相似矩陣及二次型演示文稿

相似矩陣及二次型演示文稿當(dāng)前第1頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)1（優(yōu)選）相似矩陣及二次型.當(dāng)前第2頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)2

n維向量空間是三維向量空間的直接推廣,但是只定義了線性運(yùn)算,而三維空間中有向量夾角和長(zhǎng)度的概念,它們構(gòu)成了三維空間豐富的內(nèi)容.§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性引言我們希望把這兩個(gè)概念推廣到n維向量空間中.

在解析幾何中,我們?cè)x了向量的內(nèi)積(數(shù)量積)建立標(biāo)準(zhǔn)的直角坐標(biāo)系后,可用向量的坐標(biāo)來(lái)計(jì)算內(nèi)積設(shè)則當(dāng)前第3頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)3內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)定義當(dāng)前第4頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)4性質(zhì)著名的Cauchy-Schwarz不等式即當(dāng)前第5頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)5長(zhǎng)度范數(shù)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)定義性質(zhì)(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易證,見(jiàn)P114)當(dāng)前第6頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)6單位向量夾角.三、單位向量和n維向量間的夾角正交當(dāng)前第7頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)7四、正交向量組定義若一個(gè)不含零向量的向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱該向量組為正交向量組．又如果這些向量都是單位向量,則稱該向量組為規(guī)范正交向量組.若該向量組是一個(gè)向量空間V的基,又分別稱為向量空間V的正交基和規(guī)范正交基.當(dāng)前第8頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)8性質(zhì)證設(shè)是正交向量組正交向量組必線性無(wú)關(guān).當(dāng)前第9頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)9例1解這相當(dāng)于要求方程組的非零解求得基礎(chǔ)解系(即為所求)為已知中兩個(gè)正交向量試求使構(gòu)成的一個(gè)正交基.當(dāng)前第10頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)10例2(例1的一般化,也稱正交基的擴(kuò)張定理)設(shè)是中的一個(gè)正交向量組,,證明必可找到個(gè)向量使構(gòu)成的正交基.都正交.證只需證必可找到使與記必有非零解.其任一非零解即為所求的當(dāng)前第11頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)11五、施密特正交化過(guò)程設(shè)是一組線性無(wú)關(guān)的向量,它就是它生成的向量空間的一個(gè)基(坐標(biāo)系),如何在向量空間L中建立正交的基(坐標(biāo)系)?這個(gè)問(wèn)題就是…找與等價(jià)的正交向量組當(dāng)前第12頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)12以三個(gè)向量為例,從幾何直觀上去求.上式兩邊與做內(nèi)積,注意得從而當(dāng)前第13頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)13我們已求得已正交,再求構(gòu)造(1)式兩邊與內(nèi)積,注意得(1)式兩邊再與內(nèi)積,類似可得從而當(dāng)前第14頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)14施密特正交化方法設(shè)線性無(wú)關(guān)令則兩兩正交,且與等價(jià).是與等價(jià)的規(guī)范正交組當(dāng)前第15頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)15兩兩正交,可用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明.與等價(jià),這是因?yàn)?只需看三個(gè))當(dāng)前第16頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)16例3求的一個(gè)規(guī)范正交基,并求向量解易知線性無(wú)關(guān),用施密特正交化方法

再單位化在該規(guī)范正交基下的坐標(biāo).當(dāng)前第17頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)17當(dāng)建立規(guī)范正交基(相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系)后,求一個(gè)向量的坐標(biāo)就特別方便兩邊分別與內(nèi)積(這里就不具體計(jì)算了)當(dāng)前第18頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)18六、正交矩陣定理A是正交矩陣A的列組是規(guī)范正交組A的行組是規(guī)范正交組定義正交矩陣.當(dāng)前第19頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)19記證(只證第三條)當(dāng)前第20頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)20性質(zhì)(1)A是正交矩陣，則和都是正交矩陣；(2)A，B都是正交矩陣，則AB也是正交矩陣；(3)A是正交矩陣，則；(4)P是正交矩陣，則，即正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變。當(dāng)前第21頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)21第五章相似矩陣及二次型

