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第2講函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性與最大（?。┲担?重點題型方法與技巧)目錄類型一：利用定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性類型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度1：利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度2：求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間類型三：函數(shù)單調(diào)性的應用角度1：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小角度2：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式角度3：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍類型四：求函數(shù)的最值類型五：二次函數(shù)的最值問題角度1：不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題角度2：含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題類型六：恒成立與能成立問題類型一：利用定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2022·浙江省東陽中學高一開學考試）已知函數(shù)，（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（2）求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）增函數(shù).證明見解析；（2），.【詳解】（1）設，且，所以，∵，∴，，∴，即，在上為增函數(shù)；（2）在上為增函數(shù)，則，.同類題型演練1．（2022·全國·高一專題練習）判斷在的單調(diào)性.【答案】函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．【詳解】設，則（1）假如，則又，所以故函數(shù)單調(diào)遞減；（2）假如，則又所以故函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．類型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度1：利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習）如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)的減區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則對應的函數(shù)圖象為從左到右下降的．由圖象知，函數(shù)的圖象在，上分別是從左到右下降的，則對應的減區(qū)間為，，故選：D．例題2．（2022·全國·高一）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）【答案】B【詳解】解：函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選：B同類題型演練1．（2022·湖南·衡陽市第六中學高一開學考試）下列四個函數(shù)圖象中，當時，函數(shù)值隨自變量的增大而減小的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，所以只用觀察軸左邊的圖像，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，說明圖像從左到右看，圖像一直在下降，觀察選項，只有D符合，故選D角度2：求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得或，即函數(shù)的定義域為，又二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，所以函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：D例題2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為顯然恒成立，所以函數(shù)的定義域為；令，則是開口向上的二次函數(shù)，且對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法可得，的單調(diào)增區(qū)間為.故選：C.例題3．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，解得，令，則，因為在上遞增，在上遞減，而在上遞增，所以在上遞增，在上遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：D同類題型演練1．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的減區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，所以函數(shù)的定義域為[－3，1]．可以看成由及復合而成．因為函數(shù)在[－3，－1]上是增函數(shù)，在[－1，1]上是減函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的判斷方法，可知函數(shù)的減區(qū)間是[－1，1]．故選：B．2．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【答案】【詳解】令，解得或，所以函數(shù)的定義域為，而函數(shù)的對稱軸是，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.3．（2022·河南安陽·高一期末（理））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.【答案】【詳解】由可得，解得：，所以函數(shù)的定義域為，因為是由和復合而成，對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.類型三：函數(shù)單調(diào)性的應用角度1：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為在區(qū)間上是增函數(shù)，并且，所以，所以D選項的正確的．故選：D例題2．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)在是增函數(shù)，若，則有（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，又函數(shù)在上是增函數(shù)，故故選：C.同類題型演練1．（2022·全國·高一課時練習）定義域為的函數(shù)滿足:對任意的，有，則有（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】定義域在上的函數(shù)滿足：對任意的，，有，可得函數(shù)是定義域在上的增函數(shù)，所以（1）（3）．故選：．2．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)是上的減函數(shù)，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當時，選項A、B、C都不正確；因為，所以，因為在上為減函數(shù)，所以，故D正確.故選：D角度2：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2022·江蘇·高一）已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【詳解】因為在定義域上是減函數(shù)，所以由，故選：A例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若則實數(shù)的取值范圍是____．【答案】【詳解】由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即且，即且，解得且或，即故答案為：.同類題型演練1．（2022·江西省銅鼓中學高一期末）已知函數(shù)，則不等式的x的解集是________．【答案】【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，即，解得.故答案為：.角度3：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍典型例題例題1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業(yè)考試）函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的對稱軸為，開口向下，若在上是增函數(shù)，則，可得，所以的取值范圍是，故選：A.例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)的增區(qū)間是，則實數(shù)的值為___________.【答案】【詳解】因為函數(shù)，故當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.因為函數(shù)的增區(qū)間是，所以，所以.故答案為：.例題3．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，解得．故選：B例題4．（2022·全國·高一專題練習）若是上的單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為____.【答案】【詳解】若f（x）＝是R上的單調(diào)減函數(shù)，得則，解得，故答案為：.同類題型演練1．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為分段函數(shù)在上的單調(diào)函數(shù)，由于開口向上，故在上單調(diào)遞增，故分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，所以要滿足：，解得：故選：B2．（2022·遼寧營口·高二期末）已知函數(shù)，若對于區(qū)間上任意兩個不相等的實數(shù)，，都有，則實數(shù)a的取值范圍為___________．