2023年等差數(shù)列教案 1

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教學過程

一、復習引入：

上兩節(jié)課我們學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列和表示的數(shù)列的幾種辦法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法和前n項和公式..這些辦法從不同的角度反映數(shù)列的特點下面我們看這樣一些例子

1．小明覺得自己英語成果很差，目前他的單詞量只yes,no,you,me,he5個他打算從此天起天天背記10個單詞，那么從此天開頭，他的單詞量逐日增強，依次為：5，15，25，35，…（問：多少天后他的單詞量達到3000？）

2．小芳覺得自己英語成果很棒，她目前的單詞量多達3000她決定從此天起不再背單詞了，結(jié)果不知不覺地天天忘掉5個單詞，那么從此天開頭，她的單詞量逐日遞減，依次為：3000，2995，2990，2985，…

（問：多少天后她那3000個單詞所有忘光？）

從上面兩例中，我們分離得到兩個數(shù)列

①5，15，25，35，…和②3000，2995，2990，2980，…

請學生們認真觀看一下，看看以上兩個數(shù)列有什么共同特征？？

·共同特征：從其次項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等——應指明作差的挨次是后項減前項），我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字——等差數(shù)列

二、講解新課：

1．等差數(shù)列：普通地，假如一個數(shù)列從其次項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）

⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

⑵．對于數(shù)列{na},若na－1-na=d(與n無關的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N+，則此數(shù)列是

等差數(shù)列，d為公差

2．等差數(shù)列的通項公式：dnaan)1(1-+=【或=nadmnam)(-+】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得若一等差數(shù)列{}na的首項是1a，公差是d，則據(jù)其定義可得：

daa=-12即：daa+=12

daa=-23即：dadaa2123+=+=

daa=-34即：dadaa3134+=+=

……

由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：dnaan)1(1-+=

∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項1a和公差d，便可求得其通項na

如數(shù)列①1，2，3，4，5，6；nnan=?-+=1)1(1（1≤n≤6）

數(shù)列②10，8，6，4，2，…；nnan212)2()1(10-=-?-+=（n≥1）數(shù)列③;,1,54;53,52;515

51)1(51nnan=?-+=（n≥1）由上述關系還可得：dmaam)1(1-+=

即：dmaam)1(1--=

則：=nadna)1(1-+=dmnadndmamm)()1()1(-+=-+--

即的其次通項公式=nadmnam)(-+∴d=n

maanm--如：dadadadaa43212345+=+=+=+=

三、例題講解

例1⑴求等差數(shù)列8，5，2…的第20項

⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？假如是，是第幾項？

解：⑴由35285,81-=-=-==da

n=20，得49)3()120(820-=-?-+=a

⑵由4)5(9,51-==-=da

得數(shù)列通項公式為：)1(45=nan

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得)1(45401=-n成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項

例2在等差數(shù)列{}na中，已知105=a，3112=a，求1a,d,naa,20

解法一：∵105=a，3112=a，則

???=+=+311110411dada????=-=32

1da∴53)1(1-=-+=ndnaan

5519120=+=daa

解法二：∵3710317512=?+=?+=dddaa

∴5581220=+=daa3)12(12-=-+=ndnaan

小結(jié)：其次通項公式dmnaamn)(-+=

例3將一個等差數(shù)列的通項公式輸入計算器數(shù)列nu中，設數(shù)列的第s項和第t項分離為su和tu，計算t

suuts--的值，你能發(fā)覺什么結(jié)論？并證實你的結(jié)論解：通過計算發(fā)覺t

suuts--的值恒等于公差證實：設等差數(shù)列{nu}的首項為1u，末項為nu，公差為d，

???-+=-+=)2()1()1()1(11dtuudsuuts

⑴-⑵得dtsuuts)(-=-dt

suuts=--∴小結(jié)：①這就是其次通項公式的變形，②幾何特征，直線的斜率

例4梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度

解：設{}na表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數(shù)列，

由已知條件，可知：1a=33,12a=110，n=12

∴daa)112(112-+=,即10=33+11d解得：7=d

因此，,61,54,47740,407335432===+==+=aaaa

,103,96,89,82,75,6811109876======aaaaaa

答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5已知數(shù)列{na}的通項公式qpnan+=，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分離是什么？

分析：由等差數(shù)列的定義，要判定{}na是不是等差數(shù)列，只要看1--nnaa（n≥2）是不是一個與n無關的常數(shù)

解：當n≥2時,（取數(shù)列{}na中的隨意相鄰兩項1-na與na（n≥2））

])1([)(1qnpqpnaann+--+=--pqppnqpn=+--+=)(為常數(shù)

∴{na}是等差數(shù)列，首項qpa+=1，公差為p

注：①若p=0，則{na}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，…

②若p≠0,則{na}是關于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.

③數(shù)列{na}為等差數(shù)列的充要條件是其通項na=pn+q(p、q是常數(shù))稱其為第3通項公式

④推斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的辦法是否滿足3個通項公式中的一個四、練習：

1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項與第10項.

分析：按照所給數(shù)列的前3項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項.

解：按照題意可知：1a=3,d=7－3=4.

∴該數(shù)列的通項公式為：na=3+（n－1）×4,即na=4n－1（n≥1,n∈N*）

∴4a=4×4－1=15,10a=4×10－1=39.

評述：關鍵是求出通項公式.

（2）求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項.

解：按照題意可知：1a=10,d=8－10=－2.

∴該數(shù)列的通項公式為：na=10+（n－1）×（－2）,即：na=－2n+12,

∴20a=－2×20+12=－28.

評述：要注重解題步驟的規(guī)范性與精確?????性.

（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項？假如是，是第幾項？假如不是，說明理由.

分析：要想推斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得na等于這一數(shù).

解：按照題意可得：1a=2,d=9－2=7.

∴此數(shù)列通項公式為：na=2+（n－1）×7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15,

∴100是這個數(shù)列的第15項.

（4）－20是不是等差數(shù)列0，－3

2

1，－7，……的項？假如是，是第幾項？假如不是，說明理由.解：由題意可知：1a=0,d=－3

2

1∴此數(shù)列的通項公式為：na=－27n+2

7,令－27n+27=－20,解得n=7

47由于－27n+27=－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這個數(shù)列的項.2.在等差數(shù)列{na}中，（1）已知4a=10,7a=19,求1a與d;

（2）已知3a=9,9a=3,求12a.

解：（1）由題意得：???=+=+1961031

1dada,解之得：???==311da.（2）解法一：由題意可得：???=+=+3

89211dada,解之得???-==1111da∴該數(shù)列的通項公式為：na=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴12a=0

解法二：由已知得：9a=3a+6d,即：3=9+6d,∴d=－1

又∵12a=9a+3d,∴12a=3+3×（－1）=0