§5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§5.3相似矩陣§5.2方陣的特征值與特征向量§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形§5.7正定二次型當(dāng)前第22頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)22§5.2方陣的特征值與特征向量引言如果存在可逆矩陣P使(1)式成立,此時(shí)稱方陣A是可(相似)對(duì)角化的.記,則本章主要討論:對(duì)于方陣A能否找到(如何找)可逆矩陣P(1)使得滿足上式的稱為A的特征值,稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.當(dāng)前第23頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)23定義滿足設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)

和n維非零列向量x則稱為A的特征值，非零向量

x

稱為A的對(duì)應(yīng)于(或?qū)儆?特征值

的特征向量。把(1)改寫為是A的特征值使得(2)有非零解(2)的所有非零解向量都是對(duì)應(yīng)于的特征向量.當(dāng)前第24頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)24(注：第一章已求得，)稱為A的特征多項(xiàng)式，而稱為A的特征方程。由代數(shù)基本定理，特征方程在復(fù)數(shù)范圍恰有n個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)。因此，n階方陣在復(fù)數(shù)范圍恰有n個(gè)特征值。

本章關(guān)于特征值、特征向量的討論永遠(yuǎn)假設(shè)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行。當(dāng)前第25頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)25性質(zhì)設(shè)n階方陣特征值為,則又當(dāng)前第26頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)26例1求矩陣的特征值.兩個(gè)特征值為問(wèn):特征向量是實(shí)的還是復(fù)的?當(dāng)前第27頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)27例2求A的特征值.因此,n個(gè)特征值為問(wèn)：對(duì)角矩陣，下三角矩陣的特征值為？當(dāng)前第28頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)28例3求矩陣A，B的特征值和特征向量。解（對(duì)矩陣A）當(dāng)前第29頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)29A的特征值為對(duì)于，解方程組同解方程組為，令，得基礎(chǔ)解系因此，對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為當(dāng)前第30頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)30對(duì)于，解方程組同解方程組為，令得基礎(chǔ)解系因此，對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為當(dāng)前第31頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)31（對(duì)矩陣B）B的特征值為當(dāng)前第32頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)32對(duì)于，解方程組同解方程組為，令，得基礎(chǔ)解系因此，對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為當(dāng)前第33頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)33對(duì)于，解方程組同解方程組為，令，得基礎(chǔ)解系因此，對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為當(dāng)前第34頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)34回答問(wèn)題：(1)向量滿足,是A的特征向量嗎？(2)實(shí)矩陣的特征值(特征向量)一定是實(shí)的嗎?(3)矩陣A可逆的充要條件是所有特征值______。，A有一個(gè)特征值為_(kāi)_____。(4)，A有一個(gè)特征值為_(kāi)_____?？赡?A的特征值一定不等于______。當(dāng)前第35頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)35(6)一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)于幾個(gè)特征向量?一個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)幾個(gè)特征值?(后面證明)(7)A的各行元素之和均等于2,則A有一個(gè)特征值是___,它對(duì)應(yīng)的特征向量是______。(5)A的特征值與的特征值有什么關(guān)系？特征向量的個(gè)數(shù)=____。是的一個(gè)特征值，它對(duì)應(yīng)的最大無(wú)關(guān)的當(dāng)前第36頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)36例4證明：一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。證假設(shè)A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量都是則當(dāng)前第37頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)37例5設(shè)是方陣A的特征值，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量證明(1)是kA的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為x。(2)是的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為x。(3)當(dāng)A可逆時(shí)，是的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為x。證當(dāng)前第38頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)38推廣：設(shè)是方陣A的特征值，則是的特征值。的特征值。如果A可逆，則的特征值。是是當(dāng)前第39頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)39例6設(shè)3階矩陣A的三個(gè)特征值為求解A的特征值全不為零，故A可逆。的三個(gè)特征值為計(jì)算得因此，當(dāng)前第40頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)40例7證明A的特征值只能取1或2.設(shè)是A的特征值，則的特征值為由于是零矩陣，其特征值全是零，故證當(dāng)前第41頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)41第五章相似矩陣及二次型

