概率與統(tǒng)計(jì)課件方差與回歸分析

概率與統(tǒng)計(jì)課件方差與回歸分析第一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六§8.1

方差分析8.1.1

問題的提出

實(shí)際工作中我們經(jīng)常碰到多個(gè)正態(tài)總體均值的比較問題，處理這類問題通常采用所謂的方差分析方法。第二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8.1.1

在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出三種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以槐樹粉為主的飼料，A3是以苜蓿粉為主的飼料。為比較三種飼料的效果，特選24只相似的雛雞隨機(jī)均分為三組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量。試驗(yàn)結(jié)果如下表所示：第三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六表8.1.1

雞飼料試驗(yàn)數(shù)據(jù)

飼料A雞重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048第四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六本例中，我們要比較的是三種飼料對(duì)雞的增肥作用是否相同。為此，把飼料稱為因子，記為A，三種不同的配方稱為因子A的三個(gè)水平，記為A1,A2,A3，使用配方Ai下第j只雞60天后的重量用yij表示，i=1,2,3,j=1,2,,10。我們的目的是比較三種飼料配方下雞的平均重量是否相等，為此，需要做一些基本假定，把所研究的問題歸結(jié)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題，然后用方差分析的方法進(jìn)行解決。

第五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.1.2

單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型

在例8.1.1中我們只考察了一個(gè)因子，稱其為單因子試驗(yàn)。

通常，在單因子試驗(yàn)中，記因子為A,設(shè)其有r個(gè)水平，記為A1,A2,…,Ar，在每一水平下考察的指標(biāo)可以看成一個(gè)總體，現(xiàn)有r個(gè)水平，故有r個(gè)總體，

假定：第六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六每一總體均為正態(tài)總體，記為N(i,

i2)，i＝1,2,…,r；各總體的方差相同:1

2=22=…=

r2=

2

；從每一總體中抽取的樣本是相互獨(dú)立的，即所有的試驗(yàn)結(jié)果yij都相互獨(dú)立。

第七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六我們要比較各水平下的均值是否相同,

即要對(duì)如下的一個(gè)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn):H0

：1

=2=…=r

（8.1.1）備擇假設(shè)為H1

：1,2,…,r

不全相等在不會(huì)引起誤解的情況下，H1通?？墒÷圆粚?。如果H0成立，因子A的r個(gè)水平均值相同，稱因子A的r個(gè)水平間沒有顯著差異，簡(jiǎn)稱因子A不顯著；反之，當(dāng)H0不成立時(shí)，因子A的r個(gè)水平均值不全相同，這時(shí)稱因子A的不同水平間有顯著差異，簡(jiǎn)稱因子A顯著。

第八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六為對(duì)假設(shè)（8.1.1）進(jìn)行檢驗(yàn)，需要從每一水平下的總體抽取樣本，設(shè)從第i個(gè)水平下的總體獲得m個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，記yij表示第i個(gè)總體的第j次重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果。共得如下n=rm個(gè)試驗(yàn)結(jié)果：yij，

i＝1,2,…,r，j＝1,2,…,m,

其中r為水平數(shù)，m為重復(fù)數(shù)，i為水平編號(hào)，

j為重復(fù)編號(hào)。

第九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

在水平Ai下的試驗(yàn)結(jié)果yij與該水平下的指標(biāo)均值i一般總是有差距的，記ij=yiji，

ij稱為隨機(jī)誤差。于是有

yij=

i+ij

（8.1.2）（8.1.2）式稱為試驗(yàn)結(jié)果yij的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式。

第十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型：（8.1.3）

總均值與效應(yīng):

稱諸i的平均為總均值.

稱第i水平下的均值i與總均值

的差:

ai=i-為Ai的效應(yīng)。

第十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六模型（8.1.3）可以改寫為

(8.1.8)

假設(shè)（8.1.1）可改寫為

H0

：a1

=a2=…=ar=0（8.1.9）

第十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.1.3

平方和分解

一、試驗(yàn)數(shù)據(jù)通常在單因子方差分析中可將試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成如下頁(yè)表格形式。表8.1.2中的最后二列的和與平均的含義如下：第十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六表8.1.2

單因子方差分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)

因子水平

試驗(yàn)數(shù)據(jù)

和

平均

A1y11

y12

…y1mT1A2y21

y22

…y2mT2┆┆┆┆Aryr1

yr2

…yrmTrT第十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)據(jù)間是有差異的。數(shù)據(jù)yij與總平均間的偏差可用yij

