人教A版必修第二冊(cè)6412平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例作業(yè)

課時(shí)作業(yè)(九)平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例一、選擇題1．假如一架飛機(jī)向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，那么()A．s>|a| B．s<|a|C．s＝|a| D．s與|a|不能比大小答案：A解析：s＝200＋300＝500(km)，|a|＝eq\r(2002＋3002)＝100eq\r(13)(km)，∴s>|a|.應(yīng)選A．2．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們夾角為90°時(shí)，合力大小為20N，那么當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力大小為()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．10eq\r(3)N答案：B解析：設(shè)夾角90°時(shí)，合力為F，|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10eq\r(2)，當(dāng)θ＝120°，由平行四邊形法那么，知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N.3．用力F推動(dòng)一物體G，使其沿水平方向運(yùn)動(dòng)s，F(xiàn)與G的垂直方向的夾角為θ，那么F對(duì)物體G所做的功為()A．F·scosθ B．F·ssinθC．|F||s|cosθ D．|F||s|sinθ答案：D解析：如圖，F(xiàn)與s的夾角為eq\f(π,2)－θ，∴W＝|F||s|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝|F||s|sinθ.4．(多項(xiàng)選擇)如下圖，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，以下說法中正確的選項(xiàng)是()A．繩子的拉力不斷增大B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小D．船的浮力保持不變答案：AC解析：設(shè)水的阻力為f，繩的拉力為F，F(xiàn)與水平方向的夾角為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))).那么|F|cosθ＝|f|，|F|＝eq\f(|f|,cosθ).∵θ增大，cosθ減小，∴|F|增大．∵|F|sinθ增大，∴船的浮力變小．5．(多項(xiàng)選擇)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的三個(gè)任意的非零向量，且滿意a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，那么|b·c|的值肯定等于()A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積C．以a，b為兩邊的三角形面積的2倍D．以b，c為兩邊的三角形面積答案：AC解析：設(shè)b與c的夾角為α，a與b的夾角為θ，那么|b·c|＝|b|·|c|·|cosα|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ.應(yīng)選AC．6．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的直線交函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2的圖象于A，B兩點(diǎn)，那么eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OB,\s\up14(→))＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)答案：C解析：由題意知，直線的斜率存在，可設(shè)為k，那么直線方程為y＝kx＋eq\f(1,2)，與y＝eq\f(1,2)x2聯(lián)立，得eq\f(1,2)x2＝kx＋eq\f(1,2)，∴x2－2kx－1＝0，∴x1x2＝－1，x1＋x2＝2k，y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(1,2)))＝k2x1x2＋eq\f(1,4)＋eq\f(kx1＋x2,2)＝－k2＋k2＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，∴eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OB,\s\up14(→))＝x1x2＋y1y2＝－1＋eq\f(1,4)＝－eq\f(3,4).二、填空題7．向量eq\o(AB,\s\up14(→))與向量eq\o(AC,\s\up14(→))夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up14(→))|＝2，假設(shè)eq\o(AP,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))，且eq\o(AP,\s\up14(→))⊥eq\o(BC,\s\up14(→))，那么實(shí)數(shù)λ＝________.答案：eq\f(7,12)解析：向量eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(AC,\s\up14(→))夾角為120°，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up14(→))|＝2，∴eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))||eq\o(AC,\s\up14(→))|cos120°＝－3.由eq\o(AP,\s\up14(→))⊥eq\o(BC,\s\up14(→))，得eq\o(AP,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝(λeq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))·(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝0，∴eq\o(AC,\s\up14(→))2－λeq\o(AB,\s\up14(→))2＋(λ－1)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝eq\f(7,12).8．作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的夾角為eq\f(2π,3)，且|F1|＝3，|F2|＝5，那么F1＋F2的大小為________．