高中數(shù)學(xué)蘇教版必修四教學(xué)案第1章12任意角的三角函數(shù)

第1課時(shí)任意角的三角函數(shù)如圖，直角△ABC.問(wèn)題1：如何表示角A的正弦、余弦、正切值？提示：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).問(wèn)題2：如圖，銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在α終邊上任取一點(diǎn)P(a，b)，作PM⊥x軸，如何用圖中的數(shù)據(jù)表示sinα，cosα，tanα？提示：∵PM⊥x軸，∴△OPM為直角三角形，∴|OP|＝eq\r(|OM|2＋|PM|2)＝eq\r(a2＋b2)，∴sinα＝eq\f(|PM|,|OP|)＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosα＝eq\f(|OM|,|OP|)＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，tanα＝eq\f(|MP|,|OM|)＝eq\f(b,a).在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r(r＝eq\r(x2＋y2)>0)規(guī)定：三角函數(shù)定義定義域正弦sinα＝eq\f(y,r)R余弦cosα＝eq\f(x,r)R正切tanα＝eq\f(y,x){α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}問(wèn)題1：由三角函數(shù)的定義知sinα在什么條件下函數(shù)值為正？提示：α的終邊在第一、二象限或y軸正半軸．問(wèn)題2：tanα在什么狀況下為負(fù)數(shù)？提示：因tanα＝eq\f(y,x)，那么x、y異號(hào)為負(fù)數(shù)，即α的終邊在二、四象限為負(fù)數(shù)．三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)，如下圖：如圖，由單位圓中的三角函數(shù)的定義可知sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).問(wèn)題：sinα是否等于PM的長(zhǎng)？假設(shè)不等，怎樣才能相等？提示：不肯定，可能等于PM的長(zhǎng)，也可能等于PM長(zhǎng)的相反數(shù)，把MP看成有向線段即可．1．有向線段規(guī)定了方向(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段．2．有向線段數(shù)量依據(jù)有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反，分別把它的長(zhǎng)度添上正號(hào)或負(fù)號(hào)，這樣所得的數(shù)，叫做有向線段的數(shù)量．3．單位圓圓心在原點(diǎn)，半徑等于單位長(zhǎng)度的圓．4．三角函數(shù)線設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M.(1)那么有向線段MP、OM就分別是角α的正弦線與余弦線，即MP＝sinα，OM＝cosα；(2)過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，設(shè)這條切線與角α的終邊或角α終邊的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T，那么有向線段AT就是角α的正切線，即AT＝tan_α.1．三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，只由角α的終邊位置確定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．2．三角函數(shù)值的符號(hào)，用角α的終邊所處的位置確定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦〞．3．正弦線、余弦線、正切線這三種三角函數(shù)線都是一些特別的有向線段，是與坐標(biāo)軸垂直的線段．這些線段分別可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的值，它們是三角函數(shù)的一種幾何表示．[例1]角α的終邊上有一點(diǎn)P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．[思路點(diǎn)撥]由三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)時(shí)，應(yīng)先確定α終邊位置．由于含有參數(shù)a，而a的條件為a≠0，所以必需對(duì)a進(jìn)行分類爭(zhēng)論．[精解詳析]∵x＝－3a，y＝4a，∴r＝eq\r(－3a2＋4a2)＝5|a|.當(dāng)a>0時(shí)，r＝5a，角α為其次象限角，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，∴2sinα＋cosα＝2×eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝1.當(dāng)a<0時(shí)，r＝－5a，角α為第四象限角，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，∴2sinα＋cosα＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(3,5)＝－1.[一點(diǎn)通]角的終邊上一點(diǎn)，求該角的三角函數(shù)值，一般是先求出該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r，再由三角函數(shù)的定義求出三角函數(shù)值．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)有字母時(shí)，由于字母符號(hào)未知，所以點(diǎn)所在象限不確定，因此要依據(jù)狀況進(jìn)行分類爭(zhēng)論，防止漏解．1．角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6cos60°)且cosα＝－eq\f(4,5)，那么m的值是____________．解析：P(－8m，－3)，由cosα＝－eq\f(4,5)可得eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝eq\f(1,2)(m＝－eq\f(1,2)不合題意，舍去)．答案：eq\f(1,2)2．角α終邊上點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(10),10)x，求sinα，tanα.解：∵r＝eq\r(x2＋9)，cosα＝eq\f(x,r)，∴eq\f(\r(10),10)x＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又x≠0，那么x＝±1.∵y＝3＞0，∴α在第一或其次象限．當(dāng)α在第一象限時(shí)，sinα＝eq\f(3\r(10),10)，tanα＝3.當(dāng)α在其次象限時(shí)，sinα＝eq\f(3\r(10),10)，tanα＝－3.3．角的終邊落在直線y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．解：(1)當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)P(1，2)，由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.(2)當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.[例2]確定以下式子的符號(hào)：(1)tan108°·cos305°；(2)eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))；(3)tan191°－cos191°；(4)sin3·cos4·tan5.[思路點(diǎn)撥]角度確定了，所在的象限就確定了，三角函數(shù)值的符號(hào)也就確定了，因此只需確定角所在象限，即可進(jìn)一步確定各式的符號(hào)．[精解詳析](1)∵108°是其次象限角，∴tan108°<0.