EVIEWS70講解解讀課件

第八章

基本時(shí)間序列模型的估計(jì)

時(shí)間序列模型簡(jiǎn)介

指數(shù)平滑法

趨勢(shì)分解的濾波方法一、時(shí)間序列模型簡(jiǎn)介

對(duì)某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列（通常是金融時(shí)間序列）來(lái)說(shuō)，通常不存在明顯的趨勢(shì)變動(dòng)和周期變動(dòng)，或者是存在某種長(zhǎng)期趨勢(shì)但是短期趨勢(shì)經(jīng)常發(fā)生變化。這種特性是金融數(shù)據(jù)本身特點(diǎn)決定的。針對(duì)這種時(shí)間序列有很多處理方法，本章將介紹指數(shù)平滑法對(duì)這種序列進(jìn)行處理。

而一般的月度或季度經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，通常包含4中變動(dòng)要素：長(zhǎng)期趨勢(shì)要素、循環(huán)趨勢(shì)要素、季節(jié)變動(dòng)要素和不規(guī)則要素。長(zhǎng)期趨勢(shì)要素代表經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的長(zhǎng)期走勢(shì)，循環(huán)趨勢(shì)要素是以數(shù)年為周期的一種周期性變動(dòng)，它可能是一種景氣變動(dòng)、也可能是經(jīng)濟(jì)變動(dòng)或其他周期變動(dòng)。季節(jié)變動(dòng)要素是每年重復(fù)出現(xiàn)的循環(huán)變動(dòng)，以12個(gè)月或4個(gè)季度為周期的周期性影響，可能由溫度、假期等因素引起。不規(guī)則要素又稱隨機(jī)因子或噪聲，變化無(wú)規(guī)則且不固定，由偶然發(fā)生的事件引起。通常來(lái)說(shuō)，研究一般經(jīng)濟(jì)指標(biāo)序列的重點(diǎn)多放在該序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)要素和循環(huán)趨勢(shì)要素上，這就要求把這兩種要素從整個(gè)序列中分解出來(lái)。本章介紹的H-P濾波方法和BP濾波方法就是分解時(shí)間序列的兩種重要的基本方法。二、指數(shù)平滑法

指數(shù)平滑法的前提是認(rèn)為時(shí)間序列的態(tài)勢(shì)具有穩(wěn)定性或規(guī)則性，所以時(shí)間序列可被合理地順勢(shì)推出。最近的過(guò)去態(tài)勢(shì)在某種程度上會(huì)持續(xù)到最近的未來(lái)，所以將較大的權(quán)數(shù)放在最近的資料。

常用的指數(shù)平滑法包括一次指數(shù)平滑、二次指數(shù)平滑和Holt-Winter非季節(jié)模型和季節(jié)加法與乘法模型。

一次指數(shù)平滑又稱為單指數(shù)平滑。時(shí)間序列

的平滑序列

的計(jì)算公式如(公式8-1)下：

1、一次指數(shù)平滑其中，

實(shí)施機(jī)制序列；

是平滑值序列（smoothedseries）；

是上期平滑值α是平滑系數(shù)（smoothingparameter），也叫衰減因子。平滑系數(shù)的取值范圍為：

。重復(fù)迭代以上公式，可得到（公式8-2）

由式8.2我們可以看出，平滑值序列實(shí)際上是由實(shí)際序列的歷史數(shù)據(jù)加權(quán)平均得到的，而權(quán)數(shù)被定義為以時(shí)間為指數(shù)的形式，故此方法被稱為指數(shù)平滑法。一次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)對(duì)所有未來(lái)的觀測(cè)值都是常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為

（對(duì)于所有k＞0），T是時(shí)間序列的最終點(diǎn)。

二次指數(shù)平滑又被稱為雙重指數(shù)平滑。該方法適用于線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)。二次指數(shù)平滑的計(jì)算公式為：是一次指數(shù)平滑序列；是二次指數(shù)平滑學(xué)列；是平滑系（）。二次指數(shù)平滑就是在一次指數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)一步進(jìn)行平滑所產(chǎn)生的。二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)公式如下：

2、二次指數(shù)平滑

式8-3中，T是樣本末期。

這個(gè)公式叫做Brown單參數(shù)指數(shù)平滑線性預(yù)測(cè)公式。它所產(chǎn)生的預(yù)測(cè)值是截距為

，斜率為

的線性趨勢(shì)值。

這種方法適用于具有線性時(shí)間趨勢(shì)但無(wú)季節(jié)變化的序列。與雙指數(shù)平滑法一樣，這種方法以線性趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，但不同的是，雙指數(shù)平滑法只用一個(gè)參數(shù)，而這個(gè)模型有兩個(gè)平滑系數(shù)α和β（

