2023屆高考前迅速提分復(fù)習(xí)（上海專用）專題1-3函數(shù)四大考點與真題訓(xùn)練 （解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專用））考點一：函數(shù)及其性質(zhì)一、單選題1．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，若正實數(shù)滿足：則下列選項一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對新定義進行化簡，分別在條件，，，下化簡，結(jié)合所得結(jié)果，進一步確定滿足條件的關(guān)系，由此判斷各選項.【詳解】因為，，又所以，(1)若則，不等式可化為，則，所以，①若，則可化為，矛盾，②若，則可化為，矛盾，③若，則可化為，矛盾，(2)若則，不等式可化為，所以，①若，則可化為，矛盾，②若，則可化為，滿足，可化為，滿足，③若，則可化為，滿足，可化為，滿足，(3)若則，不等式可化為，所以①若，則可化為，滿足，可化為，滿足，②若，則可化為，滿足，可化為，滿足，③若，則可化為，滿足，可化為，滿足，(4)若則，不等式可化為，所以，①若，則可化為，滿足，可化為，矛盾，②若，則可化為，矛盾，③若，則可化為，矛盾，綜上，或或或或，由知，A錯誤；由知，B錯誤；當時，，取可得，滿足條件但，C錯誤；當時，，當時，當時，，當時，，當時，，故選：D.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.二、填空題2．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）函數(shù)的定義域是______．【答案】【詳解】由題設(shè)有，解得，故函數(shù)的定義域為，填．3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，，不等式的解集為___________.【答案】或【分析】先求出時的解析式，然后分，，分別解不等式即可.【詳解】當時，，由得或或，解得或故答案為：或4．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集是__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為.因為在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，又，所以不等式的解集為.故答案為：5．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）在上非嚴格遞增，滿足，若存在符合上述要求的函數(shù)及實數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意整理可得：對，則，分類討論的取值范圍，分析運算.【詳解】∵，即對，則，故對，則，∵，則有：1.當時，則，可得，不成立；2.當時，則，可得，則，若，解得，符合題意；特別的：例如，取，則，解得；例如，取，則，解得；故；3.當時，則，可得，不成立；4.當時，則，可得，則，若，解得，符合題意；特別的：例如，取，則；例如，取，則；故；5.當時，則，可得，不成立；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）對，結(jié)合累加法求得；（2）對于分段函數(shù)，一般根據(jù)題意分類討論，本題重點討論與的大小關(guān)系；（3）對特殊函數(shù)的處理，本題可取和.三、解答題6．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）若函數(shù)和的圖象均連續(xù)不斷，和均在任意的區(qū)間上不恒為，的定義域為，的定義域為，存在非空區(qū)間，滿足：，均有，則稱區(qū)間為和的“區(qū)間”．(1)寫出和在上的一個“區(qū)間”（無需證明）；(2)若，是和的“區(qū)間”，證明：不是偶函數(shù)；(3)若，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，是和的“區(qū)間”，證明：在區(qū)間上存在零點．【答案】(1)（答案不唯一，只需是的非空子集即可）(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“區(qū)間”的定義求得結(jié)果即可；（2）根據(jù)存在，使得且，結(jié)合奇偶性定義可證得結(jié)論；（3）由零點存在定理可知存在唯一，使得，結(jié)合單調(diào)性可確定存在，使得，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）的定義域為，的定義域為，；當時，，，，和的一個“區(qū)間”為；則和在上的一個“區(qū)間”是的非空子集.（2）當時，，；當時，，；在任意區(qū)間上不恒為，存在，使得；又，，不是偶函數(shù).（3）當時，；當時，，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，存在唯一，使得，且當時，；當時，；當時，且存在，使得；當時，且存在，使得；存在，使得，在區(qū)間上存在零點．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)中的新定義運算的問題，本題第三問證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點的關(guān)鍵是能夠結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在定理來說明函數(shù)存在零點.7．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，且.(1)判斷在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；(2)，且在上有零點，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析；(2)【分析】（1）由題意解出的值，再利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）轉(zhuǎn)化問題為在上有解，則有解，利用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性，進而求得取值范圍即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，則，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由（1）得，在上有零點，即在上有解，則有解，令，則，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，沒有最大值，所以.8．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知集合A和定義域為的函數(shù)，若對任意，，都有，則稱是關(guān)于A的同變函數(shù).(1)當與時，分別判斷是否為關(guān)于A的同變函數(shù)，并說明理由；(2)若是關(guān)于的同變函數(shù)，且當時，，試求在上的表達式，并比較與的大??；(3)若n為正整數(shù)，且是關(guān)于的同變函數(shù)，求證：既是關(guān)于的同變函數(shù)，也是關(guān)于的同變函數(shù).【答案】(1)當時，是關(guān)于的同變函數(shù)；當時，不是關(guān)于的同變函數(shù)，理由見解析.(2)，當時，；當時，.(3)證明見解析.【分析】（1）當時，運用定義證明即可；當時，舉反例說明即可.（2）由定義推導(dǎo)出是以2為周期的周期函數(shù)，進而可得在解析式，再運用作差法后使用換元法研究函數(shù)的最值來比較與的大小.（3）運用定義推導(dǎo)出是以為周期的周期函數(shù)，再用定義分別證明與兩種情況即可.【詳解】（1）當時，對任意的，，，由，可得，又，所以，故是關(guān)于的同變函數(shù)；當時，存在，，使得，即，所以不是關(guān)于的同變函數(shù).（2）由是關(guān)于的同變函數(shù)，可知恒成立，所以恒成立，故是以2為周期的周期函數(shù).當時，，由，可知.（提示：也可通過分類討論與累加法予以證明，下面的*式也同理可證）對任意的，都存在，使得，故.所以令，則，可得，所以（當且僅當，即時取等號）.所以當時，；當時，.（3）因為是關(guān)于的同變函數(shù)，所以對任意的，，都有，故，用代換x，可得，所以，即，又，故，且.所以，故是以為周期的周期函數(shù).對任意的，，由，可得，（*）所以是關(guān)于的同變函數(shù).對任意的，存在非負整數(shù)m，使，所以，對任意的，，即，所以是關(guān)于的同變函數(shù).故既是關(guān)于的同變函數(shù)，也是關(guān)于的同變函數(shù).9．