第7課時冪函數(shù)及冪指數(shù)對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用（解析版）

第7課時冪函數(shù)及冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用編寫：廖云波【回歸教材】1.冪函數(shù)定義一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．2.五種常見冪函數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點3.冪函數(shù)性質(zhì)冪函數(shù)，在①當時，在單調(diào)遞增；②當時，在單調(diào)遞減；【典例講練】題型一冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例1-1】已知函數(shù)冪函數(shù)，且在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)（）A．B．C．或D．【答案】A因為函數(shù)為冪函數(shù)，則，即，解得或.若，函數(shù)解析式為，該函數(shù)在定義域上不單調(diào)，舍去；若，函數(shù)解析式為，該函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，合乎題意.綜上所述，.故選：A.【例1-2】圖中C1、C2、C3為三個冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、B．、、C．、、D．、、【答案】D由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：圖中C1對應(yīng)的，C2對應(yīng)的，C3對應(yīng)的，結(jié)合選項知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.【例1-3】若，函數(shù)的圖象恒過定點，則點的坐標為______．【答案】因為過定點，將圖象向右平移一個單位，向上平移3個單位得：，所以過定點.故答案為.歸納總結(jié)：【練習1-1】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則m的值為（）A．0B．1C．0或1D．【答案】A由題意，冪函數(shù)，可得，解得或，當時，可得，可得在上單調(diào)遞減，符合題意；當時，可得，可得在上無單調(diào)性，不符合題意，綜上可得，實數(shù)的值為.故選：A.【練習1-2】如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，其中①對應(yīng)的冪函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】D根據(jù)函數(shù)圖象可得：①對應(yīng)的冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且增長速度越來越慢，故，故D選項符合要求.故選：D題型二冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例2-1】已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】整理可得，利用冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．【詳解】，冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，∴故選：A．【例2-2】冪函數(shù)過點，則______，若，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】

【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)所過的點求解析式，再由所得冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求a的范圍.【詳解】設(shè)冪函數(shù)解析式為，將代入得，所以，在上單調(diào)遞減，所以，可得．故答案為：，【例2-3】冪函數(shù)y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實數(shù)m的值為________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可判斷單調(diào)性，進而可得，為整數(shù)，由驗證是否是偶函數(shù)即可求解.【詳解】有圖象可知：該冪函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，解得，,故可取，又因為該函數(shù)為偶函數(shù)，所以為偶數(shù)，故故答案為：歸納總結(jié)：【練習2-1】已知，，，則的大小關(guān)系是_____________.【答案】##【解析】【分析】由冪函數(shù)的單調(diào)性求解即可【詳解】，，，則，，，又冪函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以【練習2-2】不等式的解為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可【詳解】將不等式轉(zhuǎn)化成（Ⅰ），解得；（Ⅱ），解得；（Ⅲ），此時無解；綜上，不等式的解集為：故答案為：題型三冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【例3-1】【多選題】已知，且，若，則的大小關(guān)系可以是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】【分析】在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，的圖象，然后觀察與他們的交點即可得到答案.【詳解】如圖，在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，的圖象，當直線與三者都相交時，交點的橫坐標即為的值，由圖知，當從大變到小時，依次出現(xiàn)c＜a＜b、a＜c＜b、a＜b＜c．故選：ACD.【例3-2】已知，分別是方程，的根，則（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，分別是函數(shù)，的圖象與直線交點的橫坐標，由于的圖象與圖象關(guān)于直線對稱，而直線也關(guān)于直線對稱，所以兩交點的中點就是直線與的交點，求出交點坐標，再利用中點坐標公式可求出的值【詳解】由題意可得是函數(shù)的圖象與直線交點的橫坐標，是函數(shù)圖象與直線交點的橫坐標，因為的圖象與圖象關(guān)于直線對稱，而直線也關(guān)于直線對稱，所以線段的中點就是直線與的交點，由，得，即線段的中點為，所以，得，故選：B【例3-3】已知是方程的實根，則關(guān)于實數(shù)的判斷正確的是（）①②③④A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】B【解析】【分析】由進行化簡，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出正確答案.【詳解】單調(diào)遞增，，又在上單增，.而，故，故選：B歸納總結(jié)：【練習3-1】已知，，，若，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性可知的范圍，即可求解.【詳解】由，所以，，，所以，故選：B【練習3-2】已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，，，，且滿足：，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出4個零點的關(guān)系及范圍，進而得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的四個不同的零點，，，，就是函數(shù)與兩個圖象四個交點的橫坐標，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，故A正確；由，可得或，結(jié)合圖象可知，故B錯誤；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象得出，所以，故C正確；又，且，所以，即，所以，故D正確.故選：B.【請完成課時作業(yè)（十三）】【課時作業(yè)（十三）】A組基礎(chǔ)題1．冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，即可判斷；【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖像得：，故選：D2．已知冪函數(shù)上單調(diào)遞增，則（）A．0B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由題意可得且，從而可求出的值【詳解】因為冪函數(shù)上單調(diào)遞增，所以且，解得，故選：A3．已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列關(guān)于說法正確的是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．在單調(diào)遞減D．定義域為【答案】C【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象的點求得解析式，由其定義域可判斷D,繼而判斷A,B,由其單調(diào)性判斷C.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，由題意得：，故，定義域為，故D錯誤；定義域不關(guān)于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，A，B錯誤；由于，故在在單調(diào)遞減，C正確，故選：C4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，進而解出不等式即可.【詳解】由題意，，易知函數(shù)在R上單調(diào)遞減（減+減），而，所以.故選：D.5．已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，由此即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：B.6．設(shè)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意和三角函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，則，，，所以，故選：D7．在函數(shù)，，，，四個函數(shù)中，當時，使成立的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先判斷使成立的函數(shù)圖象“上凸”，再結(jié)合圖像依次判斷4個選項即可.【詳解】當時，使成立，則表示連接兩點的線段中點的縱坐標小于曲線在中點處的縱坐標，即的圖象“上凸”，由圖象可直觀得到：當時，，，的圖象都不是上凸的，只有為“上凸”的函數(shù)．故選：A．8．已知實數(shù)a，b滿足，，則（）A．-2B．0C．1D．2【答案】B【解析】【分析】由已知構(gòu)造函數(shù)，利用，，及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性即可得出結(jié)果.【詳解】構(gòu)建函數(shù)，則為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.由，，得，，所以.故選：B.9．已知實數(shù)a，b，c滿足，則下列不等式一定不成立的為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷不同取值情況a、b、c的大小關(guān)系，即可得結(jié)果.【詳解】由的圖象如下：由圖知：當時，，D可能；當時，，B可能；當時，，A可能.故選：C10．【多選題】若，，則（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】【分析】由指對冪函數(shù)的單調(diào)性及指對冪運算依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，由為增函數(shù)知，A正確；對于B，由在為增函數(shù)知，B正確；對于C，取，則，則，C錯誤；對于D，易得，則，則，D錯誤.故選：AB.11．【多選題】已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，以下說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與、、的交點橫坐標范圍及數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，及指對冪函數(shù)的性質(zhì)判斷a、b、c的范圍.【詳解】由題設(shè)，，，，所以，問題可轉(zhuǎn)化為與、、的交點問題，函數(shù)圖象如下：由圖及、對稱性知：，且，所以A、D正確，B、C錯誤.故選：AD12．3．函數(shù)y定義域是_____，值域是_______；奇偶性：_______，單調(diào)區(qū)間________．【答案】