【答案】【詳解】由題意，的對稱軸為，即或，或，故答案為：.3．（2022·全國·高一課時練習）若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】解：函數(shù)，由復合函數(shù)的增減性可知，若在為增函數(shù)，，，故答案為：．4．（2022·黑龍江實驗中學高二期末）已知函數(shù)f(x)＝，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，則實數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】##【詳解】不妨設，所以由可得：，所以函數(shù)在上遞減，故，解得：．故答案為：．類型四：求函數(shù)的最值（值域）典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析(2)（1）解：函數(shù)在上的為增函數(shù)，理由如下：任取，且，有∵，∴∴即∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）由（1）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，又∵時，，∴∴∴函數(shù)的值域為.例題3．（2022·河南·溫縣第一高級中學高一階段練習）已知函數(shù)（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）求在區(qū)間上的最值．【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；（2），.【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增證明：任取，且因為，，，所以，即所以在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）由（1）可得，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以，同類題型演練1．（2022·全國·高一專題練習）求函數(shù)，的最大值與最小值.【答案】最大值，最小值【詳解】函數(shù)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當時取到最小值.又當時，，當時，所以當時取到最大值，所以函數(shù)的最大值，最小值2．（2022·浙江·金華市曙光學校高二階段練習）已知函數(shù)，（1）判斷并用定義證明的單調(diào)性；（2）求的值域.【答案】（1）增函數(shù)，證明見解析；（2）.【詳解】（1）為增函數(shù)，證明如下：，，因為，可得：所以在上為增函數(shù).（2）由第一問可知該函數(shù)在上為增函數(shù)，則當，有最小值，當，有最大值.因為，，所以函數(shù)值域為.類型五：二次函數(shù)的最值問題角度1：不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題典型例題例題1．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別是（）A． B． C． D．最小值是，無最大值【答案】C【詳解】，拋物線的開口向上，對稱軸為，在區(qū)間上，當時，有最小值；時，有最大值，函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別是：，．故選：C．例題2．（2022·浙江·高三專題練習）函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】已知函數(shù)的對稱軸為，開口向上，作出函數(shù)圖像如圖所示，由圖可知，，，所以值域為.故選：D.同類題型演練1．（2022·新疆喀什·高一期末）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，對稱軸，開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.故選：C2．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期末）函數(shù)的最大值與最小值之和A．1.75 B．3.75 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故選B．3．（2022·浙江·平湖市當湖高級中學高二階段練習）設，則函數(shù)的最大值為______.【答案】##0.5【詳解】二次函數(shù)是開口向下的，對稱軸為，∴當時，；故答案為：.角度2：含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題典型例題例題1．（2022·山東·廣饒一中高一開學考試）已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)求在上的最小值.【答案】(1)(2)(3)(1)解：當時，函數(shù)，不等式，即，解得或，即不等式的解集為.(2)解：由函數(shù)，可得的圖象開口向上，且對稱軸為，要使得在上單調(diào)遞增，則滿足，所以的取值范圍為.(3)解：由函數(shù)，可得的圖象開口向上，且對稱軸為，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以最小值為；當時，函數(shù)在遞減，在上遞增，所以最小值為；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以最小值為，綜上可得，在上的最小值為.例題2．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)－1(2)(3)（1）因為定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，所以，都有成立，即，都有成立，解得．（2）因為函數(shù)圖象的對稱軸為，所以要使函數(shù)在上具有單調(diào)性，則，或，即或，則的取值范圍為．（3）①若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．②若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．③若函數(shù)在上不單調(diào)，則，即，此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.例題3．（2022·全國·高一期中）已知二次函數(shù)，且滿足，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當（）時，求函數(shù)的最小值（用表示）．【答案】(1)(2)（1）因為二次函數(shù)，且滿足，，所以，且，由，得，所以，得，所以.（2）因為是圖象的對稱軸為直線，且開口向上的二次函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞增，則；當，即時，在上單調(diào)遞減，則；當，即時，，綜上同類題型演練1．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最小值．【答案】g(t)＝【詳解】解：∵對稱軸x＝1，當1≥t＋2即t≤－1時，f(x)在[t，t＋2]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.當t≤1<t＋2，即－1<t≤1時，f(x)min＝f(1)＝－4.當1<t，即t>1時，f(x)在[t，t＋2]上為增函數(shù)，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.設函數(shù)f(x)的最小值為g(t)，則g(t)＝2．（2022·全國·高三專題練習（理））求二次函數(shù)在上的最小值.【答案】當時，最小值為；當時，最小值為；當時，最小值為【詳解】由題意，函數(shù)，可得在區(qū)間遞減遞增，（1）當時，函數(shù)在區(qū)間遞減，所以（2）當時，在區(qū)間遞增，所以（3）當時，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，所以3．（2022·全國·高一專題練習）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是．(1)求的解析式；(2)設函數(shù)在上的最小值為，求的表達式．【答案】(1)(2)(1)是二次函數(shù)，且的解集是，可設，對稱軸為，在區(qū)間上的最大值是．由已知得，．(2)由(1)得，函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸為(討論對稱軸與閉區(qū)間的相對位置)①當時，即時，在上單調(diào)遞減，(對稱軸在區(qū)間右側(cè))此時的最小值；②當時，在上單調(diào)遞增，(對稱軸在區(qū)間左側(cè))此時的最小值；③當時，函數(shù)在對稱軸處取得最小值(對稱軸在區(qū)間中間)此時，綜上所述，得的表達式為：．類型六：恒成立與能成立問題典型例題例題1．（2022·福建省德化第一中學高二階段練習）若函數(shù)的定義城為，則實數(shù)的取值范圍是（）A．[0，1] B．[0，1） C．[0，] D．[0，）【答案】D【詳解】要滿足題意，只需在上恒成立即可.當時，顯然滿足題意.當時，只需，解得.綜上所述，故選：D.例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，，對，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2，所以在上單調(diào)遞減，則在上的值域為.因為在上單調(diào)遞增，所以在上的值域為.由題意，可得，即，解得.故答案為：例題3．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】對任意，恒成立，等價于在上恒成立，令，則其在上的最小值為，所以，得.故答案為：例題4．（2022·全國·高一單元測試）已知，函數(shù)，，若對任意，總存在，使得，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】解：依題意顯然，因為對任意，總存在，使得，所以存在，使得，故在上有解，即在上有解.設，其圖象的對稱軸為，若，即，則此時，故不成立；若，即，此時需在上，即，故，解得.故答案為：例題5．（2022·福建省德化第一中學高二期末）設函數(shù).(1)若對于一切實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對于，恒成立，求實