1a1AM

行

0 1 行

0 當(dāng)a1時(shí)，(AM)~ 00 0 0 0 0 axbxL bxaxLbx 2（2002，III）LLLLLLLLLbx1bx2Laxn

abbaLLbbMMOMbbLa【解】方程組的系數(shù)行列式A [a(n1)b](abbaLLbbMMOMbbLa當(dāng)ab且a(1n)b時(shí)，方程組僅有零解當(dāng)abx1x2Lxn0 k10k21Lkn10，kiR,i1,2,L,n 0 0 1 a(1n)b bLL (1 MMO A (1n (1n 1 1

1 0MM0M0MM0MnM00Ln11L11MMMOMM

L1

0 0 00

00L00L010L001L0MMOM00L1

,k

M

0

0例3設(shè)A 1，C 1，B為42矩陣，求滿足ABC

0

B1,2,Ce1,e2ABCA1,2e1,e2Aiei,i121,2Axeii12的解，這兩個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣完全一樣， 0 0M 1 0 0 6 3 6l所以滿足條件的B1 32l，k,l為任意常數(shù)1 43l 例 設(shè)A是4階不可逆矩陣（或r(A)4），已知A中元素a21的代 A210Ax0的通解A210M2103rA4rA3nrA1 A A11 A41 A 42，AA*AEO,

A43 44

,A,A,A)T,k 例 Ax0rA3,nrA532，1 1 k12k22,kiR,i1, 30 rA3,200Ax0的基礎(chǔ)解系為

1 10 0 1 Ax的特解為，通解為k ,kR 1 0 4（2005III）3階方陣A的第一行是abcabc不全為零， 3 B 6（k為常數(shù)ABOAx0 ABOrAr(B)3．又abcrA61k9r(B)2rA)1；k9r(B1rA1rA2k9ABO可得622

0

0 Ax0xC11C22，其中C1C2為任意常k9rA)2和rA)1進(jìn)行討論．33Ax0xC12,3T，其中Cax1bx2cx30不妨設(shè)a0，則ba0T，c0,aTAx0 Ax0

①BAmnx0的解向量組②rAr(B)nAmnx0Bsnx0BxAx0與AxBx nr(A)nrAr(A)rA Amnx0Bsnx0同解rAr(BAmnx0Bsnx0AB，【方法】 AmnxBsnx B| 和（II；

B| 1（2003，I）Ax0Bx0AB均為mn矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題：1Ax0Bx0rAr(B123若rAr(BAx0Bx0的解；Ax0Bx0rA)r(B)；234若rAr(B)Ax0Bx0同解.以上命題中正確的是（）.4 ( 【解】應(yīng)當(dāng)選(B.A(1,0B(1,1xxx)TAx0有解(0,1)T，但是他不是Bx0 2（2005III）x12x23x3 xbxcx （II）

b2x(c1)xxxax 2 3

c

5,B a c 1 2 3

1 0 0

c c a a3 a b c b cb c b c

b2 cb2 rA

r(B)2

a2b1 cb21a2b1,c2a2,b0c1a2,b0c1r(B)1xx1x2x3 2xax x4x2a2x3

x12x2x3a1 x1x2x3x2xax x4x

2 x

x12x2x3a 1M0 1 (A|b) aM0r a

a2M0 a1 1 1Ma (1)(a 顯然，當(dāng)a1a20，即a1或a2 0 當(dāng)a1時(shí)，由B 0可知：①與②的公共解為x 0

k

0 0 當(dāng)a2B

1 1

0 0 AxxAx0(EA)x0,xr(EA)EA0AE iaii i|A 則12不再是A的特征向量. 3例 求A 9 【解】EA

3 3 9 0A 6 9 0 取基礎(chǔ)解系 , 0 2 同理對(duì)應(yīng)313的特征向量為齊次線性方程組(13EAx013E

5 6 5 5 26

0 0 取基礎(chǔ)解系2 33例 設(shè)A為3階方陣，且|AE||A2E||AE|0，（1）|A ．（4）A2AE （1）A1(2)(1)2（4）fAA2AEf(21fAf(1)1,f(2)7,f(13A2AE1732（2002,III）AnPnA(0)，（P1AP）T屬于特征值的特征向量是（． （D）(P1)T （P1AP）TPTAT(P1)TPTA(PT)1)B． 2 0 0 1 3是一個(gè)特征值，特征向量為1