∵305°是第四象限角，∴cos305°>0.從而tan108°·cos305°<0，∴式子符號(hào)為負(fù)．(2)∵eq\f(5π,6)是其次象限角，eq\f(11π,6)是第四象限角，eq\f(2π,3)是其次象限角．∴coseq\f(5π,6)<0，taneq\f(11π,6)<0，sineq\f(2π,3)>0.從而eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))>0.∴式子符號(hào)為正．(3)∵191°是第三象限角，∴tan191°>0，cos191°<0.∴tan191°－cos191°>0.∴式子符號(hào)為正．(4)∵eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0.∴sin3·cos4·tan5>0.∴式子符號(hào)為正．[一點(diǎn)通]對(duì)于角α，推斷α的相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題，常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦〞來(lái)處理．4．推斷以下各式的符號(hào)：(1)sin105°·cos230°；(2)cos3·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))).解：(1)∵105°、230°分別為其次、第三象限角，∴sin105°＞0，cos230°＜0.于是sin105°·cos230°＜0.(2)∵eq\f(π,2)＜3＜π，∴3是其次象限角，∴cos3＜0，又－eq\f(2π,3)是第三象限角，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＞0，∴cos3·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＜0.5．sinα·tanα>0，那么α是第幾象限角？解：∵sinα·tanα>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>0，,tanα>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα<0，,tanα<0.))當(dāng)sinα>0，且tanα>0時(shí)，α為第一象限角；當(dāng)sinα<0，且tanα<0時(shí)，α為第四象限角．∴α為第一、四象限角.[例3]分別作出eq\f(2π,3)和eq\f(4π,5)的正弦線、余弦線和正切線，并比擬sineq\f(2π,3)與sineq\f(4π,5)，coseq\f(2π,3)與coseq\f(4π,5)，taneq\f(2π,3)與taneq\f(4π,5)的大?。甗思路點(diǎn)撥]作三角函數(shù)線的關(guān)鍵是畫出單位圓和角的終邊；比擬三角函數(shù)值的大小時(shí)依據(jù)三角函數(shù)線的長(zhǎng)度和正負(fù)．[精解詳析]在直角坐標(biāo)系中作單位圓如圖，以O(shè)x軸正方向?yàn)槭歼呑鱡q\f(2π,3)的終邊與單位圓交于P點(diǎn)，作PM⊥Ox軸，垂足為M，由單位圓與Ox正方向的交點(diǎn)A作Ox軸的垂線與OP的反向延長(zhǎng)線交于T點(diǎn)，那么sineq\f(2π,3)＝MP，coseq\f(2π,3)＝OM，taneq\f(2π,3)＝AT.同理，可作出eq\f(4π,5)的正弦線、余弦線和正切線，sineq\f(4π,5)＝M′P′，coseq\f(4π,5)＝OM′，taneq\f(4π,5)＝AT′.由圖形可知：MP>M′P′，符號(hào)相同?sineq\f(2π,3)>sineq\f(4π,5)，OM>OM′，符號(hào)相同?coseq\f(2π,3)>coseq\f(4π,5)，AT<AT′，符號(hào)相同?taneq\f(2π,3)<taneq\f(4π,5).[一點(diǎn)通]利用三角函數(shù)線比擬三角函數(shù)值的大小，關(guān)鍵在于精確?????作出正弦線、余弦線、正切線，并留意它們?yōu)橛邢蚓€段，方向代表三角函數(shù)值的符號(hào)，然后結(jié)合圖形作出推斷．6．sin1，sin1.2，sin1.5三者的大小關(guān)系是________．解析：在同一單位圓中畫出三個(gè)角的正弦線作出比擬可得．答案：sin1.5>sin1.2>sin17．利用三角函數(shù)線，求滿意以下條件的角x的集合．(1)sinx≤eq\f(1,2)；(2)cosx＜eq\f(\r(3),2).解：(1)利用角x的正弦線，作出滿意sinx≤eq\f(1,2)的角x的終邊所在位置的范圍．如圖(1)的陰影局部，由圖形得角x的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(7π,6)≤x≤2kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).(2)利用角x的余弦線，作出滿意cosx＜eq\f(\r(3),2)的角x的終邊所在位置的范圍，如圖(2)的陰影局部，由圖形得角x的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)＜x＜2kπ＋\f(11π,6)，k∈Z)))).1．精確?????理解三角函數(shù)的定義依據(jù)三角函數(shù)的定義，各三角函數(shù)值的大小與在終邊上所取的點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與角α的大小有關(guān)，即它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．定義中的α是任意角，但對(duì)于一個(gè)確定的角，只要各個(gè)三角函數(shù)有意義，其值就是唯一的．2．確定三角函數(shù)的符號(hào)依據(jù)三角函數(shù)的定義可知，正弦值、余弦值的符號(hào)分別取決于縱坐標(biāo)y、橫坐標(biāo)x的符號(hào)；正切值那么是縱坐標(biāo)y、橫坐標(biāo)x同號(hào)時(shí)為正，異號(hào)時(shí)為負(fù)．3．三角函數(shù)線的應(yīng)用三角函數(shù)線的方向和長(zhǎng)短直觀反映了三角函數(shù)值的符號(hào)和肯定值的大小，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的符號(hào)，從三角函數(shù)線的長(zhǎng)度可以看出三角函數(shù)值的肯定值大?。n下力量提升(三)一、填空題1．假設(shè)α是第三象限角，那么eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)＝________.解析：∵α是第三象限角，∴sinα＜0，cosα＜0，∴eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)＝－1－(－1)＝0.答案：02．有以下命題：(1)假設(shè)sinα>0，那么α是第一、二象限的角；(2)假設(shè)α是第一、二象限角，那么sinα>0；(3)三角函數(shù)線不能取負(fù)值；(4)假設(shè)α是其次象限角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，那么cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋y2)).其中正確的序號(hào)是________．解析：只有(2)正確；∵sineq\f(π,2)＝1>0，但eq\f(π,2)不是第一、二象限角，∴(1)不正確；三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，其數(shù)量可正可負(fù)，也可為0，∴(3)不正確；(4)應(yīng)是cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2))(∵α是其次象限角，已有x<0)，∴(4)不正確．答案：(2)3．角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且sinα＞0，cosα≤0，那么α的取值范圍是________．解析：由cosα≤0及sinα＞0知角α的終邊在其次象限或y軸的正半軸上．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]4．角α的終邊上有一點(diǎn)P(a,4)，且tanα＝eq\f(4,3)，那么3sinα－2cosα的值為_(kāi)_______．