表示，它可分解為二個(gè)偏差之和（8.1.10）記二、組內(nèi)偏差與組間偏差第十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于（8.1.11）所以yij-僅反映組內(nèi)數(shù)據(jù)與組內(nèi)平均的隨機(jī)誤差，稱為組內(nèi)偏差；而（8.1.12）除了反映隨機(jī)誤差外，還反映了第i個(gè)水平的效應(yīng)，稱為組間偏差。第十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把k個(gè)數(shù)據(jù)y1,y2,…,yk分別對(duì)其均值=(y1+…+yk)/k的偏差平方和稱為k個(gè)數(shù)據(jù)的偏差平方和，它常用來度量若干個(gè)數(shù)據(jù)分散的程度。三、偏差平方和及其自由度第十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六在構(gòu)成偏差平方和Q的k個(gè)偏差y1

,…,yk

間有一個(gè)恒等式，這說明在Q中獨(dú)立的偏差只有k1個(gè)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中把平方和中獨(dú)立偏差個(gè)數(shù)稱為該平方和的自由度，常記為f，如Q的自由度為fQ=k1。自由度是偏差平方和的一個(gè)重要參數(shù)。

第十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六各yij間總的差異大小可用總偏差平方和

表示，其自由度為fT=n1；四、總平方和分解公式僅由隨機(jī)誤差引起的數(shù)據(jù)間的差異可以用組內(nèi)偏差平方和表示，也稱為誤差偏差平方和，其自由度為fe=nr；第十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于組間差異除了隨機(jī)誤差外，還反映了效應(yīng)間的差異，故由效應(yīng)不同引起的數(shù)據(jù)差異可用組間偏差平方和表示，也稱為因子A的偏差平方和，其自由度為fA=r1；

第二十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.1.1

在上述符號(hào)下，總平方和ST可以分解為因子平方和SA與誤差平方和Se之和，其自由度也有相應(yīng)分解公式，具體為：

ST=SA+Se,fT=fA+fe

（8.1.16）（8.1.16）式通常稱為總平方和分解式。

第二十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

偏差平方和Q的大小與自由度有關(guān)，為了便于在偏差平方和間進(jìn)行比較，統(tǒng)計(jì)上引入了均方和的概念，它定義為MS=Q/fQ

，其意為平均每個(gè)自由度上有多少平方和，它比較好地度量了一組數(shù)據(jù)的離散程度。如今要對(duì)因子平方和SA與誤差平方和Se之間進(jìn)行比較，用其均方和MSA=SA

/fA

，MSe=Se

/fe進(jìn)行比較更為合理，故可用作為檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量。8.1.4檢驗(yàn)方法第二十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.1.2

在單因子方差分析模型(8.1.8)及前述符號(hào)下，有

(1)Se/

2~

2(nr)，從而E(Se)

＝(nr)

2

，進(jìn)一步，若H0成立，則有SA/

2~

2(r1)(2)SA與Se獨(dú)立。

第二十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由定理8.1.2，若H0成立，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F服從自由度為fA和fe的F分布，因此拒絕域?yàn)閃={FF1(fA,fe)}，通常將上述計(jì)算過程列成一張表格，稱為方差分析表。表8.1.3

單因子方差分析表來源平方和自由度均方和F比因子SAfA=r1MSA=SA/fAF＝MSA/MSe誤差Sefe=nrMSe=Se/fe總和STfT=n1第二十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)給定的，可作如下判斷：若F

F1(fA,fe)，則說明因子A不顯著。該檢驗(yàn)的p值也可利用統(tǒng)計(jì)軟件求出，若以Y記服從F(fA,fe)的隨機(jī)變量，則檢驗(yàn)的

p值為p=P(YF)。如果F>F1(fA,fe)，則認(rèn)為因子A顯著；第二十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六常用的各偏差平方和的計(jì)算公式如下：

（8.1.19）

一般可將計(jì)算過程列表進(jìn)行。

第二十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8.1.2采用例8.1.1的數(shù)據(jù)，將原始數(shù)據(jù)減去1000，列表給出計(jì)算過程：表8.1.4例8.1.2的計(jì)算表水平數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)-1000）TiTi2A17396012129281943763610024A210792-101099074122158534222560355A3932980212232294835412531620984113350517791363第二十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六利用(8.1.19)，可算得各偏差平方和為：把上述諸平方和及其自由度填入方差分析表第二十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六表8.1.5例8.1.2的方差分析表

來源平方和自由度均方和F比因子9660.083324830.04173.5948

誤差28215.9584211343.6171總和37876.041723若取=0.05，則F0.95

(2

,21)=3.47，由于F=3.5948>3.47，故認(rèn)為因子A（飼料）是顯著的，即三種飼料對(duì)雞的增肥作用有明顯的差別。

第二十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.1.5參數(shù)估計(jì)

