計算方法龍格庫塔方法

得到高精度方法的一個直接想法是利用Taylor展開假設(shè)式y(tǒng)'=f(x,y)(a≤x≤b)中的f(x,y)充分光滑,將y(xi+1)在xi點作Taylor展開，若取右端不同的有限項作為y(xi+1)的近似值，就可得到計算y(xi+1)的各種不同截斷誤差的數(shù)值公式。例如：取前兩項可得到9.4龍格－庫塔方法2021/5/91其中P階泰勒方法若取前三項，可得到截斷誤差為O(h3)的公式類似地，若取前P+1項作為y(xi+1)的近似值，便得到2021/5/92顯然p=1時,

yi+1=yi+hf(xi,yi)它即為我們熟悉的Euler方法。當(dāng)p≥2時,要利用泰勒方法就需要計算f(x,y)的高階微商。這個計算量是很大的，尤其當(dāng)f(x,y)較復(fù)雜時，其高階導(dǎo)數(shù)會很復(fù)雜。因此，利用泰勒公式構(gòu)造高階公式是不實用的。但是泰勒級數(shù)展開法的基本思想是許多數(shù)值方法的基礎(chǔ)。R-K方法不是直接使用Taylor級數(shù),而是利用它的思想2021/5/939.4.1龍格-庫塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改寫成

則yi+1的表達(dá)式與y(xi+1)的Taylor展開式的前兩項完全相同,即局部截斷誤差為O(h2)。Runge-Kutta

方法是一種高精度的單步法,簡稱R-K法2021/5/94同理，改進(jìn)Euler公式可改寫成

上述兩組公式在形式上共同點:都是用f(x,y)在某些點上值的線性組合得出y(xi+1)的近似值yi+1,

且增加計算的次數(shù)f(x,y)的次數(shù),可提高截斷誤差的階。如歐拉法:每步計算一次f(x,y)的值,為一階方法。改進(jìn)歐拉法需計算兩次f(x,y)的值，為二階方法。局部截斷誤差為O(h3)2021/5/95

于是可考慮用函數(shù)f(x,y)在若干點上的函數(shù)值的線性組合來構(gòu)造近似公式，構(gòu)造時要求近似公式在(xi,yi)處的Taylor展開式與解y(x)在xi處的Taylor展開式的前面幾項重合，從而使近似公式達(dá)到所需要的階數(shù)。既避免求高階導(dǎo)數(shù),又提高了計算方法精度的階數(shù)。或者說,在[xi,xi+1]這一步內(nèi)多計算幾個點的斜率值，然后將其進(jìn)行加權(quán)平均作為平均斜率，則可構(gòu)造出更高精度的計算格式，這就是龍格—庫塔（Runge-Kutta）法的基本思想。2021/5/96一般龍格－庫塔方法的形式為2023/6/27其中ai,bij,ci為待定參數(shù)，要求上式y(tǒng)i+1在點(xi,yi)處作Tailor展開，通過相同項的系數(shù)確定參數(shù)。稱為P階龍格－庫塔方法。2021/5/97Runge-Kutta方法的推導(dǎo)思想對于常微分方程的初值問題的解y=y(x)，在區(qū)間[xi,xi+1]上使用微分中值定理，有即2021/5/98引入記號就可得到相應(yīng)的Runge-Kutta方法2021/5/99如下圖即則上式化為即Euler方法Euler方法也稱為一階Runge-Kutta方法2021/5/9109.4.2二階龍格—庫塔法

在[xi,xi+1]上取兩點xi和xi+a2=xi+a2h,以該兩點處的斜率值K1和K2的加權(quán)平均(或稱為線性組合)來求取平均斜率k*的近似值K，即

式中:K1為xi點處的切線斜率值

K1=hf(xi,yi)=hy'(xi)

K2為xi+a2h點處的切線斜率值,比照改進(jìn)的歐拉法,將xi+a2視為xi+1，即可得

確定系數(shù)c1、c2、a2、b21

，可得到有2階精度的算法格式2021/5/911因此

將y(xi+1)在x=xi處進(jìn)行Taylor展開：

將在x=xi處進(jìn)行Taylor展開：

2021/5/9122023/6/213K1=hf(xi,yi)2021/5/913這里有4個未知數(shù)，3個方程。存在無窮多個解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫塔格式。令

對應(yīng)項的系數(shù)相等，得到

2021/5/914注意到，就是二階龍格-庫塔公式，也就是改進(jìn)的歐拉法。

因此，凡滿足條件式有一簇形如上式的計算格式，這些格式統(tǒng)稱為二階龍格—庫塔格式。因此改進(jìn)的歐拉格式是眾多的二階龍格—庫塔法中的一種特殊格式。2021/5/915若取，就是另一種形式的二階龍格-庫塔公式。此計算公式稱為變形的二階龍格—庫塔法。式中為區(qū)間的中點。也稱中點公式。

Q:為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？2021/5/916

二級R-K方法是顯式單步式,每前進(jìn)一步需要計算兩個函數(shù)值。由上面的討論可知,適當(dāng)選擇四個參數(shù)c1,c2,a2,

b21，可使每步計算兩次函數(shù)值的二階R-K方法達(dá)到二階精度。能否在計算函數(shù)值次數(shù)不變的情況下,通過選擇不同的參數(shù)值,使得二階R-K方法的精度再提高呢?

