2024屆高考數(shù)學(xué)專題17 道路通行問題（解析版）

專題17道路通行問題例1．某人某天的工作是，駕車從地出發(fā)，到，兩地辦事，最后返回地，，三地之間各路段的行駛時(shí)間及當(dāng)天降水概率如表：路段正常行駛所需時(shí)間（小時(shí)）上午降水概率下午降水概率20.30.620.20.730.30.9若在某路段遇到降水，則在該路段行駛的時(shí)間需延長(zhǎng)1小時(shí)．現(xiàn)有如下兩個(gè)方案：方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事然后到達(dá)地，下午在地辦事后返回地；方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達(dá)地，辦事后返回地（1）若此人8點(diǎn)從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時(shí)間為2小時(shí)，且采用方案甲，求他當(dāng)日18點(diǎn)或18點(diǎn)之前能返回地的概率；（2）甲、乙兩個(gè)方案中，哪個(gè)方案有利于辦完事后能更早返回地？【解析】解：（1）由題意可知，若各路段均不會(huì)遇到降水，則返回地的時(shí)間為17點(diǎn)，因此若18點(diǎn)之前能返回地的充要條件是降水的路段數(shù)不超過1，記事件，，分別表示在上午路段降水、上午路段降水、下午路段降水，則所求概率：．（2）設(shè)基本路段正常行駛時(shí)間為，降水概率為，則該路段行駛時(shí)間的分布列為：行駛時(shí)間概率，路段正常行駛所需時(shí)間（小時(shí)）上午上午下午下午降水概率行駛時(shí)間期望值降水概率行駛時(shí)間期望值20.32.30.62.620.22.20.72.730.33.30.93.9設(shè)采用甲、乙兩種方案所花費(fèi)的總行駛時(shí)間分別為，，則，．采用甲方案更有利于辦事之后能更早返回地．例2．市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學(xué)在丙地，三地之間的道路情況如圖所示．假設(shè)工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機(jī)的．同一條道路去程與回程是否堵車相互獨(dú)立．假設(shè)李先生早上需要先開車送小孩去丙地小學(xué)，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班．假設(shè)道路A，B，D上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，道路C，E上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學(xué)和上班的都會(huì)遲到．(1)求李先生的小孩按時(shí)到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能夠按時(shí)上班？(3)設(shè)X表示李先生下班時(shí)從單位乙到達(dá)小學(xué)丙遇到擁堵的次數(shù)，求X的均值．【解析】(1)因?yàn)榈缆稤、E上班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率分別是和，因此從甲到丙遇到擁堵的概率是：×＋×＝，故李先生的小孩能夠按時(shí)到校的概率是1－＝.(2)甲到丙沒有遇到擁堵的概率是，丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是，甲到乙遇到擁堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙沒有遇到擁堵的概率是1－＝，∴李先生上班途中均沒有遇到擁堵的概率是××＝<0.7，所以李先生沒有七成把握能夠按時(shí)上班．(3)依題意X可以取0,1,2.P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝.分布列是：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.例3．2018年11月6日-11日，第十二屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)在珠海舉行。在航展期間，從珠海市區(qū)開車前往航展地有甲、乙兩條路線可走，已知每輛車走路線甲堵車的概率為14，走路線乙堵車的概率為p，若現(xiàn)在有A，B兩輛汽車走路線甲，有一輛汽車C（1）若這三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為716，求p（2）在（1）的條件下，求這三輛汽車中被堵車輛的輛數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥?1)由已知得C(2)由題意得X的所有可能取值為0,1P(X=0)=34.3所以P(X=2)=1?P(X=0)?P(X=1)?P(X=3)=1?所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P3711故E(X)=0×38例4．某校要用三輛汽車從新校區(qū)把教職工接到老校區(qū)，已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路，汽車走公路①堵車的概率為，不堵車的概率為；汽車走公路②堵車的概率為，不堵車的概率為.若甲、乙兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響.