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）某展覽會有四個展館，分別位于矩形ABCD的四個頂點A、B、C、D處，現(xiàn)要修建如圖中實線所示的步道（寬度忽略不計，長度可變）把這四個展館連在一起，其中百米，百米，且.(1)試從各段步道的長度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量x，并求出步道的總長y（單位：百米）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求步道的最短總長度（精確到0.01百米）.【答案】(1)答案見解析(2)18.39百米【分析】（1）若設(shè)百米，運用勾股定理表示、，進而寫出y與x的關(guān)系式；若設(shè)，運用三角函數(shù)表示、、，進而寫出y與x的關(guān)系式；（2）運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）設(shè)直線EF與AD，BC分別交于點M，N，若設(shè)百米，則，所以，又因為，所以.若設(shè)，則，，，則，解得，又因為，所以，所以）.（2）設(shè)，，令，可得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，取得極小值（最小值）（百米）.所以步道的最短總長度約為18.39百米.設(shè)），，令，可得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，取得極小值（最小值）（百米），所以步道的最短總長度約為18.39百米.考點二：一次函數(shù)與二次函數(shù)一、單選題1．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）已知正方形的邊長為4，點、分別在邊、上，且，，若點在正方形的邊上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標系，利用向量的數(shù)量積運算及二次函數(shù)求值域即可得解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，則，，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即，當在上時，設(shè)，則，，知，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即.綜上可得，，故選：C2．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知，，，實數(shù)滿足，設(shè)，，現(xiàn)有如下兩個結(jié)論：①對于任意的實數(shù)，存在實數(shù)，使得；②存在實數(shù)，對于任意的，都有；則（

）A．①②均正確 B．①②均不正確C．①正確，②不正確 D．①不正確，②正確【答案】C【分析】對①，根據(jù)，的幾何意義，判斷得出與一定有兩個交點分析即可對②，通過化簡，將題意轉(zhuǎn)換為：存在實數(shù)，使得在上為減函數(shù)，再分析出當時函數(shù)有增區(qū)間，推出矛盾即可【詳解】對①，的幾何意義為與兩點間的斜率，同理的幾何意義為與兩點間的斜率.數(shù)形結(jié)合可得，當時，存在；當時，存在，使得，即成立.即對于任意的實數(shù)，存在實數(shù)，使得，故①正確；對②，若存在實數(shù)，對于任意的，都有，即，即，即.即存在實數(shù)，對于任意的，恒成立.設(shè)，則，即為減函數(shù).故原題意可轉(zhuǎn)化為：存在實數(shù)，使得在上為減函數(shù).因為當時，，因為對稱軸為，故當時一定為增函數(shù)，故不存在實數(shù)，使得在上為減函數(shù).故②錯誤故選：C3．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）對于函數(shù)，若自變量在區(qū)間上變化時，函數(shù)值的取值范圍也恰為，則稱區(qū)間是函數(shù)的保值區(qū)間，區(qū)間長度為.已知定義域為的函數(shù)的表達式為，給出下列命題：①函數(shù)有且僅有個保值區(qū)間；②函數(shù)的所有保值區(qū)間長度之和為.下列說法正確的是（

）A．結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 B．結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立C．兩個結(jié)論都成立 D．兩個結(jié)論都不成立【答案】B【分析】分析可知，分、兩種情況討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在上的值域為求出、的值，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，所以，①當時，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由題意可得，解得；②當時，則當時，，必有，則，所以，函數(shù)在上遞減，在上單調(diào)遞增，由，可得，當時，，故當時，，，故當時，函數(shù)在上的值域為，不合乎題意；當時，有，得，此時，當時，，，合乎題意.綜上，有個保值區(qū)間，故①錯；所有的保值間為和，長度之和為，故②對.故選：B.二、填空題4．（2022·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為______．【答案】【分析】由二次函數(shù)的值域為，分析求出參數(shù)，然后代入中求出值域即可【詳解】由二次函數(shù)的值域為得：解得：或（舍去）所以因為所以函數(shù)的值域為：故答案為：.5．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合，，則_______.【答案】.【分析】由二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)值域可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，；，；.故答案為：.6．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）已知是定義域為的奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線對稱，當時，.對于閉區(qū)間，用表示在上的最大值，若正實數(shù)滿足，則的值是___________.【答案】或【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)及對稱軸得函數(shù)的周期，再結(jié)合已知解析式作出函數(shù)圖象，由于，由的定義及函數(shù)的單調(diào)性得出，，，求出與圖象交點的橫坐標（在上求出，由周期性易得其他值），然后分析推理得出時的值．【詳解】因為是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以是周期函數(shù)，4是它的一個周期．由奇函數(shù)、周期性作出函數(shù)的圖象，如圖．當時，，最大值為1，因此的最大值為1，且，，由于，因此，在上遞增，所以若，則，所以，所以，，一定有，否則，從而．由得或，所以圖中，，當時，，滿足題意，當時，，滿足題意．綜上，的值為或．7．（2022·上海浦東新·上海市實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）函數(shù)的圖象是兩條線段（如圖），它的定義域為，則不等式的解集為________．【答案】【分析】首先求得函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的解析式分類討論即可求得最終結(jié)果．【詳解】解：當x∈時，設(shè)線段所在直線的方程為，線段過點（﹣1，0），（0，1），根據(jù)一次函數(shù)解析式的特點，可得出方程組，解得．故當x∈[﹣1，0）時，f（x）＝x+1；同理當x∈（0，1]時，f（x）＝x1；當x∈[﹣1，0）時，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化為：x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．當x∈（0，1]時，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化為：x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，綜上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集為．故答案為：三、解答題8．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)和，其中，.