§5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§5.3相似矩陣§5.2方陣的特征值與特征向量§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形§5.7正定二次型當(dāng)前第42頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)42§5.3相似矩陣設(shè)A，B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P，使則稱B是A的相似矩陣，或說(shuō)矩陣A與B相似。對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣。定義特別地，如果A與對(duì)角矩陣相似，則稱A是可對(duì)角化的。當(dāng)前第43頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)43性質(zhì)(1)相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系;(2)A與B相似,則r(A)=r(B);(3)A與B相似,則;從而A與B有相同的特征值;(4)A與B相似,則;(5)A與B相似,則;(6)A與B相似,則與相似;其中(7)A與B相似,且A可逆,則與相似。當(dāng)前第44頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)44例1

(1)與相似，求x與y和A的特征值。(2)與相似，求a與b。解(1)

A的特征值等于B的特征值為：當(dāng)前第45頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)45(2)當(dāng)前第46頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)46下面討論對(duì)角化的問(wèn)題這說(shuō)明：如果A可對(duì)角化，它必有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，就是P的n個(gè)列；反之，如果A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，把它拼成矩陣P(可逆)，把上面過(guò)程逆過(guò)來(lái)即知A可對(duì)角化。定理n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。當(dāng)前第47頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)47

不同特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量合并以后仍是線性無(wú)關(guān)的。定理即設(shè)是矩陣A的不同的特征值，又設(shè)對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量為對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量為對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量為則仍是線性無(wú)關(guān)的。當(dāng)前第48頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)48證(只證兩個(gè)不同特征值的情況)設(shè)上式兩邊左乘A得再由線性無(wú)關(guān)得類似可得由假設(shè)得當(dāng)前第49頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)49

n階矩陣A如有n個(gè)不同的特征值，則它有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而A一定可對(duì)角化。推論當(dāng)前第50頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)50例1(續(xù)第2節(jié)例3,首先看矩陣A)線性無(wú)關(guān)，由上面定理，第1步求特征值第2步求線性無(wú)關(guān)的特征向量，即求的基礎(chǔ)解系當(dāng)前第51頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)51第3步如有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,把它們拼成矩陣P(P可逆)令第4步寫出對(duì)角化形式則問(wèn)：如果令，則對(duì)嗎？當(dāng)前第52頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)52(這是二重根，但只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量)對(duì)于矩陣B不存在三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。因?yàn)閷?duì)B的任何一個(gè)特征向量,要么是屬于的,此時(shí)與相關(guān)；要么是屬于的,此時(shí)與相關(guān)。因此，B是不可對(duì)角化的。(再看矩陣B)當(dāng)前第53頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)53定理設(shè)的所有不同的特征值為則

注：就是的重根數(shù)，稱之為的(代數(shù))重?cái)?shù)，就是對(duì)應(yīng)的最大無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)，稱之為的幾何重?cái)?shù)。該定理說(shuō)明：任一特征值對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)至少有一個(gè)，至多不會(huì)超過(guò)它的重?cái)?shù)。如果是單重特征值，它有一個(gè)且僅有一個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量。當(dāng)前第54頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)54證(參考)設(shè)對(duì)應(yīng)的最大無(wú)關(guān)特征向量為把上面特征向量擴(kuò)充為n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量。則可逆。因C與A特征值相同，而上式說(shuō)明C有特征值，其重?cái)?shù)至少是。即。證畢。當(dāng)前第55頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)55定理n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是A的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于它的幾何重?cái)?shù)。即：設(shè)互不同，此時(shí)則A可對(duì)角化的充要條件是亦即：的重?cái)?shù)恰好等于它對(duì)應(yīng)的最大無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)。簡(jiǎn)稱:幾重特征值有幾個(gè)特征向量.當(dāng)前第56頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)56證(充分性)設(shè)個(gè)，它們?nèi)允蔷€性無(wú)關(guān)的，故可角化。把每個(gè)對(duì)應(yīng)的最大無(wú)關(guān)特征向量合并后，共有(必要性)設(shè)A可對(duì)角化當(dāng)前第57頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)57當(dāng)前第58頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)58例2問(wèn)x為何值時(shí)，A可對(duì)角化？是單重根，恰有一特征向量(不需討論)。是二重根，A可對(duì)角化當(dāng)前第59頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)59例3提示：A可對(duì)角化當(dāng)前第60頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)60第五章相似矩陣及二次型