（1）若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為，求走公路②堵車的概率；（2）在（1）的條件下，求三輛汽車中被堵車輛的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】解：（1）三輛車是否堵車相互之間沒有影響三輛汽車中恰有一輛汽車被堵，是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，走公路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1﹣p，得即3p＝1，則即p的值為．（2）由題意知ξ可能的取值為0，1，2，3，，∴ξ的分布列為：∴Eξ例5．某果園要用三輛汽車將一批水果從所在城市E運(yùn)至銷售城市F，已知從城市E到城市F有兩條公路.統(tǒng)計(jì)表明：汽車走公路Ⅰ堵車的概率為，走公路Ⅱ堵車的概率為，若甲、乙兩輛汽車走公路Ⅰ，第三輛汽車丙由于其他原因走公路Ⅱ運(yùn)送水果，且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響.（Ⅰ）求甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率；（Ⅱ）求三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率.【解析】設(shè)“汽車甲走公路Ⅰ堵車”為事件A,“汽車乙走公路Ⅰ堵車”為事件B,“汽車丙走公路Ⅱ堵車”為事件C.(Ⅰ)甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車,有2種情況,即甲堵車而乙不堵車和甲不堵車而乙堵車,則其概率為,故甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率為；(Ⅱ)甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車即三輛車全部堵車或恰有兩輛汽車堵車,則其概率，故三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為.例6．張老師居住在某城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到學(xué)校B處上班。若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖。（例如：A→C→D算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為）。（1）請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最??；（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥浚?）記路段AC發(fā)生堵車事件為AC，其余同此表示法。因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P1為同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P2為路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P3為顯然要使得A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇。又因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)可取值為0，1，2，3所以故路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為例7．自駕游從地到地有甲乙兩條線路，甲線路是，乙線是，其中段、段、段都是易堵車路段.假設(shè)這三條路段堵車與否相互獨(dú)立.這三條路段的堵車概率及平均堵車時(shí)間如表1所示.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，堵車概率在上變化，在上變化.在不堵車的情況下.走線路甲需汽油費(fèi)500元，走線路乙需汽油費(fèi)545元.而每堵車1小時(shí)，需多花汽油費(fèi)20元.路政局為了估計(jì)段平均堵車時(shí)間，調(diào)查了100名走甲線路的司機(jī)，得到表2數(shù)據(jù).CD段EF段GH段堵車概率平均堵車時(shí)間（單位：小時(shí)）21（表1）堵車時(shí)間（單位：小時(shí)）頻數(shù)86382424（表2）（1）求段平均堵車時(shí)間的值.（2）若只考慮所花汽油費(fèi)期望值的大小，為了節(jié)約，求選擇走甲線路的概率.（3）在(2)的條件下，某4名司機(jī)中走甲線路的人數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥浚?）（2）設(shè)走線路甲所花汽油費(fèi)為元，則設(shè)走乙線路多花的汽油費(fèi)為元，段、段堵車與否相互獨(dú)立，，，，走乙線路所花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為依題意選擇走甲線路應(yīng)滿足，（3）二項(xiàng)分布例8．如圖，某工人的住所在處，上班的企業(yè)在處，開車上下班的路線有三條路程幾乎相等的線路供選擇:環(huán)城南路經(jīng)過醫(yī)院的路口，環(huán)城北路經(jīng)過學(xué)校的路口，中間路線經(jīng)過商場(chǎng)的路口。如果開車到五個(gè)路口因遇到紅燈而堵車的概率分別為，再無(wú)別的路口紅燈.(1)為了減少開車在路口因遇到紅燈而堵車的次數(shù)，這位工人應(yīng)該選擇哪條行駛路線?(2)對(duì)于(1)所選擇的路線，求其堵車次數(shù)的方差.