1

11, 0 例1（2009，I）若3維列向量,滿足T2,其中T為的轉(zhuǎn)置，則矩陣T的 【題型 c 例

，|A|1

1為

的特征值01

1

1 3

11 a1

01 a1c1,5b3

1,c1a1 可得01,acb3，再由|A|1得ac2定義nABP1APB1ABB與CA與C相似.2P1APBAPPBP的列向量組線性無(wú)關(guān)A(p1,p2,L,pn)(p1,p2,L,pnApipii1,2,LnB的列元素例1（2008,I）設(shè)A為二階矩陣，1 為線性無(wú)關(guān)的二維列向量，

2 2 1

2

2

1 于 ，非零特征值為1 ABP1APB（|P|0（aiibii（這條最好用AB（這條其次好用ABP1APB,A1B1（Q（P1AP）1B1P1A1PB1②AB（QP1A1PB1P

ABAP P1A*PB*ABAATBT（Q（P1AP）TBTPTAT(PT)1BTAmBm（Q（P1AP）mBmP1AmPBm⑤kEAkEB.（QP1APBP1(kEA)PkEB

111234B1E

111234

111234B1E3456360 1 例 設(shè)A 2,B ，且A相似于B， a a ,b 14a22 a1 a

AB 6a64b.b 1例 已知A相似于B 0，則r(A2E)r(AE) 0 r(B2E)

2 0 1

，r(BE)

1 0 1 1 r(A2E)r(AE)r(B2E)r(BE)4P1AP

0 n 注：APPA(p,L,p)(p,L,pn) n(Ap1,L,Apn)(1p1,L,npn)Apiipi,i1,2,L,n1Ppp,pP

AP

2

A2,1,1Ap12p1Ap2p2Ap3p3p1p2p3線性無(wú)關(guān) 3213 Q(p,p,p),則Q1AQ 3213 Q(p,p,p),則Q1AQ 2 若

；App,pp

p,p,2p)(

p,p,p)

1 2若Q

ppp則Q1AQ

0 （2012，I，II，III）設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P1AP 0 2 0 0 1 0 0 2

0 0 2 0 0 1 A可對(duì)角化Aniini個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量nr(iEA)nir(iEA)nni例1下列矩陣中相似對(duì)角化的是 1 0 3 1 1 3 5

0 1 3 5 的特征值為1,5rAEr

0 0 1

4 的特征值為1,5rAEr

1

2，不能對(duì)角化

4 4 0例2設(shè)A 0,B 3，判斷A,B是否相似 0E0EA000( r(2EA)

1 0 4 1所以A相似于對(duì)角陣

4 EB

r(2EB)

0 0 0 32 3 PP

AP

3r(A)2由 由 AX 2Xk12

（k為任意常數(shù)1 1 P1AP也存在正交陣Q(Q1QTQ1AQQTAQ稱矩陣.（因?yàn)镼1AQQTAQAQQTATA） 3i12A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的特征值為18,232A的對(duì)應(yīng)于特征值8的特征向量為(1a,1)T2的一個(gè)特征向量為 (1,1,1)T.求參數(shù)a及特征值2對(duì)應(yīng)的另外一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

1111a110a2，故(12,1)T1設(shè)2對(duì)應(yīng)的另外一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量xxx)T，則 x12x2x30

