2023年等差數(shù)列及其前n項和含解析

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[A級基礎(chǔ)題——基穩(wěn)才干樓高]

1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，a5＝5，則S7的值是()A．30B．29C．28

D．27

解析：選C由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d＝

a5－a3

5－3

＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以

S7＝

a1＋a7

2

＝

7×2a4

2

＝7×4＝28.故選C.2．(2022·北京豐臺區(qū)模擬)數(shù)列{2n－1}的前10項的和是()A．120B．110C．100

D．10

解析：選C∵數(shù)列{2n－1}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴S

10＝a1＋a10

2

＝

＋2

＝100.故選C.

3．(2022·豫北重點中學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，則a4等于()A．2B．0C．－1

D．－2

解析：選D由于a1＝1，an＋1＝an－1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d為－1，所以

a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故選D.

4．(2022·張掖質(zhì)檢)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1a2＝35,2a4－a6＝7，則d＝()A．4B．3C．2

D．1

解析：選C∵{an}是等差數(shù)列，∴2a4－a6＝a4－2d＝a2＝7，∵a1a2＝35，∴a1＝5，∴d＝a2－a1＝2，故選C.

5．(2022·南昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5＝50，S10＝200，則a10

＋a11的值為()

A．20

B．40

C．60

D．80

解析：選D設(shè)等差數(shù)列{an

}的公差為d，由已知得?????

S5

＝5a1

＋5×4

2

d＝50，S10＝10a1

＋10×9

2

d＝200，即

?

????

a1＋2d＝10，a1＋92d＝20，

解得???

??

a1＝2，d＝4.

∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故選D.

[B級保分題——準做快做達標]

1．(2022·惠州調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a9＝1

2

a12＋6，a2＝4，則數(shù)

列????

??

1Sn的前10項和為()A.1112B．1011C.

910

D．89

解析：選B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a9＝1

2a12＋6及等差數(shù)列的通項公式得a1＋

5d＝12，又a2＝4，∴a1＝2，d＝2，∴Sn＝n2

＋n，∴1Sn

＝

1nn＋＝1n－1n＋1，∴1S1＋1S2

＋…＋

1

S10＝?????1－12＋?????12－13＋…＋?????110－111＝1－111＝1011.選B.

2．(2022·昆明適應(yīng)性檢測)已知等差數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，若a1

＝1，S3＝a2，則a8＝()

A．12

B．13

C．14

D．15

解析：選D法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得3＋3d＝1＋d，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋7×2＝15，故選D.

法二：S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，由S3＝a2可得3a2＝a2，解得a2＝3或a2＝0(舍去)，則d＝a2－a1＝2，所以a8＝1＋7×2＝15，故選D.

3．(2022·南寧名校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝6，則{an}的前9項和等于()A．－18B．27C．18

D．－27

解析：選B法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝6，所以a1＋4d＝3.于是{an}的前9項和S9＝9a1＋9×82

d＝9(a1＋4d)＝9×3＝27，故選B.

法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1＋a9＝a3＋a7＝6，所以數(shù)列{an}的前9項和S9＝

a1＋a9

2

＝

9×6

2

＝27，故選B.4．(2022·中山一中統(tǒng)測)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝－2n＋1，則數(shù)列????

??

Snn的

前11項和為()

A．－45

B．－50

C．－55

D．－66

解析：選D∵an＝－2n＋1，∴數(shù)列{an}是以－1為首項，－2為公差的等差數(shù)列，∴

Sn＝

n[－1＋－2n＋

2

＝－n2

，∴Snn＝－n2

n＝－n，∴數(shù)列????

??Snn是以－1為首項，－1為公

差的等差數(shù)列，∴數(shù)列????

??Snn的前11項和為11×(－1)＋11×10

2×(－1)＝－66，故選D.

5．(2022·南昌模擬)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()

A．1升

B．6766升C.47

44

升D．3733

升解析：選B設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，由題意得?

??

??

a1＋a2＋a3＋a4＝3，

a7＋a8＋a9＝4，即

?

??

??

4a1＋6d＝3，

3a1＋21d＝4，解得?????

a1

＝13

22，d＝7

66.

∴a5＝1322＋4×766＝67

66

.故選B.

6．(2022·云南統(tǒng)一檢測)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝11，a5＝－1，則{an}的前n項和

Sn的最大值是()

A．15

B．20

C．26

D．30

解析：選C設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d＝

a5－a1

5－1

＝－3，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n

＋14，由?

??

??

an≥0，

an＋1≤0??

??

??

14－3n≥0，

11－3n≤0，解得113≤n≤14

3

，即n＝4，所以{an}的前4項和最

大，且S4＝4×11＋4×3

2

×(－3)＝26，故選C.

7．(2022·四川三地四校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2015，其前n項和為Sn，若

S12

12

－

S10

10

＝2，則S2018＝()

A．2018

B．－2018

C．4036

D．－4036

解析：選C設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝An2

＋Bn，則Snn

＝An＋B，∴????

??Snn是等差數(shù)

列．∵

S1212－

S10

10＝2，∴??????Snn的公差為1，又S11＝a11＝－2015，∴????

??

Snn是以－2015為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴S2018

2018

＝－2015＋2017×1＝2，∴S2018＝4036.故選C.

8．(2022·太原模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*

)在函數(shù)y＝x2

－10x的圖象上，等差數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*

)，其前n項和為Tn，則下列結(jié)論正確的是()

A．Snb7

D．T5＝T6

解析：選D由于點(n，Sn)(n∈N*

)在函數(shù)y＝x2

－10x的圖象上，所以Sn＝n2

－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*

)，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故選D.

9．(2022·長春模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和Sn有最大值，且a2019

a2018

0的n的最大值為()

A．2018

B．2019

C．4035

D．4037

解析：選C設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意知d0，a2018＋a20190，S4036＝

a1＋a4036

2

＝

a2018＋a2019

2

0的n的最大值為4035，故選C.

10．(2022·武漢模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，則這個最小值為()

A．－10

B．－12

C．－9

D．－13

解析：選B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，聯(lián)立，解得???

??

a4＝11，a6＝25

或???

?

?

a4＝25，a6＝11，

當(dāng)?????

a4＝11，

a6＝25時，可得???

??

a1＝－10，

d＝7，

此時an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知當(dāng)n≤2

時，an0，

∴a2a3＝－12為anan＋1的最小值；

當(dāng)?????

a4＝25，a6＝11

時，可得???

??

a1＝46，

d＝－7，

此時an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知當(dāng)n≤7

時，an>0，當(dāng)n≥8時，an0，a7＝－1n>0，m，n∈N*

)，則m＋n的值是________．

解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由于a2，a5，a11成等比數(shù)列，所以a2

5＝a2a11，所以(a1＋4d)2

＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化簡得(m＋n＋3)(m－n)＝12，由于m>n>0，

m，n∈N*

，所以???

??

m－n＝1，

m＋n＋3＝12

或?????

m－n＝2，

m＋n＋3＝6，

解得???

??

m＝5，

n＝4

或?????

m＝5

2，n＝1

2

(舍

去)，所以m＋n＝9.

答案：9

15．(2022·江西三校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5＝45，S6＝60.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＋1－bn＝an(n∈N*

)，且b1＝3，求????

??1bn的前n項和Tn.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

則a6＝S6－S5＝15，所以?

??

??

a6＝a1＋5d＝15，

S5＝5a1＋10d＝45，

解得a1＝5，d＝2，所以an＝2n＋3.

(2)bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