）。平滑序列的計(jì)算公式為：3、Holter-Winter非季節(jié)模型

如果t=T，預(yù)測(cè)模型為：式8-5中，

是截距，

是斜率?？梢钥闯鏊麄兌际峭ㄟ^(guò)平滑值計(jì)算得到的。

該方法適用于具有線性趨勢(shì)和加法季節(jié)變化的序列。平滑序列的計(jì)算公式為：

式8-7中，

表示截距，

表示斜率，

表示趨勢(shì)，

為加法模型季節(jié)因子，s表示季節(jié)周期長(zhǎng)度（如月度s=12）。該模型需要三個(gè)系數(shù)來(lái)給出季節(jié)因子、截距和斜率的初值。此三個(gè)系數(shù)的遞歸式定義為：

4、Holter-Winter季節(jié)加法模型

其中：k>0,在0~1之間。如果t=T，預(yù)測(cè)模型為：

其中，

用樣本數(shù)據(jù)最后一年的季節(jié)因子。

案例8.1設(shè)置要點(diǎn)（1）平滑的操作

打開(kāi)圖8.1eu_do序列，點(diǎn)Proc/ExponentialSmoothing，打開(kāi)如圖8.2所示的指數(shù)平滑窗口。由于數(shù)據(jù)不存在季節(jié)性，選用Double（二次指數(shù)平滑）方法。平滑參數(shù)由系統(tǒng)自動(dòng)設(shè)定，平滑序列名采用默認(rèn)的eu_dosm，樣本期設(shè)定為1/06/20061/29/2010，較原序列向后延長(zhǎng)了4期，即進(jìn)行4期的預(yù)測(cè)。季節(jié)變動(dòng)周期默認(rèn)設(shè)為5期。圖8.1案例8.1工作窗口圖8.2指數(shù)平滑窗口設(shè)定圖8.3平滑結(jié)果圖8.4平滑序列與原序列折線圖三、趨勢(shì)分解的濾波方法對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列（帶有長(zhǎng)期趨勢(shì)的序列必定是非平穩(wěn)的）而言，研究時(shí)通常需要將其趨勢(shì)與循環(huán)成分進(jìn)行分解，以便進(jìn)行進(jìn)一步的研究。目前主要的分解方法有結(jié)構(gòu)性分解和狀態(tài)性分解兩種。

結(jié)構(gòu)性分解需要通過(guò)其他經(jīng)濟(jì)變量，通過(guò)變量之間的替代和影響關(guān)系，例如Okun分解和Philllips曲線關(guān)系等，將時(shí)間序列中的趨勢(shì)成分和周期成分分離出來(lái)；狀態(tài)性分解是通過(guò)時(shí)間序列的時(shí)間序列性質(zhì)，將其分解為趨勢(shì)要素和周期要素。其中狀態(tài)性分解還可以分為狀態(tài)域分解和時(shí)頻域分解等。。

狀態(tài)域分解時(shí)直接將時(shí)間序列分解為狀態(tài)空間當(dāng)中的不同取值，例如卡爾曼濾波分解和差分分解；時(shí)頻域分解是將時(shí)間序列分解為具有各種時(shí)間頻率的周期成分，其分解是在頻率時(shí)域當(dāng)中進(jìn)行的，例如常用的H-P濾波和BP濾波（包括BK濾波和CF濾波等）分解等。H-P濾波法和BandPass濾波是兩種常用的分解方法，兩種方法分別注重于長(zhǎng)期趨勢(shì)要素的分解和循環(huán)趨勢(shì)要素的分解。Hodrick-Prescott濾波方法是長(zhǎng)期趨勢(shì)分析中的一種常用方法，該方法在HodrickandPrescott(1980)分析戰(zhàn)后美國(guó)經(jīng)濟(jì)周期的論文中首次使用，該方法可以較好的分解出時(shí)間序列的趨勢(shì)要素。其原理如下：1、Hodrick-Prescott濾波方法

設(shè){Yt}是包含趨勢(shì)成分和波動(dòng)成分的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，

是其中還有的趨勢(shì)成分，

是其中含有的波動(dòng)成分。則

計(jì)算HP濾波就是從{Yt}中將

分離出來(lái)。一般地，時(shí)間序列{Yt}中可觀測(cè)部分趨勢(shì)