解析：∵tanα＝eq\f(4,3)，∴a＝3.∴r＝eq\r(32＋42)＝5，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴3sinα－2cosα＝eq\f(12,5)－eq\f(6,5)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)5．依據(jù)三角函數(shù)線，作出如下四個(gè)推斷：①sineq\f(π,6)＝sineq\f(7π,6)；②coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)；③taneq\f(π,8)>taneq\f(3π,8)；④sineq\f(3π,5)>sineq\f(4π,5).其中推斷正確的有________．解析：分別作出各角的三角函數(shù)線，可知：sineq\f(π,6)＝－sineq\f(7π,6)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)，taneq\f(π,8)<taneq\f(3π,8)，sineq\f(3π,5)>sineq\f(4π,5)，∴②④正確．答案：②④二、解答題6．角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，假設(shè)角α終邊過(guò)點(diǎn)P(－eq\r(3)，y)，且sinα＝eq\f(\r(3),4)y(y≠0)，推斷角α所在的象限，并求cosα的值．解：依題意，P到原點(diǎn)O的距離r＝|OP|＝eq\r(－\r(3)2＋y2)＝eq\r(3＋y2).∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3),4)y.∵y≠0，∴9＋3y2＝16.∴y2＝eq\f(7,3)，y＝±eq\f(\r(21),3).∴點(diǎn)P在其次或第三象限，且cosα＝eq\f(－\r(3),\r(3＋y2))＝－eq\f(\r(3),\r(3＋\f(7,3)))＝－eq\f(3,4).7．角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，那么x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，當(dāng)t＞0時(shí)，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)t＜0時(shí)，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；或sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).8．eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,2)，試用三角函數(shù)線比擬sinθ，cosθ，tanθ的大?。猓喝鐖D，在單位圓中作出正弦線、余弦線、正切線，sinθ＝MP>0,cosθ＝OM>0，tanθ＝AT>0，由圖知OM<MP<AT，即cosθ<sinθ<tanθ.第2課時(shí)同角三角函數(shù)關(guān)系假設(shè)角α的終邊與單位圓交于P(x，y)，如圖．問(wèn)題1：角α的三角函數(shù)值是什么？提示：sinα＝y(tǒng).cosα＝x.tanα＝eq\f(y,x).問(wèn)題2：sinα與cosα有什么關(guān)系？提示：sin2α＋cos2α＝y(tǒng)2＋x2＝1.問(wèn)題3：eq\f(sinα,cosα)的值與tanα有什么關(guān)系？提示：eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(y,x)＝tanα.同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式平方關(guān)系sin2_α＋cos2_α＝1商數(shù)關(guān)系tanα＝eq\f(sinα,cosα)，其中α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式成立的條件是使式子兩邊都有意義．所以sin2α＋cos2α＝1對(duì)于任意角α∈R都成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)并不是對(duì)任意角α∈R都成立，此時(shí)α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.[例1](1)假設(shè)sinα＝－eq\f(4,5)，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)tanα＝2，求eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)的值．[思路點(diǎn)撥]第(1)題應(yīng)先利用平方關(guān)系求余弦，再由商的關(guān)系求正切；第(2)問(wèn)先把所求式化為只含tanα的代數(shù)式，再代入求值．[精解詳析](1)∵sinα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝eq\f(4,3).(2)∵tanα＝2，∴eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－2,4tanα－9)＝eq\f(2×2－2,4×2－9)＝－2.[一點(diǎn)通]某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值時(shí)要留意：(1)角所在的象限；(2)用平方關(guān)系求值時(shí)，所求三角函數(shù)的符號(hào)由角所在的象限打算；(3)用商數(shù)關(guān)系時(shí)，不要另加符號(hào)，只需用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)代入sinα、cosα的值即可求得tanα.1．sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，那么sinαcosα＝________.解析：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,4)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,4).∴sinαcosα＝－eq\f(3,8).答案：－eq\f(3,8)2．假設(shè)sinθ－cosθ＝eq\r(2)，那么tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝__________.解析：由得(sinθ－cosθ)2＝2，∴sinθcosθ＝－eq\f(1,2).∴tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝－2.答案：－23．假設(shè)cosα＝eq\f(5,13)，求sinα和tanα.解：∵cosα＝eq\f(5,13)>0，∴α是第一或第四象限角．當(dāng)α是第一象限角時(shí)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)；當(dāng)α是第四象限角時(shí)，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(5,13)2)＝－eq\f(12,13).∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).4．保持本例(2)的條件不變，求4sin2α－3sinαcosα－5cos2α的值．解：4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.[例2]化簡(jiǎn)：eq\f(tanα＋tanαsinα,tanα＋sinα)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,cosα)))·eq\f(sinα,1＋sinα).[思路點(diǎn)撥]采納切化弦，削減函數(shù)種類，以到達(dá)化簡(jiǎn)的目的．