(1)求函數(shù)的最小值；(2)若對任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先將的解析式進行配方，然后討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，可求出函數(shù)的最小值；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值和的最大值，然后使，建立關(guān)系式，解之即可求出答案.【詳解】(1)由，則二次函數(shù)的對稱軸為，則當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當時，在上單調(diào)遞減，，所以；(2)，當時，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.若對任意，恒成立則，故或解得：.9．（2022·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求的表達式;(2)設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）就、、、、分類討論后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的最小值.（2）利用單調(diào)性的定義可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）若，則，該函數(shù)在上為減函數(shù)，故，若，則的圖象為開口向下的拋物線，且其對稱軸為，故在上為減函數(shù)，故，若，則，故在上為減函數(shù)，故，若，則在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故，若，則，故在上為增函數(shù)，故，綜上，.（2），任意的，，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，故對任意恒成立，而，故對任意.若即，因為，故即，故，若即，故，符合；若即，故即，故，綜上，.10．（2022·上海徐匯·上海中學(xué)?？寄M預(yù)測）某電子公司生產(chǎn)某種智能手環(huán)，其固定成本為2萬元，每生產(chǎn)一個智能手環(huán)需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于日產(chǎn)量x（單位：個）滿足函數(shù)：.(1)將利潤（單位：元）表示成日產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當日產(chǎn)量x為何值時，該電子公司每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＋總成本＝總收入）【答案】(1)(2)當月產(chǎn)量為300臺時，公司獲得的月利潤最大，其值為25000元【分析】（1）根據(jù)利潤為總收入減去總成本，即可得到利潤的解析式；（2）結(jié)合（1）中的解析式，分討討論的取值范圍，結(jié)合配方法與一次函數(shù)的單調(diào)性，求得的最值，同時得到相應(yīng)的值.【詳解】（1）根據(jù)題意，當時，，當時，，所以.（2）當時，，所以當時，；當時，易知是減函數(shù)，所以；綜上：當時，，所以，當月產(chǎn)量為300臺時，公司獲得的月利潤最大，其值為25000元.11．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）高鐵的建設(shè)為一個地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展提供了強大的推進力，也給人們的生活帶來極大便捷.以下是2022年開工的雄商高鐵線路上某個路段的示意圖，其中線段?代表山坡，線段為一段平地.設(shè)圖中坡的傾角滿足，長長長.假設(shè)該路段的高鐵軌道是水平的（與平行），且端點分別與在同一鉛垂線上，每隔需要建造一個橋墩（不考慮端點建造橋墩）(1)求需要建造的橋墩的個數(shù)；(2)已知高鐵軌道的高度為，設(shè)計過程中每放置一個橋墩，設(shè)橋墩高度為（單位：），單個橋墩的建造成本為（單位：萬元），求所有橋墩建造成本總和的最小值.【答案】(1)18個(2)715.625萬元【分析】（1）先由正切值得到余弦值，進而計算得到得到的長，再計算得出，結(jié)合每30m放置一個橋墩，即可求出需要建造的個數(shù).（2）可設(shè)最左邊的橋墩到的距離為米，為從左往由第個橋墩的高度，寫出和對應(yīng)的橋墩高度的表達式，然后利用數(shù)列求和求出所有橋墩的高度，計算出成本總和的最小值即可得出答案.【詳解】（1）由，，可得，，過點向作垂線，垂足為，則，，，故修建橋墩個數(shù)為個.（2）設(shè)最左邊的橋墩到的距離為米，為從左往由第個橋墩的高度，由，之間可以建13或14個橋墩，當可以建14個橋墩時，，當時，AC之間可以建13個橋墩，而，即之間可以建8個橋墩，在時，當，，，，；當，；當，；同理寫出，表達式總結(jié)如下：①當時：解得求和后得到的高度總和②當時：求和后得到的高度總和所以當，，當，，即橋墩高度總和最小為，成本最小值為萬元.【點睛】方法點睛：利用數(shù)列求解最值問題一般有三種方法：（1）數(shù)列也是特殊的函數(shù)，其定義域為正整數(shù)，因此可以利用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而確定數(shù)列的最值.（2）結(jié)合基本不等式求最值，將通項或者前n項和轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式求最值.（3）利用相鄰項比較，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求最大值只需要滿足，得出最值.考點三：指對冪函數(shù)一、單選題1．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對四個選項一一驗證：對于A：利用奇偶性的定義進行證明；對于B：取特殊值否定結(jié)論；對于C：取特殊值否定結(jié)論；對于D：取特殊值否定結(jié)論.【詳解】對于A：的定義域為R.因為，所以為偶函數(shù).故A正確；對于B：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故B錯誤；對于C：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故C錯誤；對于D：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故D錯誤；故選：A.2．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)定義域為的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】化分數(shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案．【解答】，定義域為，，定義域為，，定義域為，，定義域為．故選：C．3．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在如今這個5G時代，6G研究已方興未艾．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦．會上傳出消息，未來6G速率有望達到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改變帶寬W，而將信噪比從9提升至161，則最大信息傳遞率C會提升到原來的（