取(1,0,1)T或者(2,1,0)T (1,1,1)T和(2,10)T組合得到 0線性無(wú)關(guān)的特征向量 ,2 1 2 求一個(gè)正交陣Q，使得QTAQ為對(duì)角陣AAnx1【解】（1）設(shè)特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為 2 x

3x1x32x2x 解該方程組，取基礎(chǔ)解系1 11 0

AP

,2，再將,,單位化 1 1

,1T,

,

,

,

1T1

3

6 2 2 6，有QAQ 3 （3）（2）QTAQAQQT AQQT 2

1

6

3

1626 116266 6 【方法二】由（2）QTAQAQQTA3EQ(3E)QT

1

11 3

2 1

1 1 .所以A 1 4

3 An3nEQ(n3nE116n 11

(6n3n 3 2 2 1 0T 3 31 3(6n3n)1 3 3 13 3 1 3 (6n3n) 1 3An(6n3n) 13n 3 1 3 3n1(2n 3n1(2n 3n1(2n 3n3n1(2n 3n1(2n 3n1(2n 3n1(2n 3n3n1(2n 由A1,2,2，知BfAA54A3E x1x2x30．解得該方程組的基礎(chǔ)解系為(1,1,0)T(1,0,1)T,B的屬于特征值1的兩個(gè)線

1 1 1 0，P1 1

1

3

0

BP 0,所以B 0

ii ijifx1,x2,L,x)ax22 ii ijix1

ia1n

axx2，A 2n

MaM a

an nnfxTAx（AATAff秩 1x1 3 例如二次型f(x1,x2)(x1,x2) 的矩陣 2

例1設(shè) , ，三元二次型f(x,x, )x(2)x,x 2 2 2a b x3 3 3A.A 2規(guī)范形：系數(shù)只為0，1的標(biāo)準(zhǔn)形．稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù)．顯然r(f)pq.1二次型fxTAx經(jīng)可逆線性變換xCy（C為可逆陣）fyTBy（BCTACnABCTACB,C2fxTAxxQy化為標(biāo)準(zhǔn)形例 f(x,x)x

12A11 1

0 ①對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，一定存在正交矩陣Q，使得QTAQ

1

12

y2

與B x12z1z2

2 2

0 1

1 2 0

4z2z2，A 2與C

x2zz

0 x1z1z2 xzzfz1z 定理3（慣性定理 二次型一定可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，設(shè)有實(shí)二次fxTAxATA，它的秩為rxCyxPz fky2ky2Lky2(k0)1 2 r fz2z2Lz2(0)1 2 r k1k2,Lkr中正數(shù)的個(gè)數(shù)與1,2,L,r中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等注 2 1 1

1 A

1（2014，I）fxxxx2x22axx4xx的負(fù)慣性指數(shù)是1 1 2則a的取值范圍 fxxxA

1 0 a 0

fxxx 性指數(shù)為1A的特征值為負(fù)正正、負(fù)正零、負(fù)零零．由于A的特征值之和為1100AAa240a2fx2x22axx4xxxax)2x2x)2(4a2x2 1 2 1，則有4a20a242a2（2003，III）f(x,x,x)xTAxax22x22x22bxx(b0) 1求ab b【解】二次型f的矩陣為A 0 a2(2)1,A2(2ab2)12 解得a1,b2

12EA

0

122，解(2EAx0

1 0 2 4 可得屬于2的線性無(wú)關(guān)的特征向量(0,1,0)T,(2,0,1)T 33,解(3EAx0

1 0

33的特征向量(102)T30 0 ，則在正交變換xPy下，0 20 PTAPP1AP 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f2y22y23y2 例 設(shè)f(x,x,x)xTAx經(jīng)正交變換xQy化為標(biāo)準(zhǔn) f13 3 1

y23y2by2

A9，求bA3313 3 由題意A的特征值為1,3,b，A13b9b33131QTAQ

,且

3 13 3 得

0

,取 3 3 23 3由

AQAQQT

1 1 5 fxTAx（AAT）x0f0fxTAx為正定二次型A