§5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§5.3相似矩陣§5.2方陣的特征值與特征向量§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形§5.7正定二次型當(dāng)前第61頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)61§5.4(實(shí))對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交。定理對(duì)稱矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)。從而特征向量可取到實(shí)的。證當(dāng)前第62頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)62定理對(duì)稱矩陣必可正交對(duì)角化。即設(shè)A是對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣Q使得推論對(duì)稱矩陣特征值的重?cái)?shù)必等于其對(duì)應(yīng)的最大無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)。當(dāng)前第63頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)63例1把對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化。第1步:求特征值。(特征值必都是實(shí)數(shù))當(dāng)前第64頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)64第2步:求線性無(wú)關(guān)的特征向量。對(duì)，解方程組求得基礎(chǔ)解系(即無(wú)關(guān)特征向量，幾個(gè)向量？)當(dāng)前第65頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)65對(duì)，解方程組求得基礎(chǔ)解系(即無(wú)關(guān)特征向量，幾個(gè)向量？)前面的當(dāng)前第66頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)66第3步:檢驗(yàn)重特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是否正交，如果不正交，用施密特過(guò)程正交化，再把正交的特征向量單位化。當(dāng)前第67頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)67第4步:把求得的規(guī)范正交特征向量拼成正交矩陣。單位化：則令當(dāng)前第68頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)68例2設(shè)3階對(duì)稱矩陣A的特征值為與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為求A。提示：設(shè)對(duì)應(yīng)于的無(wú)關(guān)特征向量為則說(shuō)明是方程組的兩個(gè)無(wú)關(guān)的解(基礎(chǔ)解系)，因此，上面方程組的任意兩個(gè)無(wú)關(guān)的解都是對(duì)應(yīng)于的特征向量。解(1)可求得再正交化單位化構(gòu)成正交矩陣Q當(dāng)前第69頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)69第五章相似矩陣及二次型