）參考數(shù)據(jù)：．A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍【答案】C【分析】按照題中所給公式分別求出當時和當時的最大信息傳遞率即可求出答案.【詳解】當時，最大信息傳遞率當時，最大信息傳遞率.故選：C.二、填空題4．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考一模）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則實數(shù)______.【答案】4【分析】將點的坐標代入函數(shù)解析式解方程求即可.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，所以，所以，故答案為：4.5．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，函數(shù)的反函數(shù)為，且，則__．【答案】【分析】由條件可得，然后求出的值，然后可得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以．故答案為：6．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）設(shè)且滿足，則__________.【答案】【分析】令，則，根據(jù)即可求解．【詳解】令，則所以，整理得解得，所以故答案為：7．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）若時，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】或【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性，即可得到關(guān)于的不等式，求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】由已知可得，且.又時，，即，所以有，即，解得或.故答案為：或.8．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且，則方程的解為______________．【答案】3【分析】分類討論和，解方程的解，即可得出答案.【詳解】當時，，解得：，當時，，解得：（舍去），所以方程的解為.故答案為：3.9．（2022·上海徐匯·上海中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知、、成等差數(shù)列，且公差．、、分別是的角、、的對邊，則__．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列確定，，，變換得到，解得答案.【詳解】、、成等差數(shù)列，且公差，所以，所以，且，即，是直角，，即，即，即，，，解得或（舍去）故答案為：10．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．【答案】【分析】由得，作出和的圖像，結(jié)合圖像求得不等式的解集．【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖像如圖：兩函數(shù)圖像的交點坐標為，由圖可知：當或時，成立，所以不等式的解集為：．故答案為：．11．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則的反函數(shù)________.【答案】##【分析】先求得冪函數(shù)的解析式，再去求的反函數(shù)，即可解決.【詳解】若冪函數(shù)在上遞減，則，又冪函數(shù)為奇函數(shù)，則，則的反函數(shù)為故答案為：三、解答題12．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)設(shè)的反函數(shù)為，求的最值.(2)函數(shù)滿足，求證：當時，.【答案】(1)最大值1，無最小值(2)證明見解析【分析】（1）先求出的反函數(shù)為，然后得到解析式，再求最值即可；（2）當時，得到和的表達式，然后比較大小.【詳解】（1）.因為，且，所以當時，有最大值1，此時；無最小值.（2）證明：.當時，因為，其中，又，所以.（另用分析法也可證明.）13．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考二模）設(shè)為常數(shù)，函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的反函數(shù)；(2)若，根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由．【答案】(1)，(2)當時，函數(shù)是奇函數(shù)；當且時，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．【分析】（1）利用把表示出來即可求得結(jié)果；（2）對分情況討論，利用函數(shù)奇偶性判斷即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由，得，于是，且．因此，所求反函數(shù)為，．（2）當時，，定義域為．，故函數(shù)是奇函數(shù)；當且時，函數(shù)的定義域為，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．14．（2022·上?！つM預(yù)測）(1)若將函數(shù)圖像向下移后，圖像經(jīng)過，求實數(shù)a，m的值.(2)若且，求解不等式.【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】（1）由題知，再根據(jù)題意得，解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為的解集，再分類討論求解即可.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域滿足，即，所以，要使函數(shù)的定義域非空，則，即.若將函數(shù)圖像向下移后得到的解析式為：，.所以在函數(shù)的圖像上，即，解得：，所以，（2）解：由題知，,,因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以等價于，展開整理得：，所以，不等式的解集為的解，所以，當時，不等式的解為；當時，不等式的解為.綜上，當時，不等式的解為；當時，不等式的解為.15．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都存在個不同的實數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”．(1)試判斷是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請說明理由；(2)求證：是的“4重覆蓋函數(shù)”；(3)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)不是的“2重覆蓋函數(shù)”理由見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）：根據(jù)兩個函數(shù)的值域，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即；（2）：可根據(jù)兩個函數(shù)的值域，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性進行判斷即可；（3）：將題轉(zhuǎn)化為對任意，有2個實根，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由可知：，函數(shù)的圖像如圖所示：當時，，當時，解得，所以不是的“2重覆蓋函數(shù)”；（2）證明：因為，所以，又因為，又因為，所以，所以，又因為，所以，又因，可得為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，作出兩函數(shù)的內(nèi)的大致圖像，如圖所示：，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，由此可知在內(nèi)有4個解．所以是在的“4重覆蓋函數(shù)”；（3）可得的定義域為，即對任意，存在2個不同的實數(shù)，使得（其中），∵，∴，所以，所以，即，即對任意，有2個實根，當時，已有一個根，故只需時，僅有1個根，當時，，符合題意，當時，則需滿足，解得，當時，拋物線開口向下，有最大值，不能滿足對任意，僅有1個根，故不成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】在處理兩函數(shù)圖像交點問題時，可通過分離變量交點問題轉(zhuǎn)化為與兩個函數(shù)的圖像交點情況.考點四：函數(shù)的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知定義在R上的函數(shù)對任意，都有成立且滿足（其中a為常數(shù)），關(guān)于x的方程：的解的情況．下面判斷正確的是（