常被定義為下面的最小化問(wèn)題的解：

其中，c(L)是滯后算子多項(xiàng)式

將8-7帶入8-6中，則HP濾波的問(wèn)題就是最小化下面的損失函數(shù)，即

最小化問(wèn)題用

來(lái)調(diào)整趨勢(shì)的變化，并隨著

的增大而增大。HP濾波依賴于參數(shù)

，該參數(shù)需要先給定。

是對(duì)趨勢(shì)光滑程度和對(duì)原數(shù)據(jù)擬合程度的一個(gè)權(quán)衡參數(shù)，讀者根據(jù)需要在趨勢(shì)要素對(duì)實(shí)際序列的跟蹤程度和趨勢(shì)光滑程度之間做一個(gè)選擇。當(dāng)=0時(shí)，滿足最小化問(wèn)題的趨勢(shì)序列為{Yt}序列；隨著

值的增加，估計(jì)的趨勢(shì)越光滑；當(dāng)

趨于無(wú)窮大時(shí)，估計(jì)的趨勢(shì)將接近線性函數(shù)。

一般經(jīng)驗(yàn)，

的取值如下：

HP濾波把經(jīng)濟(jì)周期看成是宏觀經(jīng)濟(jì)對(duì)某一緩慢變動(dòng)路徑的一種偏離，該路徑在期間內(nèi)是單調(diào)增長(zhǎng)的，所以稱為趨勢(shì)。HP濾波增大了經(jīng)濟(jì)周期的頻率，使周期波動(dòng)減弱。案例8.2設(shè)置要點(diǎn)：（1）打開(kāi)lsze序列，點(diǎn)擊Proc/Hodrick-PrescottFilter，打開(kāi)如圖8.5所示的H-P濾波操作窗口。在Outputseries選項(xiàng)組中可以設(shè)置輸出的趨勢(shì)成分序列和波動(dòng)成分序列的名稱。系統(tǒng)默認(rèn)趨勢(shì)成分序列名為“hptrend01”，波動(dòng)成分序列名默認(rèn)為空。如果此欄不填，則系統(tǒng)不輸出該序列，本例中填寫(xiě)cycle01以輸出該序列。在SmoothingParameter選項(xiàng)組中可以設(shè)置濾波參數(shù)，即上文背景知識(shí)中提到的

值。圖8.5H-P濾波設(shè)置窗口（2）Eviews中提供了兩種參數(shù)的設(shè)定方式，系統(tǒng)默認(rèn)采用第一種，直接設(shè)定

值。根據(jù)該workfile的時(shí)間頻率（年度、季度或者月度），系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)填入相應(yīng)的指。另一種參數(shù)的設(shè)定方式是由RavnandUhlig在2002年提出的。它的具體規(guī)則如下：用一個(gè)年度內(nèi)的周期數(shù)量（如月度數(shù)據(jù)為12，季度數(shù)據(jù)為4）除以4，再取一個(gè)冪值，最后乘上1600。該冪值由用戶給定，HodrickandPrescott建議取2，RavnandUhlig建議取4。填入后，上方的

值將自動(dòng)按上述規(guī)則調(diào)整。若填入HodrickandPrescott的建議值2，則

值仍為默認(rèn)的14400不變。如填4，系統(tǒng)則會(huì)根據(jù)計(jì)算規(guī)則更改

的取值。如圖8.6所示的就是H-P濾波窗口中過(guò)濾參數(shù)的設(shè)定區(qū)域。圖8.6H-P濾波參數(shù)的設(shè)定區(qū)域（3）趨勢(shì)分解的結(jié)果。

點(diǎn)擊OK按鈕，彈出如圖8.7所示的過(guò)濾結(jié)果。圖8.7H-P濾波趨勢(shì)分解結(jié)果

BandPass濾波是利用譜分析對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行長(zhǎng)期趨勢(shì)、循環(huán)分解趨勢(shì)等分解的重要方法。其基本思想是：把時(shí)間序列看作是互不相關(guān)的頻率分量疊加，通過(guò)研究和比較各分量的周期變化，以充分揭示時(shí)間序列的頻率域結(jié)構(gòu)，掌握其主要的波動(dòng)特征。

設(shè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)X={x1,x2,…,xT}，T為樣本長(zhǎng)度。譜分析（spectralanalysis）的實(shí)質(zhì)是把時(shí)間序列X的變動(dòng)分解成不同的周期波動(dòng)之和。設(shè)頻率用

