河南省周口市沈丘縣長安高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

沈丘縣長安高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知點(diǎn)在圓：外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.3.下列條件中，一定使空間四點(diǎn)、、、共面的是（）A. B.C. D.4.直線：被圓：所截得的弦長為（）A. B.4 C. D.5.若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B. C.或 D.6.點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.7.已知直線：，：，且，則（）A.或 B. C. D.8.設(shè)、，向量，，且，，則（）A. B. C.3 D.49.若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)到軸的距離是（）A.4 B.6 C.8 D.1010.點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則線段的長為（）A.2 B.3 C.4 D.11.設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.12.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知，，圓：上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足.則的取值可以是（）A.1 B.3 C.1或3 D.4二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知，兩點(diǎn)，若直線：與線段恒有交點(diǎn)，則的取值范圍是_________.14.直線：被圓：截得的弦長最短，則實(shí)數(shù)_________.15.如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則異面直線，間的距離為_________.16.已知，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_________.三、解答題：共70分，解答必須寫出必要的文字說明、證明過程或者演算步驟.17.（10分）菱形的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，邊所在直線過點(diǎn).（1）求邊所在直線的方程；（2）求對(duì)角線所在直線的方程.18.（12分）已知圓過點(diǎn)，，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線：與圓相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值.19.（12分）如圖所示，在直三棱柱中，，，，.（1）求證：；（2）在上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，確定點(diǎn)位置并說明理由，若不存在，說明理由.20.（12分）如圖，在三棱錐中，，，為正三角形，為的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.21.（12分）已知一條曲線在軸右邊，上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是，為該曲線上一點(diǎn)，且，.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.22.（12分）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知定點(diǎn)，直線：滿足且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，始終滿足，證明：直線過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).沈丘縣長安高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷參考答案題號(hào)123456789101112答案BADABADCAADC1.直線變形為，所以，設(shè)傾斜角為，則，因?yàn)?，所?2.由題意，表示圓，故，即或，點(diǎn)在圓：外，故，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為或，即.3.對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.4.由題意圓心，圓的半徑為3，故到：的距離為，故所求弦長為.5.由題意，解得.6.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.7.直線：，：，且，故，解得.8.因?yàn)?，則，解得，則，因?yàn)?，則，解得，即，所以，，因此，.9.解：因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以，解得，所以準(zhǔn)線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為8，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則有，所以.10.如下圖所示，連接，∵為的中點(diǎn)，且，可得，由橢圓方程可知，，根據(jù)橢圓定義有，∴.11.依題意，可知三角形是一個(gè)等腰三角形，在直線的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理知可知，根據(jù)雙曲定義可知，整理得，代入整理得，求得；∴.12.解：設(shè)，由，得，整理得，又圓：上有且僅有一點(diǎn)滿足，所以兩圓相切，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，得.13.把，兩點(diǎn)分別代入直線：中，計(jì)算，，由圖可知，直線：與線段恒有交點(diǎn)時(shí)，，∴的取值范圍是.14.1直線的方程可化為，由，得，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi).當(dāng)時(shí)，取最小值，由，得，∴.15.以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，，設(shè)同時(shí)垂直于，，由，令，得，又，則異面直線，間的距離為.16.8因?yàn)?，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，則，，所以，，即四邊形面積等于8.17.（1）解：由菱形的性質(zhì)可知，則，所以，邊所在直線的方程為，即.（2）解：線段的中點(diǎn)為，，由菱形的幾何性質(zhì)可知，且為的中點(diǎn)，則，因此，對(duì)角線所在直線的方程為，即.18.（1）設(shè)圓的半徑為，圓心，由題意得，解得，∴圓的方程為.（2）∵點(diǎn)在圓上，且，∴直線過圓心，∴，解得.19.（1）因?yàn)?，，，所以，如圖所示，在直三棱柱中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)?，，所以，，?（2）若存在點(diǎn)使平面，則，，，，，，因?yàn)槠矫?，所以存在?shí)數(shù)、，使成立，則，解得，故在上存在點(diǎn)使平面，此時(shí)點(diǎn)為中點(diǎn).（方法二：不建立空間直角坐標(biāo)系，直接利用判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明.）20.（1）證明：作的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭钦切?，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，又，，，平面，所以平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則，∴與平面所成角的正弦值為.21.（1）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)滿足.化簡得曲線的方程為.設(shè)，依題意，由拋物線定義，即，所以，又由，得，解得（舍去）.所以曲線的方程為.（2）由（1）得，設(shè)直