點(diǎn)睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方程的求解以及應(yīng)用，著重考查了考生的推理與運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程思想，試題能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔試題.【解析】（1）設(shè)這位工人選擇行駛路線、、的分別堵車、、次，則，1，2；，1，2，3由于，，，則期望值由于，，，則期望值由于，，，,則期望值.比較知最小，所以這位工人應(yīng)該選擇行駛路線（2）已求最小，且，，，則，所以符合題意的方差為例9．為響應(yīng)綠色出行，某市在：推出“共亨單車”后，又推出“新能源分時(shí)租賃汽車”，其中一款新能源分吋租賃汽車具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為日間0.5元/分鐘，晚間(18時(shí)30分至次日上午7時(shí)30分)收費(fèi)35元/小時(shí)，已知孫先生家離上班地點(diǎn)20公里，每天日間租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間t(分鐘)是一個(gè)隨機(jī)變量.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了50次路上開車花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如表所示：時(shí)間t(分鐘)(((((頻數(shù)41618102將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間，范圍為(20,70(1)若孫先生一次開車時(shí)間不超過40分鐘為“路段暢通”，設(shè)X表示4次租用新能源分時(shí)租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求X的分布列和期望；(2)若公司每月給1000元的車補(bǔ)，請(qǐng)估計(jì)孫先生每月(按22天計(jì)算)的車補(bǔ)是否足夠上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車？并說(shuō)明理由.(同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．【解析】(1)孫先生租用一次新能源汽車，為“路段暢通”的頻率為4+1650視頻率為概率，孫先生租用一次新能源汽車，為“路段暢通”的概率為25則X的可能取值為0，1，2，3，4；且X服從二項(xiàng)分布B(4,2所以P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=C∴X的分布列為：X01234P812162169616數(shù)學(xué)期望為E(X)=np=4×2(2)孫先生租用一次新能源汽車上下班，平均用車時(shí)間為t，則t=25×450+35×每次上下班租車的費(fèi)用約為43×0.5=21.5(元)，一個(gè)月上下班租車的總費(fèi)用約為21.5×2×22=946(元)，因?yàn)?46<1000，估計(jì)孫先生每月的車補(bǔ)足夠上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車．例10．為響應(yīng)低碳綠色出行，某市推出“新能源分時(shí)租賃汽車”，其中一款新能源分時(shí)租賃汽車，每次租車收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由以下兩部分組成：①根據(jù)行駛里數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi);②當(dāng)租車時(shí)間不超過40分鐘時(shí)，按0.12元/分鐘計(jì)費(fèi);當(dāng)租車時(shí)間超過40分鐘時(shí)，超出的部分按0.20元/分鐘計(jì)費(fèi);③租車時(shí)間不足1分鐘，按1分鐘計(jì)算。已知張先生從家里到公司的距離為15公里，每天租用該款汽車上下班各一次，且每次租車時(shí)間t20,60（單位：分鐘）.由于堵車，紅綠燈等因素，每次路上租車時(shí)間t是一個(gè)隨機(jī)變量，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了他50次路上租車時(shí)間，整理后得到下表:租車時(shí)間t（分鐘）[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]頻數(shù)2182010將上述租車時(shí)間的頻率視為概率.(1)寫出張先生一次租車費(fèi)用y(元)與租車時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式;(2)公司規(guī)定，員工上下班可以免費(fèi)乘坐公司接送車，若不乘坐公司接送車的每月(按22天計(jì)算)給800元車補(bǔ).從經(jīng)濟(jì)收入的角度分析，張先生上下班應(yīng)該選擇公司接送車，還是租用該款新能源汽車?(3)若張先生一次租車時(shí)間不超過40分鐘為“路段暢通”，設(shè)ξ表示3次租用新能源分時(shí)租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求ξ的分布列和期望;【解析】（1）當(dāng)QUOTE20≤t≤40時(shí)，QUOTEy=0.12t+15當(dāng)QUOTE40<t≤60時(shí)，QUOTEy=40×0.12+0.2(t?40)+15QUOTEy=0.12t+15，20≤t≤