答案是否定的！無論四個參數(shù)怎樣選擇,都不能使公式的局部截斷誤差提高到三階。

這說明每一步計算兩個函數(shù)值的二階R-K方法最高階為二階。若要獲得更高階得數(shù)值方法,就必須增加計算函數(shù)值的次數(shù)。2021/5/9179.4.3三階龍格—庫塔法2023/6/218為進(jìn)一步提高精度，在區(qū)間[xi,xi+1]上除兩點xi和xi+a2=xi+a2h,以外，再增加一點xi+a3=xi

+a3h

，用這三點處的斜率值K1、K2和K3的加權(quán)平均得出平均斜率K*的近似值K，這時計算格式具有形式:

2021/5/918同理推導(dǎo)二階公式，將y(xi+1)和yi+1在x=xi處進(jìn)行Taylor展開，使局部截斷誤差達(dá)到O(h4)，使對應(yīng)項的系數(shù)相等，得到系數(shù)方程組：2021/5/919參數(shù)的選擇不唯一，從而構(gòu)成一類不同的三階R-K公式，下面給出一種常用的三階R-K公式，形似simpson公式：2021/5/9209.4.4四階(經(jīng)典)龍格—庫塔法

如果需要再提高精度，用類似上述的處理方法，只需在區(qū)間[xi,xi+1]上用四個點處的斜率加權(quán)平均作為平均斜率K*的近似值，構(gòu)成一系列四階龍格—庫塔公式。具有四階精度，即局部截斷誤差是O(h5)。推導(dǎo)過程與前面類似，由于過程復(fù)雜，這里從略，只介紹最常用的一種四階經(jīng)典龍格—庫塔公式。

2021/5/921

K1=hf(xi,yi)

K2=hf(xi+a2h,yi+b21K1)

K3=hf(xi+a3h,yi+b31K1+b32K2)

K4=hf(xi+a4h,yi+b41K1+b42K2+b43K3)

其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、b32、b41、b42、b43均為待定系數(shù)。這里K1、K2、K3、K4為四個不同點上的函數(shù)值，分別設(shè)其為設(shè)yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K42021/5/922

類似于前面的討論，把K2、K3、K4分別在xi點展成h的冪級數(shù)，代入線性組合式中，將得到的公式與y(xi+1)在xi點上的泰勒展開式比較，使其兩式右端直到h4的系數(shù)相等，經(jīng)過較復(fù)雜的解方程過程便可得到關(guān)于ci，ai，bij的一組特解

a2=a3=b21=b32=1/2

b31=b41=b42=0

a4=b43=1

c1=c4=1/6

c2=c3=1/32021/5/923四階(經(jīng)典)Runge-Kutta方法2021/5/924例1.使用高階R-K方法計算初值問題解:(1)使用三階R-K方法2021/5/925其余結(jié)果如下:(2)如果使用四階R-K方法

ixik1k2k3yi1.00000.10000.10000.11030.12561.11112.00000.20000.12350.13760.15951.24993.00000.30000.15620.17640.20921.42844.00000.40000.20400.23420.28661.66645.00000.50000.27770.32590.41631.99932023/6/22021/5/926其余結(jié)果如下:

ixik1k2k3k4yi1.00000.10000.10000.11030.11130.12351.11112.00000.20000.12350.13760.13920.15631.25003.00000.30000.15620.17640.17910.20421.42864.00000.40000.20400.23420.23890.27811.66675.00000.50000.27770.32590.33480.40062.00002023/6/22021/5/9272023/6/228由上節(jié)分析常微分方程數(shù)值解法穩(wěn)定性問題的方法，可得到各階Runge-Kutta公式的穩(wěn)定性條件：二階與歐拉預(yù)估－校正公式一致三階四階9.4.5龍格－庫塔方法的穩(wěn)定性條件2021/5/928

龍格—庫塔方法的推導(dǎo)基于Taylor展開方法，因而它要求所求的解具有較好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四階龍格—庫塔方法求得的數(shù)值解，其精度可能反而不如改進(jìn)的歐拉方法。在實際計算時，應(yīng)當(dāng)針對問題的具體特點選擇合適