）A．存在常數(shù)a，使得該方程無實數(shù)解 B．對任意常數(shù)a，方程均有且僅有1解C．存在常數(shù)a，使得該方程有無數(shù)解 D．對任意常數(shù)a，方程解的個數(shù)大于2【答案】B【分析】將方程的解的情況轉(zhuǎn)化為零點的情況，然后根據(jù)得到，根據(jù)，得到，然后利用定義法得到在R上單調(diào)遞增，即可得到對任意常數(shù)，方程只有一個解.【詳解】令，則方程的解的情況可以轉(zhuǎn)化為零點的情況，因為，所以，因為，所以，則，令，，因為，所以，，即，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以對任意常數(shù)，只有一個零點，即方程只有一個解.故選：B.二、填空題2．（2022·上海長寧·統(tǒng)考一模）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數(shù)；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的___________米的位置，信息素濃度為.【答案】4【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式將已知數(shù)據(jù)代入求解即可.【詳解】因為釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，所以，所以，即當時，，整理得即，所以，因為，所以.故答案為:4.3．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考一模）函數(shù)在區(qū)間上的零點是___________.【答案】【分析】根據(jù)零點的定義，求解簡單的三角方程，即可求得結(jié)果.【詳解】令，解得，又，故可得.即函數(shù)在區(qū)間上的零點是.故答案為：.三、解答題4．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為正比例系數(shù)，定義：為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．(1)若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，求該建筑體的（用表示）；(2)現(xiàn)有一個建筑體，側(cè)面皆垂直于地面，設(shè)A為底面面積，L為建筑底面周長．已知為正比例系數(shù)，與成正比，定義：，建筑面積即為每一層的底面面積，總建筑面積即為每層建筑面積之和，值為．已知該建筑體推導(dǎo)得出，為層數(shù)，層高為3米，其中，試求當取第幾層時，該建筑體最??？【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用圓柱體的表面積和體積公式，結(jié)合題目中的定義求解即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性，即可求出最小時的值.【詳解】（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得：，，所以.（2）由題意可得，，所以，令即，解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值在或取得，當時，，當時，，所以在第6層時，該建筑體最小.5．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到的距離分別為5千米和40千米，點N到的距離分別為20千米和2.5千米，以所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）模型.（1）求a，b的值；（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.【答案】（1）（2）①定義域為，②千米【詳解】試題分析（1）由題意得函數(shù)過點，列方程組就可解出a，b的值（2）①求公路l長度的函數(shù)解析式，就是求出直線l與x,y軸交點，再利用兩點間距離公式計算即可，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出直線l方程，再根據(jù)M，N為C的兩個端點的限制條件得定義域為②對函數(shù)解析式解析式根式內(nèi)部分單獨求導(dǎo)求最值，注意列表說明函數(shù)變化趨勢.試題解析：（1）由題意知，點，的坐標分別為，．將其分別代入，得，解得．（2）①由（1）知，（），則點的坐標為，設(shè)在點處的切線交，軸分別于，點，，則的方程為，由此得，．故，．②設(shè)，則．令，解得．當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù)．從而，當時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時．答：當時，公路的長度最短，最短長度為千米．【解析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，導(dǎo)數(shù)幾何意義6．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對于任意，函數(shù)，在內(nèi)均存在唯一零點，求a的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)大于0的零點，其構(gòu)成數(shù)列．問：是否存在實數(shù)a使得中的部分項：，，，（其中時，）構(gòu)成一個無窮等比數(shù)列若存在；求出a；若不存在請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；【分析】（1）由題知，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解即可得答案；（2）由題知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而轉(zhuǎn)化為，再解不等式得對一切成立，進而得；（3）根據(jù)得，再證明時是恒為1的常數(shù)列，符合題意，和時不滿足題意即可.【詳解】（1）解：由題知，所以，令得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（2）解：當時，恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在內(nèi)均存在唯一零點只需即可，即因為為正整數(shù)，，所以對一切成立因為當時，，當且僅當時等號成立，所以．（3）解：由于得，下面證明時滿足題意.①，則．則．由（2），是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是恒為1的常數(shù)列，符合題意．②．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是嚴格增數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列也為嚴格增數(shù)列．所以，．當時，．但這與矛盾故不符合題意．③時，，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是嚴格減數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列也為嚴格減數(shù)列．所以，．當時，．但這與矛盾故不符合題意．綜上，使數(shù)列部分項可以構(gòu)成等比數(shù)列的充要條件是：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第3問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)得，進而分，，分別說明時成立，其他范圍不成立即可.7．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考一模）企業(yè)經(jīng)營一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分構(gòu)成．生產(chǎn)成本固定為每臺130元．根據(jù)市場調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為x萬臺時，每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為I（x）萬元．兩者滿足關(guān)系：(1)甲企業(yè)獨家經(jīng)營，其研發(fā)成本為60萬元．求甲企業(yè)能獲得利潤的最大值；(2)乙企業(yè)見有利可圖，也經(jīng)營該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬元．問：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬臺時獲得的利潤最大；（假定甲企業(yè)按照原先最大利潤生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變）(3)由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預(yù)期的最大收益、因此會作相應(yīng)調(diào)整，之后乙企業(yè)也會隨之作出調(diào)整，最終雙方達到動態(tài)平衡（在對方當前產(chǎn)量不變的情況下，已方達到利潤最大）求動態(tài)平衡時，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量和利潤分別是多少．【答案】(1)1965萬元(2)22.5萬臺(3)甲企業(yè)產(chǎn)量30萬臺，乙企業(yè)產(chǎn)量30萬臺；利潤分別為甲企業(yè)840萬元，乙企業(yè)860萬元【分析】根據(jù)利潤等于銷售收入減去成本即可得到函數(shù)關(guān)系式，用二次函數(shù)求最值的方法即可得到.【詳解】（1）設(shè)利潤為當時所以，產(chǎn)量為45萬臺時，甲企業(yè)獲利最大為1965萬元．（2）設(shè)乙企業(yè)產(chǎn)量為x萬臺，此時甲依舊按照45萬臺產(chǎn)量生產(chǎn)對于乙企業(yè)，每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為所以乙企業(yè)產(chǎn)量為22.5萬臺，獲得利潤最大．（3）假設(shè)達到動態(tài)平衡時，甲企業(yè)產(chǎn)量a萬臺，乙企業(yè)產(chǎn)量b萬臺．甲企業(yè)：

