自學(xué)考試真題：16-04線性代數(shù)經(jīng)管類真題附答案

PAGEPAGE1自學(xué)考試真題：16-04線性代數(shù)經(jīng)管類真題附答案1.設(shè)$A=\\begin{bmatrix}1&2&3\\\\0&4&5\\\\0&0&6\\end{bmatrix}$，$B=\\begin{bmatrix}1&2&2\\\\0&1&2\\\\0&0&1\\end{bmatrix}$，求$AB$。答：$AB=\\begin{bmatrix}1&2&2\\\\0&4&13\\\\0&0&6\\end{bmatrix}$。2.設(shè)$A=\\begin{bmatrix}1&2&3\\\\0&4&5\\\\0&0&6\\end{bmatrix}$，$B=\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\2&1&0\\\\3&2&1\\end{bmatrix}$，求$BA$。答：$BA=\\begin{bmatrix}1&2&3\\\\8&14&19\\\\15&28&39\\end{bmatrix}$。3.設(shè)$A=\\begin{bmatrix}1&2&3\\\\4&5&6\\\\7&8&9\\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。答：$A^{-1}$不存在，因?yàn)?A$的行列式為$0$。4.設(shè)$A=\\begin{bmatrix}1&1&1\\\\1&2&2\\\\1&2&3\\end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。答：$|A-\\lambdaI|=\\begin{vmatrix}1-\\lambda&1&1\\\\1&2-\\lambda&2\\\\1&2&3-\\lambda\\end{vmatrix}=(1-\\lambda)\\begin{vmatrix}2-\\lambda&2\\\\2&3-\\lambda\\end{vmatrix}-\\begin{vmatrix}1&1\\\\2&3-\\lambda\\end{vmatrix}+(1-\\lambda)\\begin{vmatrix}1&2-\\lambda\\\\1&2\\end{vmatrix}$$=(\\lambda-1)^2(\\lambda-3)$。當(dāng)$\\lambda=1$時(shí)，$(A-\\lambdaI)x=0$化為$\\begin{bmatrix}0&1&1\\\\1&1&2\\\\1&2&2\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x_1\\\\x_2\\\\x_3\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0\\\\0\\\\0\\end{bmatrix}$，解得$x=(1,-1,0)^T$。當(dāng)$\\lambda=3$時(shí)，$(A-\\lambdaI)x=0$化為$\\begin{bmatrix}-2&1&1\\\\1&-1&2\\\\1&2&-1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x_1\\\\x_2\\\\x_3\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0\\\\0\\\\0\\end{bmatrix}$，解得$x=(1,1,1)^T$。所以$A$的特征值為$1,1,3$，對(duì)應(yīng)的特征向量為$(1,-1,0)^T,(0,1,-1)^T,(1,1,1)^T$。5.設(shè)$A$的行列式為$2$，求$A^3$的行列式。答：由行列式的性質(zhì)可知，$|A^3|=|A|^3=8$。6.設(shè)$A$為$3\\times3$的矩陣，$\\operatorname{rank}(A)=2$，求$\\operatorname{rank}(A+A^T)$。答：由于$A$的秩為$2$，所以$A$的非零特征值個(gè)數(shù)為$2$或$1$。當(dāng)$A$的非零特征值個(gè)數(shù)為$2$時(shí)，設(shè)$Ax=\\lambdax,Ay=\\muy$，其中$x,y$為$A$對(duì)應(yīng)的特征向量。則有$(A+A^T)(x+y)=(\\lambda+\\mu)(x+y)$，此時(shí)$\\lambda+\\mu$是$(A+A^T)$的一個(gè)非零特征值，所以$\\operatorname{rank}(A+A^T)\\geq1+1=2$。當(dāng)$A$的非零特征值個(gè)數(shù)為$1$時(shí)，設(shè)$Ax=\\lambdax,Ay=x+z,Az=x+2z$，其中$x,y,z$為$A$對(duì)應(yīng)的特征向量（不妨設(shè)$\\lambda\eq0$）。則有$(A+A^T)(x+y+z)=\\lambda(x+y)+(\\lambda+\\lambda)(x+2z)$，此時(shí)$\\lambda$是$(A+A^T)$的一個(gè)非零特征值，所以$\\operatorname{rank}(A+A^T)\\geq1$。綜上可知，$\\operatorname{rank}(A+A^T)\\geq2$。又因?yàn)榫仃?A+A^T$的秩不會(huì)大于矩陣$A$和$A^T$的秩之和，即$\\operatorname{rank}(A+A^T)\\leq\\operatorname{ra