表示，周期用p表示，則頻率

和周期p有如下關(guān)系：時(shí)間序列X的變動(dòng)可以分解成各種不同頻率波動(dòng)的疊加和，根據(jù)哪種頻數(shù)的波動(dòng)具有更大的貢獻(xiàn)率來(lái)解釋X的周期波動(dòng)的成分，這就是譜分析（頻數(shù)分析）名稱的緣由。2、BandPass濾波方法

這就是說(shuō)當(dāng)具有各種周期的無(wú)數(shù)個(gè)波包含于景氣變動(dòng)中時(shí)，看看那個(gè)頻率的波能更強(qiáng)烈地表現(xiàn)這種變動(dòng)。時(shí)頻域分析中的核心概念是功率譜密度函數(shù)，它集中反映了時(shí)間序列中不同頻率分量對(duì)功率何方差的貢獻(xiàn)程度。限于篇幅，本書(shū)只簡(jiǎn)要介紹經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列功率譜的特征，具體的理論及公式可以參見(jiàn)由董文泉、高鐵梅等編著的《經(jīng)濟(jì)周期分析與預(yù)測(cè)方法》一書(shū)。

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程

是白噪音的情形，白噪音的功率譜可以表示為

，其中

是

的方差。白噪音的功率譜是水平的。所以白噪音的功率譜的所有頻率是具有統(tǒng)一權(quán)重的隨機(jī)過(guò)程。

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程

是一般隨機(jī)過(guò)程的情形，如果低頻率處功率譜值較高，則表示長(zhǎng)周期變動(dòng)的比重高，那么該隨機(jī)過(guò)程以長(zhǎng)期波動(dòng)為主。相反，如果高頻率處的功率譜值較高，則表示短周期變動(dòng)的比重高，那么該隨機(jī)過(guò)程是比白噪音還不規(guī)則的隨機(jī)過(guò)程。如果在某個(gè)特定的頻數(shù)附近功率譜值相對(duì)較高，則說(shuō)明這個(gè)隨機(jī)過(guò)程變動(dòng)的大部分是由這個(gè)頻數(shù)所確定的周期波動(dòng)。

下面來(lái)介紹一下頻率響應(yīng)函數(shù)的概念?？紤]隨機(jī)過(guò)程

的線性變換其中：

是確定的權(quán)重序列，如是

的移動(dòng)平均權(quán)重。上面的變換可以用滯后算子表示為：有這種變換構(gòu)成的滯后算子多項(xiàng)式被稱為線性濾波，簡(jiǎn)稱濾波。那么變換過(guò)程就可以稱為對(duì)

作用了濾波。由譜分析知識(shí)可知，

的功率譜可以表示為

其中：i是單位虛數(shù)。

與

相對(duì)應(yīng)。

稱為濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)。

成為濾波的增益。因此，變換后的功率譜給定為實(shí)數(shù)。進(jìn)一步，增益的平方

稱為濾波的功率傳遞函數(shù)。

形如8-8的線性變換被稱為線性濾波，是因?yàn)橥ㄟ^(guò)適當(dāng)設(shè)計(jì)權(quán)重序列，可以使傳遞函數(shù)在某些頻率區(qū)間內(nèi)等于0或近似等于0。這樣根據(jù)式8-9就可以將輸入中所有在這個(gè)頻率帶中的分量“過(guò)濾”掉，留下其他成分。根據(jù)所保留下來(lái)的頻率位于低頻處、高頻處或某個(gè)中間帶上，分別稱為低通濾波、高通濾波和帶通濾波。

根據(jù)線性濾波的性質(zhì)我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)能夠突出強(qiáng)調(diào)某個(gè)頻率帶的最優(yōu)濾波。最基本的是低通濾波，僅保留時(shí)間序列中緩慢變動(dòng)、低頻率的部分。理想的低通濾波只允許在

區(qū)間的頻率通過(guò)，

是“切斷”頻率。因此，低通濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)

為

由于濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)是濾波權(quán)重的富士變換，因此由于時(shí)間序列周期最小是2，因此頻率最大為

。雖然j變得越來(lái)越大時(shí)，權(quán)重將趨于0，但是要想得到理想的濾波，需要無(wú)限階移動(dòng)平均。實(shí)際應(yīng)用中，我們必須要用有限項(xiàng)移動(dòng)平均近似理想的濾波，設(shè)截?cái)帱c(diǎn)為n，這使得頻率響應(yīng)函數(shù)為

高通濾波與低通濾波正好相反，它剔除低頻成分而保留高頻成分。H-P濾波便可以近似的看作是一種高通濾波。對(duì)于同樣的切斷頻率

，高通濾波的權(quán)重為