當時利潤最大乙企業(yè)

當時利潤最大．聯(lián)立，解得時達到動態(tài)平衡．此時利潤分別為：甲企業(yè)840萬元，乙企業(yè)860萬元．8．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考一模）李先生屬于一年工作天的上班族，計劃購置一輛新車用以通勤.大致推斷每天早八點從家出發(fā)，晚上六點回家，往返總距離為公里.考慮從兩款車型中選擇其一，款車是燃油車，款車是電動車，售價均為萬元.現(xiàn)提供關(guān)于兩種車型的相關(guān)信息：款車的油耗為升/百公里，油價為每升至元.車險費用元/年.購置稅為售價的.購車后，車價每年折舊率為.保養(yǎng)費用平均元/萬公里；款車的電耗為度/百公里，電費為每度至元.車險費用元/年.國務(wù)院年出臺文件，宣布保持免除購置稅政策.電池使用壽命為年，更換費用為萬元.購車后，車價每年折舊率為.保養(yǎng)費用平均元/萬公里.(1)除了上述了解到的情況，還有哪些因素可能需要考慮?寫出這些因素（至少個，不超過個）；(2)為了簡化問題，請對相關(guān)因素做出合情假設(shè)，由此為李先生作出買車的決策，并說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）李先生要考慮生活中得各類費用以及車身本身的因素，列出幾條即可（2）通過數(shù)據(jù)的分析，得出相關(guān)的結(jié)論對買款或買款車進行分析.【詳解】（1）李先生可能還需要考慮的因素有：1、考慮非通勤時段的車輛使用情況；2、油價和電價的變化；3、工作單位能否提供免費充電；4、電動車的國家減免政策的變化；5、車輛的外觀、內(nèi)飾與品牌效應(yīng).6、車牌費用（2）假設(shè)僅考慮通勤時的車輛費用，油價和電價保持相對穩(wěn)定，電動車的免購置稅政策保持不變.計算時取價格區(qū)間的中位數(shù)即電價元/度、油價元/升.車輛費用為車價、能源費用、稅費、車險費用、保養(yǎng)費用，并扣除車輛殘余價值.使用年數(shù)夠車費里程數(shù)油耗油費車險費用購置稅保養(yǎng)費車輛殘值總費用130000010000600510040003000020002640007710023000002000012001020080003000040002323201198803300000300001800153001200030000600020444215885843000004000024002040016000300008000179909194491530000050000300025500200003000010000158320227180630000060000360030600240003000012000139321257279730000070000420035700280003000014000122603285097830000080000480040800320003000016000107890310910930000090000540045900360003000018000949443349561030000010000060005100040000300002000083550357450使用年數(shù)夠車費里程數(shù)電耗電費車險費用購置稅保養(yǎng)費車輛殘值電池更換費總費用1300000100002000130060000100025500005330023000002000040002600120000200021675009985033000003000060003900180000300018423801406634300000400008000520024000040001566020176598530000050000100006500300000500013311202083886300000600001200078003600006000113145100000336655730000070000140009100420000700096173100000361927830000080000160001040048000080008174710000038465393000009000018000117005400009000694851000004052151030000010000020000130006000001000059062100000423938寫出至年任意一年中的一組對比數(shù)據(jù)，例如：款車使用年的總費用為：款車使用年的總費用為：所以，如果李先生打算開年就按二手車賣掉，可以選款車.再寫出至年任意一年中的一組對比數(shù)據(jù)，結(jié)論：使用年數(shù)不超過年，建議買款車；使用年數(shù)超過年，建議買款車.9．（2021·上海浦東新·上海市建平中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，為常數(shù)，且.（1）證明函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；（2）當時，討論方程解的個數(shù)；（3）若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點，則是否有兩個二階周期點，說明理由.【答案】（1）略；（2）當或時，方程有2個解；當時，方程有3個解；當時，方程有4個解；（3）只有是二階周期點.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)對稱的性質(zhì)即可證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。（2）當時，求出的表達式，利用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)論。（3）根據(jù)階周期點的定義，分別求滿足條件的，即可得到結(jié)論?！驹斀狻浚?）證明：設(shè)點為上任意一點，則

所以，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。（2）當時，所以，當時，方程有個解；時，方程有個解；當時，方程有個解；當時，方程有個解。綜上：當或時，方程有個解；當時，方程有個解；當時，方程有個解。（3）因為，所以當，若，即，若，即，當，同理可得：時，；時，.所以，從而由得，又，，，所以只有是二階周期點?！军c睛】本題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想，利用分類討論得出答案?！菊骖}訓(xùn)練】一．選擇題（共4小題）1．（2022?上海）下列函數(shù)定義域為R的是（）A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝【分析】化分數(shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案．【解答】解：，定義域為{x|x＞0}，，定義域為{x|x≠0}，，定義域為R，，定義域為{x|x≥0}．∴定義域為R的是．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．2．（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐項分析判斷即可．【解答】解：對于A，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝sinx為奇函數(shù)；對于B，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝cosx為偶函數(shù)；對于C，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x3為奇函數(shù)；對于D，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝2x為非奇非偶函數(shù)．故選：B．【點評】本題考查常見函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．3．（2021?上海）以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)（）A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：y＝﹣3x在R上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，A符合題意；因為y＝x3在R上是增函數(shù)，B不符合題意；y＝log3x，y＝3x為非奇非偶函數(shù)，C不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4．