[精解詳析]原式＝eq\f(tanα1＋sinα,tanα＋sinα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·eq\f(sinα,1＋sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα),\f(sinα,cosα)＋sinα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·sinα＝eq\f(1,1＋cosα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·sinα＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα.[一點(diǎn)通]化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函數(shù)都化成正、余弦函數(shù)，從而削減函數(shù)種類以便化簡(jiǎn)．(2)對(duì)含有根號(hào)的，常把根號(hào)下式子化成完全平方式，然后去根號(hào)到達(dá)化簡(jiǎn)的目的．(3)對(duì)于化簡(jiǎn)高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或用“1〞的代換，以降低函數(shù)次數(shù)，到達(dá)化簡(jiǎn)目的．5.eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1)＝________.解析：eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1)＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ－cosθ,cosθ))＝cosθ.答案：cosθ6．化簡(jiǎn)eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))的值為_(kāi)_______．解析：原式＝eq\f(\r(sin210°－2sin10°cos10°＋cos210°),sin10°－\r(cos210°))＝eq\f(\r(sin10°－cos10°2),sin10°－cos10°)＝eq\f(cos10°－sin10°,sin10°－cos10°)＝－1.答案：－17．假設(shè)eq\f(3π,2)＜α＜2π，化簡(jiǎn)：eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＋eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα)).解：∵eq\f(3π,2)＜α＜2π，∴0＜cosα＜1，－1＜sinα＜0，∴原式＝eq\r(\f(1－cosα2,1＋cosα1－cosα))＋eq\r(\f(1＋cosα2,1－cosα1＋cosα))＝eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＋eq\r(\f(1＋cosα2,1－cos2α))＝eq\r(\f(〔1－cosα〕2,sin2α))＋eq\r(\f(〔1＋cosα〕2,sin2α))＝－eq\f(1－cosα,sinα)－eq\f(1＋cosα,sinα)＝－eq\f(2,sinα).[例3]求證：sinθ(1＋tanθ)＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ).[思路點(diǎn)撥]從較簡(jiǎn)單的一邊入手，采納切化弦的方式，即把左邊的正切值用tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)替換．[精解詳析]左邊＝sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinθ,cosθ)))＋cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosθ,sinθ)))＝sinθ＋eq\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ＋eq\f(cos2θ,sinθ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(cos2θ,sinθ)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ,cosθ)＋cosθ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ＋cos2θ,sinθ)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ＋cos2θ,cosθ)))＝eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝右邊．∴原式成立．[一點(diǎn)通]證明三角恒等式的原那么是由繁到簡(jiǎn)，常用的方法有：(1)從一邊開(kāi)頭證明它等于另一邊；(2)證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)變更論證，采納左右相減，化除為乘等方法，轉(zhuǎn)化成與原結(jié)論等價(jià)的命題形式．8．求證：eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx).證明：法一：右邊＝eq\f(1＋\f(sinx,cosx),1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(cosx＋sinx2,cosx－sinxcosx＋sinx)＝eq\f(cos2x＋sin2x＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝左邊，∴原式成立．法二：左邊＝eq\f(sin2x＋cos2x＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(sinx＋cosx2,cosx＋sinxcosx－sinx)＝eq\f(sinx＋cosx,cosx－sinx)＝eq\f(tanxcosx＋cosx,cosx－tanxcosx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝右邊，∴原式成立．9．求證：eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα).證明：左邊＝eq\f(sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1,sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1)＝eq\f(sinα＋12－cos2α,sinα＋cosα2－1)＝eq\f(sin2α＋2sinα＋1－cos2α,1＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sinα1＋sinα,2sinαcosα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右邊．∴原等式成立．1．對(duì)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式的理解“同角〞有兩層含義，一是“角相同〞，如sin2α＋cos2β＝1就不肯定成立；二是對(duì)“任意〞一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)．如：sin23α＋cos23α＝1，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)).2．同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式的應(yīng)用(1)應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)，應(yīng)敏捷選擇和使用．如cos2α＝1－sin2α，sin2α＝1－cos2α，cosα＝eq\f(sinα,tanα)，sinα＝tanα·cosα等，上述關(guān)系都必需在定義域允許的范圍內(nèi)才成立．(2)由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外的三角函數(shù)值，且由于利用“平方〞關(guān)系公式，最終需求平方根，會(huì)消失兩解，所以要留意角所在的象限．這類問(wèn)題通常會(huì)消失以下這幾種狀況：①假如三角函數(shù)值，且角的象限已被指定，那么只有一組解；②假如三角函數(shù)值，但沒(méi)有指定角所在的象限，那么先由三角函數(shù)值確定角所在的象限，然后再求解，這種狀況一般有兩組解；③假如所給的三角函數(shù)值是用字母表示的，且沒(méi)有指定角所在的象限，那么需要分類爭(zhēng)論．