第8章5節(jié)空間向量的運算及應(yīng)用紙間書屋

第五節(jié)[考綱]1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，共線向量(或平行向量λa＝λb．面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)p＝xa＋yb．a(chǎn)，ba·b＝|a||b|cos〈a，b模 〈a，b〉 a2＋a2＋a2· l1，l2lnαα，β[常用結(jié)論O，若＝＋

＋y＝1)，P，A，B

O，若

→＋→＋

＋y＋z＝1)，B，C四點共面a，bα內(nèi)兩不共線向量，n的法向量，則求法向量的方程組為(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．( 若A，B，C，D是空間任意四點，則有→＋→＋→＋→ 設(shè){a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向 (1)√(2)√(3)× 二、改1u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)α，β [∵α⊥β，ABCD-A1B1C1D1中，MA1C1 的向量是

1 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法 3 3

3

－3，－3，－3 D.3，3，－3 [n＝(x，y，z)ABC的法向量

則→

化簡得

∴x＝y(tǒng)＝z.故選已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，則 6 [∵a⊥b，∴a·b＝0，6 16＋4＋4＝2考點 空間向量的線性運用基向量表示指定向量的方法結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形1.如圖所示已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點，點G 段MN上，且→＝ [ON，＝a＝b＝c，則＝

→＋ －1→

1→2 1 又

OG＝xOA＋yOB＋zOC，

2.ABCD-ABC

111

a，→＝b，＝c，M，N，PAA，BC，C

1a，b，c [解 (1)因為P是C1D1的中點所以

→1 (2)NBC的中點所以

1＝－a＋b＋1→ (3)MAA1的中點所以

→1 又 1 ＝1 1所以 空間向量的線性運算類似于平面向量中的線性運算．考點 共線(共面)向量定理的應(yīng)證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B) O＝ O＝＋x yO＝x O＝x＋y AB，BC，CD，DA(1)求證：E，F(xiàn)，G，H(2)求證：BD[證明 (1)連接BG，EG，則→＝→＋＝→1 →

＝→＝→ E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)因為

→1

1→1 1BD∥(1)本例(2)在證明中運用了向量共線定理及線面平行的判定定理．行可轉(zhuǎn)化為向量共線、共面來證明1.a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)a∥bλμ的值可以是

[∵a∥b， 22解得22

或 故選λ＝2，2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ等于 7 [∵ab不共線，x，y7，， ∴－x＋4y＝5，解得y＝77

7考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)(1)利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用②|a|＝③cos〈a，b〉＝ABCD-A1B1C1D1中，底面為60°.AC1BD1AC[解 (1)記→＝a，→＝b，→|a|＝|b|＝|c|＝1→

|AC1|＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c

|AC1|＝|AC1|＝6，AC1的長為(2)證明：∵→＝a＋b＋c∴→＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos |BD1|＝2，|BD1|＝2，|AC|＝→→6666

〉

→ 6∴ACBD1夾角的余弦值為6[教師備選例題1[教師備選例題1E，F(xiàn)，GAB，AD，CD的中點，計算：(1)→·→；EF(2)→·→EG[解 設(shè)→＝a，→＝b，→|a|＝|b|＝|c|＝1(1)(1)→＝1→＝1－1， → 11 1(2)→·→＝(→＋→＋→)·(→－→)EG AD 2AD ＝－1＋1＋1 111 ABC-A1B1C1，在底面△ABCA1A的中點．求求cos [解 (1)如圖，以點C作為坐標(biāo)原點x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，→ ＝→ BA1·CB1＝3，|BA1|＝6，|CB1|＝→〉所以cos〈→， BA1·CB1＝30〉

→ 10 證明：→→ 所以→ A1B⊥C1A1B⊥C1M，考點 利用向量證明平行與垂1.利用空間向量證明平行的方法①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②①證明兩平面的法向量為共線向量；②2.直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，直證明兩個平面的法向量垂直，如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面4，CD＝1MPB上，PB＝4PM，PBABCD30(1)CM[解](1)證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，CBx軸，CDy軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.∵PC∴∠PBCPBABCD所成的角∵PC＝2，∴BC＝2∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(2M 2，0， DP＝(0，－1，DP＝(0，－1，2)，DA＝(2 CM＝2，0， →

即 y＝2，n＝(－ 3 n·CM＝－3×2

又CM?平面(2)法一：由(1)知→＝(0，4，0)，→＝(2→

即 x0＝1，m＝(1，0，又∵PADn＝(－∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋法二：APE，E(3，2，1)，→＝(－又∵＝(－3，2，1)·(2∴→ ∴BE又∵BE?平面點M的求解是本例的難點，求解的方式有兩種：一是在平面BCP中借助直角三角形中的邊角關(guān)系求解，二是借助向量共線定理利用→＝ 解ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，ECD(1)(2)AA1PDPB1AEAP的[解 以A為原 →→，→的方向分別為