{x|x≠0}

{y|y＞0}

偶函數(shù)

(﹣∞，0)，(0，＋∞)．【解析】【分析】把函數(shù)y化為根式的形式，求出它的定義域和值域；再根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義進行判斷，即可得出正確的結(jié)論．【詳解】∵函數(shù)y，∴x2≠0，解得x≠0，∴函數(shù)y的定義域是{x|x≠0}；又y＞0，∴函數(shù)y的值域是{y|y＞0}；又對定義域內(nèi)的任意x，有f(﹣x)f(x)，∴y＝f(x)是定義域上的偶函數(shù)；又y＝f(x)，當x＞0時，f(x)是減函數(shù)，x＜0時，f(x)是增函數(shù)，∴(﹣∞，0)和(0，＋∞)是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．故答案為：{x|x≠0}；{y|y＞0}；偶函數(shù)；(﹣∞，0)，(0，＋∞)．13．寫出一個具有性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①定義域為；②在單調(diào)遞增；③．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、運算求得符合題意的函數(shù).【詳解】的定義域為，在區(qū)間遞增，且，所以符合題意.故答案為：（答案不唯一）14．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到，代入不等式得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解得答案.【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得.，故，，.當時，不關(guān)于軸對稱，舍去；當時，關(guān)于軸對稱，滿足；當時，不關(guān)于軸對稱，舍去；故，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或.故答案為：B組能力提升能1．若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最大值，再利用作差法判斷、，即可得解；【詳解】解：令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以又所以，即.故選：A2．已知是方程的根，是方程的根，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分析可知是與的圖象的交點橫坐標，是與的圖象的交點橫坐標，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，利用對稱性可求得結(jié)果.【詳解】方程可變形為，方程可變形為，所以，是與的圖象的交點橫坐標，是與的圖象的交點橫坐標，因為與互為反函數(shù)，這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，在函數(shù)圖象上任取一點，該點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，由可得，則點也在函數(shù)的圖象上，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，點與點關(guān)于直線對稱，所以，故.故選：D.3．設(shè)，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析