答案：eq\r(19)解析：|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝Feq\o\al(2,1)＋2F1·F2＋Feq\o\al(2,2)＝32＋2×3×5×coseq\f(2π,3)＋52＝19，所以|F1＋F2|＝eq\r(19).9．一條河寬為800m，一船從A處動(dòng)身垂直到達(dá)河正對(duì)岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，那么船到達(dá)B處所需時(shí)間為________min.答案：3解析：如下圖，∵ν實(shí)際＝ν船＋ν水＝ν1＋ν2，|ν1|＝20km/h，|ν2|＝12km/h，∴|ν實(shí)際|＝eq\r(|ν1|2－|ν2|2)＝eq\r(202－122)＝16(km/h)．∴所需時(shí)間t＝eq\,16)＝0.05(h)＝3(min)．三、解答題10．如下圖，假設(shè)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且|AB|2－|AC|2＝|DB|2－|DC|2，求證：AD⊥BC．證明：設(shè)Aeq\o(B,\s\up14(→))＝a，Aeq\o(C,\s\up14(→))＝b，Aeq\o(D,\s\up14(→))＝e，Deq\o(B,\s\up14(→))＝c，Deq\o(C,\s\up14(→))＝d，那么a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由于a2－b2＝c2－d2，所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0.由于Beq\o(C,\s\up14(→))＝Beq\o(D,\s\up14(→))＋Deq\o(C,\s\up14(→))＝d－c，所以Aeq\o(D,\s\up14(→))·Beq\o(C,\s\up14(→))＝e·(d－c)＝0.又由于Aeq\o(D,\s\up14(→))≠0，Beq\o(C,\s\up14(→))≠0，所以Aeq\o(D,\s\up14(→))⊥Beq\o(C,\s\up14(→))，即AD⊥BC．11．某一天，一艘船從南岸動(dòng)身，向北岸橫渡．依據(jù)測(cè)量，這一天水流速度為3km/h，方向自西向東，風(fēng)的方向?yàn)榇迪虮逼?0°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h，假設(shè)要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq\r(3)km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．解：如圖①，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3km/h.設(shè)船的實(shí)際航行速度為v，方向由南向北，大小為2eq\r(3)km/h，船本身的速度為v3，如圖②，那么a＋v3＝v，即v3＝v－a，數(shù)形結(jié)合知v3的方向是北偏西60°，大小是eq\r(3)km/h.12.如下圖，兩根繩子把重1kg的物體W吊在水平桿AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽視不計(jì)，g＝10N/kg)．解：設(shè)A，B處所受的力分別為f1，f2,10N的重力用f表示，那么f1＋f2＝f，以重力的作用點(diǎn)C為f1，f2，f的始點(diǎn)，作圖，使eq\o(CE,\s\up14(→))＝f1，eq\o(CF,\s\up14(→))＝f2，eq\o(CG,\s\up14(→))＝f，如圖，那么∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴|eq\o(CE,\s\up14(→))|＝|eq\o(CG,\s\up14(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)(N)，|eq\o(CF,\s\up14(→))|＝|eq\o(CG,\s\up14(→))|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(N)．∴在A處受力為5eq\r(3)N，在B處受力為5N.13．一架飛機(jī)從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達(dá)B地，然后向C地飛行．設(shè)C地恰好在A地的南偏西60°方向，并且A，C兩地相距2000km，求飛機(jī)從B地到C地的位移．解：如下圖，設(shè)A在東西基線和南北基線的交點(diǎn)處．依題意，eq\o(AB,\s\up14(→))的方向是北偏西60°，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝1000km；eq\o(AC,\s\up14(→))的方向是南偏西60°，|eq\o(AC,\s\up14(→))|＝2000km，所以∠BAC＝60°.過點(diǎn)B作東西基線的垂線，交AC于點(diǎn)D，那么△ABD為正三角形，所以BD＝CD＝1000km，∠CBD＝∠BCD＝eq\f(1,2)∠BDA＝30°.所以∠ABC＝90°.BC＝ACsin60°＝2000×eq\f(\r(3),2)＝1000eq\r(3)(km)，∴|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝1000eq\r(3)km.所以飛機(jī)從B地到C地的位移大小是1000eq\r(3)km，方向是南偏西30°.14．在某海濱城市O四周海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如下圖)的東偏南θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(\r(2),10)，θ∈0°，90°))方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)．臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大．問幾小時(shí)后該城市開頭受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：cosθ－45°＝\f(4,5)))解：設(shè)th后，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到Q處，此時(shí)城市開頭受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，∠OPQ＝θ－45°.∵eq\o(OQ,\s\up14(→))＝eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(PQ,\s\up14(→))，∴eq\o(OQ,\s\up14(→))2＝(eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(PQ,\s\up14(→)))2＝eq\o(OP,\s\up14(→))2＋eq\o(PQ,\s\up14(→))2＋2eq\o(OP,\s\u