課下力量提升(四)一、填空題1．sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，那么m＝________.解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－3,m＋5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2m,m＋5)))2＝1.即(m－3)2＋(4－2m)2＝(m＋5)2，∴4m2－32m＝0.∴m＝0或m＝8答案：0或82．假設(shè)eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)＝2，那么tanα＝________.解析：∵eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)＝2，∴eq\f(tanα＋1,2tanα－1)＝2.∴tanα＋1＝4tanα－2即3tanα＝3，∴tanα＝1.答案：13．化簡(jiǎn)：cos4α＋sin2α·cos2α＋sin2α＝________.解析：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：14．tanα＝m(π＜α＜eq\f(3π,2))，那么sinα＝________.解析：∵tanα＝m，π＜α＜eq\f(3π,2).∴m＞0且sinα＜0.又tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(sin2α,1－sin2α)＝m2.∴sin2α＝eq\f(m2,1＋m2).∵sinα＜0，∴sinα＝－eq\f(m,\r(1＋m2)).答案：－eq\f(m,\r(1＋m2))5．假設(shè)角α的終邊在直線x＋y＝0上，那么eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝________.解析：∵eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(|cosα|,cosα).又角α的終邊落在x＋y＝0上，故角α的終邊在其次、四象限．當(dāng)α在其次象限時(shí)，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝0，當(dāng)α在第四象限時(shí)，原式＝eq\f(sinα,－sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝0.答案：0二、解答題6．tanx＝2，求：(1)eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)的值；(2)eq\f(2,3)sin2x＋eq\f(1,4)cos2x的值．解：(1)eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3.(2)eq\f(2,3)sin2x＋eq\f(1,4)cos2x＝eq\f(\f(2,3)sin2x＋\f(1,4)cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(\f(2,3)tan2x＋\f(1,4),tan2x＋1)＝eq\f(\f(2,3)×4＋\f(1,4),4＋1)＝eq\f(7,12).7．求證：eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα).證明：法一：左邊＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右邊＝eq\f(sinα＋sinαcosα,sin2α)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，而sin2α＝1－cos2α，∴eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，故左邊＝右邊，∴原式成立．法二：eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)－eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα)＝eq\f(tan2αsin2α－tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α－1＋sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(－tan2αcos2α＋sin2α,tnaα－sinαtanαsinα)＝eq\f(－sin2α＋sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝0，∴eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα).8．－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).求sinx－cosx的值．解：法一：由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，即2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又∵－eq\f(π,2)<x<0，∴sinx<0，cosx>0，∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－eq\f(7,5).法二：聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝\f(1,5)①，,sin2x＋cos2x＝1②，))由①得sinx＝eq\f(1,5)－cosx，將其代入②，整理得25cos2x－5cosx－12＝0，解得cosx＝－eq\f(3,5)，或cosx＝eq\f(4,5).∵－eq\f(π,2)<x<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx＝\f(4,5)，,sinx＝－\f(3,5)，))∴sinx－cosx＝－eq\f(7,5).第3課時(shí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一～四對(duì)于任意角α.問(wèn)題1：2kπ＋α(k∈Z)與α的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？提示：由于α與2kπ＋α(k∈Z)的終邊相同，所以三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)相等．問(wèn)題2：觀看以下圖，角π－α，π＋α，－α的終邊與角α的終邊之間有什么關(guān)系？你能利用它們與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系推導(dǎo)出它們的三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？提示：π－α，π＋α，－α的終邊與α的終邊分別關(guān)于y軸，坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸對(duì)稱．能.誘導(dǎo)公式角的終邊間關(guān)系公式公式一終邊相同sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)公式二終邊關(guān)于x軸對(duì)稱sin(－α)＝－sin_αcos(－α)＝cos_αtan(－α)＝－tan_α公式三終邊關(guān)于y軸對(duì)稱sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_αtan(π－α)＝－tan_α公式四終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_αtan(π＋α)＝tan_α公式一、二、三、四都叫誘導(dǎo)公式，它們可概括如下：(1)記憶方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，一句話概括：即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限〞．