§5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§5.3相似矩陣§5.2方陣的特征值與特征向量§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形§5.7正定二次型當(dāng)前第70頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)70§5.5二次型其次標(biāo)準(zhǔn)形引言判別下面方程的幾何圖形是什么？作旋轉(zhuǎn)變換代入(1)左邊，化為：見(jiàn)下圖當(dāng)前第71頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)71當(dāng)前第72頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)72稱為n維(或n元)的二次型.定義含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)三維的二次型為再改寫：關(guān)于二次型的討論永遠(yuǎn)約定在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行！當(dāng)前第73頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)73對(duì)稱當(dāng)前第74頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)74一般地，對(duì)于n維的二次型上式稱為二次型的矩陣表示。也常記為(對(duì)稱)其中當(dāng)前第75頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)75任給一個(gè)對(duì)稱矩陣A，令可唯一地確定一個(gè)二次型．反之，任給一個(gè)二次型f可找到對(duì)稱矩陣A使得.而且對(duì)稱矩陣A是唯一.因?yàn)?設(shè)xTAx=xTBx(A,B都是對(duì)稱矩陣),即(以三維為例)令類似令類似當(dāng)前第76頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)76對(duì)稱矩陣A叫做二次型f的矩陣;f叫做對(duì)稱矩陣A的二次型;對(duì)稱矩陣A的秩叫做二次型f的秩.記作r(f).二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．這說(shuō)明：當(dāng)前第77頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)77例1寫出下面二次型f的矩陣表示，并求f的秩r(f)。解問(wèn)：在二次型中,如不限制A對(duì)稱,A唯一嗎?當(dāng)前第78頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)78定義只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)。平方項(xiàng)系數(shù)只在中取值的標(biāo)準(zhǔn)形(注：這里規(guī)范形要求系數(shù)為1的項(xiàng)排在前面，其次排系數(shù)為-1的項(xiàng)。與書上略有不同。)稱為二次型的規(guī)范形。當(dāng)前第79頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)79目的：對(duì)給定的二次型找可逆的線性變換(坐標(biāo)變換)：代入(1)式，使之成為標(biāo)準(zhǔn)形稱上面過(guò)程為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。當(dāng)前第80頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)80用矩陣書寫化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：(其中D為對(duì)角矩陣)注意到與D都是對(duì)稱矩陣，而二次型與對(duì)稱矩陣是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故“化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形”又等價(jià)于對(duì)給定的對(duì)稱矩陣A，找可逆矩陣C，使問(wèn)：這件事情能夠做到嗎？以前學(xué)過(guò)嗎？當(dāng)前第81頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)81主軸定理當(dāng)前第82頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)82用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟當(dāng)前第83頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)83例2解化為標(biāo)準(zhǔn)形。求A的特征值求二次型的矩陣當(dāng)前第84頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)84求A的規(guī)范正交的特征向量單位化當(dāng)前第85頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)85得正交的基礎(chǔ)解系單位化求正交變換矩陣當(dāng)前第86頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)86寫出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換，二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形為當(dāng)前第87頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)87例3設(shè)二次型經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形求(1)a,b;(2)正交變換矩陣Q.解二次型的矩陣為由題意由相似矩陣的性質(zhì)得，從而當(dāng)前第88頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)88解得A與D有相同的特征值，分別為求得它們對(duì)應(yīng)的特征向量(正交)為再單位化并排成矩陣即得所求的正交變換矩陣當(dāng)前第89頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)89定義設(shè)A和B是n階矩陣，若有可逆矩陣C，使則稱A與B合同.性質(zhì)(1)合同關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系；(2)A與B合同,則r(A)=r(B);(3)A與B合同,A對(duì)稱,則B對(duì)稱.二次型化標(biāo)準(zhǔn)形又相當(dāng)于把一個(gè)對(duì)稱矩陣合同變換為對(duì)角矩陣。在n階對(duì)稱矩陣集合中，矩陣的合同等價(jià)相當(dāng)于二次型可以互化(也稱二次型等價(jià))。當(dāng)前第90頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)90定理二次型必可化為規(guī)范形。證設(shè)二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)經(jīng)正交變換化為:(思考為什么一定可化為上面形式？)再做一次可逆的線性變換則f化為思考：在可互化的二次型中最簡(jiǎn)單的是什么？在對(duì)稱矩陣合同等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣是什么？當(dāng)前第91頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)91思考并回答(1)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形唯一嗎？(2)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與二次型的秩有何關(guān)系？與二次型矩陣的非零特征值的個(gè)數(shù)有何關(guān)系？(3)設(shè)CTAC=D(C可逆，D是對(duì)角陣)，D的對(duì)角元是A的特征值嗎？如果C是正交矩陣又如何？(4)設(shè)4階對(duì)稱矩陣A的特征值為0,2,2,-3,A的二次型的規(guī)范形是什么？當(dāng)前第92頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)92第五章相似矩陣及二次型

§5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§5.3相似矩陣§5.2方陣的特征值與特征向量§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形§5.7正定二次型當(dāng)前第93頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)93§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形配方法的步驟

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)可逆線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;

2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.當(dāng)前第94頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)94例1當(dāng)前第95頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)95當(dāng)前第96頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)96所用變換矩陣為當(dāng)前第97頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)97例2由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)當(dāng)前第98頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)98再配方，得當(dāng)前第99頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)99所用變換矩陣為當(dāng)前第100頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)100思考題(下面做法對(duì)嗎？)得標(biāo)準(zhǔn)形為當(dāng)前第101頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)101第五章相似矩陣及二次型

§5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§5.3相似矩陣§5.2方陣的特征值與特征向量§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形§5.7正定二次型當(dāng)前第102頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)102§5.7正定二次型本節(jié)討論二次型的分類問(wèn)題.重點(diǎn)是正定二次型.在n維的二次型中,如果兩個(gè)二次型xTAx和yTBy可以互化，即則稱這兩個(gè)二次型等價(jià)。這相當(dāng)于即在n階對(duì)稱矩陣中A與B合同等價(jià)。我們把等價(jià)的二次型分為同一類。相當(dāng)于對(duì)稱矩陣的合同等價(jià)類。當(dāng)前第103頁(yè)\共有113頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)103什么條件決定兩個(gè)二次型等價(jià)？我們知道,等價(jià)的二次型有相同的秩,也就是標(biāo)準(zhǔn)形