（2021?上海）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是（）A．f（x）＝x2 B．f（x）＝sinx C．f（x）＝2x D．f（x）＝1【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義以及映射的定義即可判斷選項是否正確．【解答】解：選項A：因為函數(shù)是二次函數(shù)，屬于二對一的映射，根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，A錯誤，選項B：因為函數(shù)是三角函數(shù)，有周期性和對稱性，屬于多對一的映射，根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，B錯誤，選項C：因為函數(shù)的單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，屬于一一映射，所以函數(shù)存在反函數(shù)，C正確，選項D：因為函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，屬于多對一的映射，所以函數(shù)不存在反函數(shù)，D錯誤，故選：C．【點評】本題考查了反函數(shù)的定義以及映射的定義，考查了學(xué)生對函數(shù)以及映射概念的理解，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共7小題）5．（2021?上海）已知f（x）＝+2，則f﹣1（1）＝﹣3．【分析】利用反函數(shù)的定義，得到f（x）＝1，求解x的值即可．【解答】解：因為f（x）＝+2，令f（x）＝1，即+2＝1，解得x＝﹣3，故f﹣1（1）＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查了反函數(shù)定義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?上海）若方程組無解，則＝0．【分析】利用二元一次方程組的解的行列式表示進行分析即可得到答案．【解答】解：對于方程組，有，根據(jù)題意，方程組無解，所以D＝0，即，故答案為：0．【點評】本題考查的是二元一次方程組的解行列式表示法，這種方法可以使得方程組的解與對應(yīng)系數(shù)之間的關(guān)系表示的更為清晰，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解行列式表示法中對應(yīng)的公式．7．（2023?上海）已知函數(shù)f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，則方程g（x）＝2的解為x＝3．【分析】分x≥0和x＜0分別求解即可．【解答】解：當x≥0時，g（x）＝2?log2（x+1）＝2，解得x＝3；當x＜0時，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得x＝0（舍）；所以g（x）＝2的解為：x＝3．故答案為：x＝3．【點評】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的基本運算、指數(shù)的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022?上海）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3的反函數(shù)為f﹣1（x），則f﹣1（27）＝3．【分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函數(shù)的值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3的反函數(shù)為f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案為：3．【點評】本題考查的知識要點：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022?上海）設(shè)函數(shù)f（x）滿足對任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知對任何滿足上述條件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，則a的取值范圍為．【分析】由題可得，再根據(jù)時不合題意，進而即得；或等價于恒成立，即恒成立，進而即得．【解答】解：法一：令，解得（負值舍去），當時，，當時，，且當時，總存在，使得f（x1）＝f（x2），故，若，易得，所以，即實數(shù)a的取值范圍為；法二：原命題等價于任意，所以恒成立，即恒成立，又a＞0，所以，即實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查了集合的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2022?浦東新區(qū)校級開學(xué)）已知變量y關(guān)于x的回歸方程為y＝ebx﹣0.5，若對y＝ebx﹣0.5兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)lny與x線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如表所示，當x＝5時，預(yù)測y值為e7.5．x1234yee3e4e6【分析】z＝lny＝bx﹣0.5，化為線性相關(guān)，結(jié)合回歸直線過樣本點的中心求b，再預(yù)測即可．【解答】解：∵y＝ebx﹣0.5，∴l(xiāng)ny＝bx﹣0.5，令z＝lny＝bx﹣0.5，列表格如下，x1234z＝lny1346故＝＝2.5，＝＝3.5，故3.5＝2.5b﹣0.5，故b＝，故當x＝5時，z＝lny＝×5﹣0.5＝7.5，故y＝e7.5，故答案為：e7.5．【點評】本題考查非線性回歸與線性回歸方程的運用，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程恒過樣本中心點，這是線性回歸方程中最?？嫉闹R點．屬于中檔題．11．（2022?上海）若函數(shù)f（x）＝，為奇函數(shù)，求參數(shù)a的值為1．【分析】由題意，利用奇函數(shù)的定義可得f（﹣x）＝﹣f（x），故有f（﹣1）＝﹣f（1），由此求得a的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝，為奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a2﹣1＝﹣（a+1），即a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝1．當a＝0時，f（x）＝，不是奇函數(shù)，故a≠0；當a＝1時，f（x）＝，是奇函數(shù)，故滿足條件，綜上，a＝1，故答案為：1．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．三．解答題（共6小題）12．（2023?上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”S＝，其中F0為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），V0為建筑物的體積（單位：立方米）．（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為R，高度為H，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)”S；（結(jié)果用含R、H的代數(shù)式表示）（2）定義建筑物的“形狀因子”為f＝，其中A為建筑物底面面積，L為建筑物底面周長，又定義T為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設(shè)n為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為S＝+．當f＝18，T＝10000時，試求當該宿舍樓的層數(shù)n為多少時，“體形系數(shù)”S最?。痉治觥浚?）利用圓柱體的表面積和體積公式，結(jié)合題目中S的定義求解即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)求S的單調(diào)性，即可求出S最小時n的值．【解答】解：（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得：，所以．