(2)解釋：“函數(shù)名不變〞是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號(hào)〞是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)；“看象限〞是指假設(shè)α是銳角，要看原函數(shù)名在本公式中角的終邊所在象限是取正值還是負(fù)值，如sin(π＋α)，假設(shè)α看成銳角，那么π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負(fù)值，故sin(π＋α)＝－sinα.[例1]求以下各三角函數(shù)式的值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．[思路點(diǎn)撥]利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．[精解詳析](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)法一：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).法二：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.[一點(diǎn)通]此問(wèn)題為角求值，主要是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解．假如是負(fù)角，一般先將負(fù)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)．要精確?????記憶特別角的三角函數(shù)值．1．tan690°的值為_(kāi)_______．解析：tan690°＝tan(720°－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)2．coseq\f(29π,6)＝________.解析：coseq\f(29π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(5π,6)))＝coseq\f(5π,6)＝cos(eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).答案：－eq\f(\r(3),2)3．求以下各式的值：(1)sineq\f(π,4)coseq\f(19π,6)taneq\f(21π,4)；(2)eq\r(3)sin(－1200°)taneq\f(19π,6)－cos585°taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37π,4))).解：(1)原式＝sineq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(7π,6)))taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5π＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)coseq\f(7π,6)taneq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(2),2)(－coseq\f(π,6))＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(\r(6),4).(2)原式＝－eq\r(3)sin(4×360°－240°)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,6)))－cos(360°＋225°)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(37π,4)))＝－eq\r(3)sin(－240°)taneq\f(π,6)－cos45°taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9π＋\f(π,4)))＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)sin(180°＋60°)－eq\f(\r(2),2)taneq\f(π,4)＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)sin60°－eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2)＋\r(3),2).[例2]化簡(jiǎn)以下各式：(1)eq\f(cosπ＋α·sinα＋2π,sin－α－π·cos－π－α)；(2)eq\f(cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°).[思路點(diǎn)撥]利用誘導(dǎo)公式一、二、四將函數(shù)值化為α角的三角函數(shù)值或銳角的三角函數(shù)值，再約分化簡(jiǎn)．[精解詳析](1)原式＝eq\f(－cosα·sinα,－sinα＋π·cosπ＋α)＝eq\f(－cosα·sinα,sinα·－cosα)＝1.(2)原式＝eq\f(cos190°·－sin210°,cos350°·－tan585°)＝eq\f(cos180°＋10°·sin180°＋30°,cos360°－10°·tan360°＋225°)＝eq\f(－cos10°·－sin30°,cos10°·tan225°)＝eq\f(sin30°,tan180°＋45°)＝eq\f(sin30°,tan45°)＝eq\f(1,2).[一點(diǎn)通]三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)有如下方法：(1)依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．(3)留意“1〞的應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).4．化簡(jiǎn)：eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°)＝____________.解析：eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°)＝eq\f(sin[360°＋180°＋α]cosα,－tan180°－α)＝eq\f(sin180°＋αcosα,tanα)＝eq\f(－sinαcosα,tanα)＝－sinαcosαeq\f(cosα,sinα)＝－cos2α.答案：－cos2α5．設(shè)k為整數(shù)，化簡(jiǎn)：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).解：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m(m∈Z)，原式＝eq\f(sin2mπ－αcos[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(sin－αcosπ＋α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1.當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m＋1(m∈Z)，原式＝eq\f(sin2mπ＋π－αcos2mπ－α,sin[2m＋2π＋α]cos[2m＋1π＋α])＝eq\f(sinπ－αcos－α,sinαcosπ＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα－cosα)＝－1.綜上可知，當(dāng)k為整數(shù)時(shí)eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)＝－1.6．假設(shè)sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求eq\f(sinπ－α＋5cos2π－α,3cosπ－α－sin－α)的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)，得－sinα＝2cosα，所以tanα＝－2.所以原式＝eq\f(sinα＋5cosα,－3cosα＋sinα)＝eq\f(tanα＋5,－3＋tanα)＝eq\f(－2＋5,－3＋－2)＝－eq\f(3,5).[例3]推斷以下函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝3cosx－1；(2)g(x)＝x3sinx；(3)h(x)＝sin2(π＋x)＋cos(π－x)cos(－x)－3.[思路點(diǎn)撥](1)推斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(2)通過(guò)推斷f(－x)與f(x)的關(guān)系得出結(jié)論．[精解詳析](1)∵x∈R，又f(－x)＝3cos(－x)－1＝3cosx－1＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)∵x∈R，又g(－x)＝(－x)3sin(－x)＝x3sinx＝g(x)，∴g(x)為偶函數(shù)．(3)∵x∈R，h(x)＝sin2x－cos2x－3，又h(－x)＝sin2x－cos2x－3＝h(x)，∴h(x)為偶函數(shù)．[一點(diǎn)通]依據(jù)誘導(dǎo)公式可知，正弦函數(shù)f(x)＝sinx為奇函數(shù)，余弦函數(shù)y＝cosx為偶函數(shù)，正切函數(shù)y＝tanx為奇函數(shù)．7．函數(shù)y＝cos(sinx)的奇偶性為_(kāi)_______．解析：令f(x)＝cos(sinx)，那么f(－x)＝cos[sin(－x)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)＝f(x)．∴f(x)為偶函數(shù)．答案：偶函數(shù)8．假設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(2cos3x－sin2x＋π－2cos－x－π＋1,2＋2cos27π＋x＋cos－x)，(1)求證：y＝f(x)是偶函數(shù)；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值．解：(1)證明：∵f(x)＝eq\f(2cos3x－sin2x＋2cosx＋1,2＋2cos2x＋cosx)＝eq\f(2cos3x－1－cos2x＋2cosx＋1,2＋2cos2x＋cosx)＝eq\f(2cos3x＋cos2x＋2cosx,2＋2cos2x＋cosx)＝eq\f(cosx2cos2x＋cosx＋2,2cos2x＋cosx＋2)＝cosx，即f(x)＝cosx，x∈R.那么f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)，∴y＝f(x)是偶函數(shù)．(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).誘導(dǎo)公式的應(yīng)用利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的根本步驟是：eq\x(\a\al(任意負(fù)角的,三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up7(用公式一或二),\s\do5())eq\x(\a\al(任意正角的,三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up7(用公式一))eq\x(\a\al(0～2π的角,的三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up7(用公式三或四))eq\x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))可以看出，這些步驟表達(dá)了把未知問(wèn)題化歸為問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想．可以簡(jiǎn)潔記為“負(fù)化正，大化小，化成銳角再求值〞．課下力量提升(五)一、填空題1．sin480°的值等于________．解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)2．化簡(jiǎn)：eq\f(cos－αtan7π＋α,sinπ＋α)＝________.解析：原式＝eq\f(cosα·tanπ＋α,sinπ＋α)＝eq\f(cosαtanα,－sinα)＝eq\f(sinα,－sinα)＝－1.答案：－13．cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3π,2)＜α＜2π，那么sin(2π－α)的值是________．解析：由cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，得cosα＝eq\f(1,2)，又eq\f(3π,2)＜α＜2π，∴sinα＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin(2π－α)＝－sinα＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)4．cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，那么cos(212°＋α)＝________.解析：∵cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，∴cos[360°＋(148°－α)]＝eq\f(12,13)，即cos(148°－α)＝eq\f(12,13).∴cos(212°＋α)＝cos[360°－(148°－α)]＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13).答案：eq\f(12,13)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零實(shí)數(shù)，且滿意f(2013)＝－1，那么f(2014)的值為_(kāi)_______．解析：∵f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＝－1，∴f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)＝asin[π＋(2013π＋α)]＋bcos[π＋(2013π＋β)]＝－[asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)]＝1.答案：1二、解答題6．求值：(1)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)∵coseq\f(25π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋8π))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋－4π))＝taneq\f(π,4)＝1，∴coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)原式＝sin(60°＋360°)cos(30°＋2×360°)＋sin[30°＋(－2)×360°]cos[60°＋(－2)×360°]＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.7．sin(3π＋θ)＝eq\f(1,4)，求eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ＋θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,cosθ＋2πcosπ＋θ＋cos－θ)的值．解：sin(3π＋θ)＝－sinθ，∴sinθ＝－eq\f(1,4).原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,cosθ－cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝32.8．cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，其中α為第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－eq\f(1,3)，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)>0，α為第三象限角，可知角75°＋α為第四象限角，那么有sin(75°＋α)＝－eq\r(1－cos275°＋α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(2\r(2)－1,3).第4課時(shí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式五～六如圖，設(shè)角α，eq\f(π,2)－α，eq\f(π,2)＋α的終邊分別與單位圓交于P1，P2，P3.