（2）由題意可得S＝+＝+，n∈N*，所以S′＝﹣＝，令S′＝0，解得n＝≈6.27，所以S在[1，6.27]單調(diào)遞減，在[6.27，+∞）單調(diào)遞增，所以S的最小值在n＝6或7取得，當n＝6時，S＝≈0.31，當n＝7時，S＝0.16，所以在n＝6時，該建筑體S最?。军c評】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題．13．（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%．（1）求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%？【分析】（1）由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，則首項a1＝1.1，公差d＝0.05，再利用等差數(shù)列的前n項和公式求解即可．（2）解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%，則0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）?18%，令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）?18%，（n∈N*），遞推作差可得當1≤n≤9時，f（n）遞減；當n≥10時，f（n）遞增，注意到f（1）＜0，所以若f（n）＞0，則只需考慮n≥10的情況即可，再驗證出f（24）＜0，f（25）＞0，即可得到利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%的時間．解法二：設(shè)今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為an，則＝＝1+0.04（1﹣），所以數(shù)列{an}滿足a1＞a2＞a3＞a4＝a5＜a6＜a7＜……，再由a25，a26的值即可判斷出結(jié)果．【解答】解：（1）由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，則首項a1＝1.1，公差d＝0.05，∴S20＝20a1+d＝20×1.1+10×19×0.05＝31.5，即營業(yè)額前20季度的和為31.5億元．（2）解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%，則0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）?18%，令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）?18%，（n∈N*），即要解f（n）＞0，則當n≥2時，f（n）﹣f（n﹣1）＝0.0064?（1+4%）n﹣1﹣0.009，令f（n）﹣f（n﹣1）＞0，解得：n≥10，即當1≤n≤9時，f（n）遞減；當n≥10時，f（n）遞增，由于f（1）＜0，因此f（n）＞0的解只能在n≥10時取得，經(jīng)檢驗，f（24）＜0，f（25）＞0，所以今年第一季度往后的第25個季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%．解法二：設(shè)今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為an，則＝＝1.04﹣＝1+0.04（1﹣），∴數(shù)列{an}滿足a1＞a2＞a3＞a4＝a5＜a6＜a7＜……，注意到，a25＝0.178…，a26＝0.181…，∴今年第一季度往后的第25個季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%．【點評】本題主要考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的實際應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．14．（2022秋?奉賢區(qū)校級月考）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．（?。┳C明：R＝?；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B），P（A|）的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）補充列聯(lián)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算K2，對照附表得出結(jié)論．（2）（i）根據(jù)條件概率的定義與運算性質(zhì)，證明即可；（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)和對立事件的概率公式，計算即可．【解答】解：（1）補充列聯(lián)表為：不夠良好良好合計病例組4060100對照組1090100合計50150200計算K2＝＝24＞6.635，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．（2）（i）證明：R＝：＝?＝?＝＝?＝；（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)，P（A|B）＝＝，＝＝，P（|B）＝1﹣P（A|B）＝，P（|）＝1﹣P（A|）＝，所以R＝×＝6．【點評】本題考查了獨立性檢驗應(yīng)用問題，也考查了條件概率的應(yīng)用問題，是中檔題．15．（2022?上海）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，現(xiàn)有兩種對f（x）變換的操作：φ變換：f（x）﹣f（x﹣t）；ω變換：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t為大于0的常數(shù)．（1）設(shè)f（x）＝2x，t＝1，g（x）為f（x）做φ變換后的結(jié)果，解方程：g（x）＝2；（2）設(shè)f（x）＝x2，h（x）為f（x）做ω變換后的結(jié)果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）設(shè)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，f（x）先做φ變換后得到u（x），u（x）再做ω變換后得到h1（x）；f（x）先做ω變換后得到v（x），v（x）再做φ變換后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，證明：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．【分析】（1）推導(dǎo)出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推導(dǎo)出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，當x≤﹣時，f（x）≥h（x）恒成立；當x＞﹣時，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），從而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，從而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，能證明函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）為f（x）做φ變換后的結(jié)果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）為f（x）做ω變換后的結(jié)果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，當x≤﹣時，f（x）≥h（x）恒成立；當x＞﹣時，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，綜上，不等式：f（x）≥h（x）的解集為（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）．（3）證明：f（x）先做φ變換后得到u（x），u（x）再做ω變換后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω變換后得到v（x），v（x）再做φ變換后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∴對t＞0恒成立，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．【點評】本題考查方程、不等式的解的求法，考查函數(shù)是增函數(shù)的證明，考查函數(shù)變換的性質(zhì)、抽象函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)