問(wèn)題1：假設(shè)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x，y)，那么P2，P3的坐標(biāo)分別是什么？提示：P2(y，x)，P3(－y，x)．問(wèn)題2：你能依據(jù)P1，P2，P3的坐標(biāo)間的關(guān)系得出α，eq\f(π,2)－α，eq\f(π,2)＋α的三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？提示：依據(jù)三角函數(shù)的定義可求出α，eq\f(π,2)－α，eq\f(π,2)＋α的三角函數(shù)值，從而可推出它們之間的關(guān)系．誘導(dǎo)公式角的終邊間關(guān)系公式公式五角的終邊關(guān)于y＝x對(duì)稱sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_αcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin_α公式六eq\f(π,2)＋α的終邊與eq\f(π,2)－α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_αcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α誘導(dǎo)公式五～六的巧記方法eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，簡(jiǎn)記為“函數(shù)名轉(zhuǎn)變，符號(hào)看象限〞或“正變余，余變正，符號(hào)看象限〞．[例1]化簡(jiǎn)：eq\f(tan3π－α,sinπ－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)))＋eq\f(sin2π－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))cos2π＋α).[思路點(diǎn)撥]充分利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的根本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)．[精解詳析]∵tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π＋α)＝cosα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，∴原式＝eq\f(－tanα,sinα－cosα)＋eq\f(－sinα－sinα,－cosα·cosα)＝eq\f(1,cos2α)－eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(1－sin2α,cos2α)＝eq\f(cos2α,cos2α)＝1.[一點(diǎn)通](1)此題化簡(jiǎn)主要采納“異角化同角，導(dǎo)名化同名〞的解題策略．(2)留意同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，如sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)等．1．化簡(jiǎn)sin(π＋α)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cos(π＋α)＝________.解析：原式＝(－sinα)·sinα＋cosα·(－cosα)＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.答案：－12．化簡(jiǎn)：eq\f(sinπ－α·cosπ＋α·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)),cos3π－α·sin3π＋α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝________.解析：原式＝eq\f(sinα·－cosα·sinα,－cosα·－sinα·cosα)＝－tanα.答案：－tanα3．α為第三象限角，f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))tanπ－α,tan－α－πsin－α－π).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)假設(shè)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))－tanα,tanπ＋α·sinπ＋α)＝eq\f(－cosα·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))·－tanα,tanα·－sinα)＝eq\f(cosα·sinα,－sinα)＝－cosα.(2)由于coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝eq\f(1,5)，所以sinα＝－eq\f(1,5).又α是第三象限角，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝－eq\f(2\r(6),5)，故f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).[例2]假設(shè)sinα＝eq\f(\r(5),5)，求eq\f(cos3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),cos3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α)))的值．[思路點(diǎn)撥]可利用誘導(dǎo)公式首先把所求式進(jìn)行化簡(jiǎn)，使化簡(jiǎn)的結(jié)果與條件sinα＝eq\f(\r(5),5)建立聯(lián)系，最終求得數(shù)值．[精解詳析]eq\f(cos3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),cos3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α)))＝eq\f(cos[2π＋π－α],cosα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,2)＋α))－1)))＋eq\f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))),cosπ＋αsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))－sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))))＝eq\f(－cosα,cosα－cosα－1)＋eq\f(cosα,－cosαcosα＋cosα)＝eq\f(1,1＋cosα)＋eq\f(1,1－cosα)＝eq\f(2,sin2α).∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(2,sin2α)＝10.即原式＝10.[一點(diǎn)通](1)利用公式五、六化簡(jiǎn)時(shí)肯定要留意符號(hào)的精確?????性及名稱的變化．(2)求值時(shí)整體把握角與角之間的相互關(guān)系及恒等變形，這是常用的解題策略．4．假設(shè)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，那么sin(3π－α)＝________.解析：∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，∴－sinα＝eq\f(1,2)，即sinα＝－eq\f(1,2).∴sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)5．eq\f(sin2π＋θtanπ＋θtan3π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))tan－π－θ)＝1，求eq\f(3,sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ)的值．解：∵eq\f(sin2π＋θtanπ＋θtan3π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))tan－π－θ)＝eq\f(sinθtanθtanπ－θ,－sinθtanπ＋θ)＝eq