在檢驗(yàn)結(jié)果為顯著時(shí)，我們可進(jìn)一步求出總均值、各主效應(yīng)ai和誤差方差2的估計(jì)。

第三十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、點(diǎn)估計(jì)由模型(8.1.8)知諸yij相互獨(dú)立，且yij~N(+ai,2)，因此，可使用極大似然方法求出一般平均、各主效應(yīng)ai和誤差方差2的估計(jì):由極大似然估計(jì)的不變性，各水平均值i的極大似然估計(jì)為，由于不是2的無偏估計(jì)，可修偏：

第三十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于，可給出Ai的水平均值i的1-的置信區(qū)間為

其中。

二、置信區(qū)間第三十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8.1.3

繼續(xù)例8.1.2，此處我們給出諸水平均值的估計(jì)。因子A的三個(gè)水平均值的估計(jì)分別為從點(diǎn)估計(jì)來看，水平2（以槐樹粉為主的飼料）是最優(yōu)的。

第三十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六誤差方差的無偏估計(jì)為利用(8.1.23)可以給出諸水平均值的置信區(qū)間。此處，,若取＝0.05

，則t1-

/2(fe)=t0.95(21

)=2.0796，

,于是三個(gè)水平均值的0.95置信區(qū)間分別為第三十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六在單因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析中可得到如下三個(gè)結(jié)果：

因子是否顯著；

試驗(yàn)的誤差方差2的估計(jì)；

諸水平均值i的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。

在因子A顯著時(shí)，通常只需對(duì)較優(yōu)的水平均值作參數(shù)估計(jì)，在因子A不顯著場(chǎng)合，參數(shù)估計(jì)無需進(jìn)行。第三十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.1.6重復(fù)數(shù)不等情形單因子方差分析并不要求每個(gè)水平下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)全相等，在重復(fù)數(shù)不等場(chǎng)合的方差分析與重復(fù)數(shù)相等情況下的方差分析極為相似，只在幾處略有差別。

數(shù)據(jù)：設(shè)從第i個(gè)水平下的總體獲得mi個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，記為yi1

,yi2…,yim，i=1,2,…r，統(tǒng)計(jì)模型為：

（8.1.24）

第三十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六總均值：諸i的加權(quán)平均（所有試驗(yàn)結(jié)果的均值的平均）（8.1.25）稱為總均值或一般平均。

效應(yīng)約束條件：

各平方和的計(jì)算：SA的計(jì)算公式略有不同

第三十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8.1.4

某食品公司對(duì)一種食品設(shè)計(jì)了四種新包裝。為考察哪種包裝最受顧客歡迎，選了10個(gè)地段繁華程度相似、規(guī)模相近的商店做試驗(yàn)，其中二種包裝各指定兩個(gè)商店銷售，另二個(gè)包裝各指定三個(gè)商店銷售。在試驗(yàn)期內(nèi)各店貨架排放的位置、空間都相同，營(yíng)業(yè)員的促銷方法也基本相同，經(jīng)過一段時(shí)間，記錄其銷售量數(shù)據(jù)，列于表8.1.6左半邊，其相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果列于右側(cè)。

第三十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六表8.1.6銷售量數(shù)據(jù)及計(jì)算表

包裝類型

銷售量

miTiTi2/miA11218230450468A2141213339507509A319172135710831091A4243025414581476和n=10T=180第三十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由此可求得各類偏差平方和如下

方差分析表如表8.1.8所示

.若?。?.01，查表得F0.01(3,6)=9.78，由于F=11.22>9.78，故我們可認(rèn)為各水平間有顯著差異。

第四十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六表8.1.7例8.1.4的方差分析表

來源平方和自由度均方和F比因子A25838611.22誤差e4667.67總和T3049第四十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于因子顯著，我們還可以給出諸水平均值的估計(jì)。因子A的四個(gè)水平均值的估計(jì)分別為由此可見，第四種包裝方式效果最好。誤差方差的無偏估計(jì)為第四十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六進(jìn)一步，利用(8.1.23)也可以給出諸水平均值的置信區(qū)間，只是在這里要用不同的mi代替那里相同的m.

，若?。?.05，則t1-/2(fe)=t0.95(6)=2.4469，，于是效果較好的第三和第四個(gè)水平均值的0.95置信區(qū)間分別為

第四十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六§8.2

多重比較

8.2.1效應(yīng)差的置信區(qū)間如果方差分析的結(jié)果因子A顯著，則等于說有充分理由認(rèn)為因子A各水平的效應(yīng)不全相同，但這并不是說它們中一定沒有相同的。就指定的一對(duì)水平Ai與Aj，我們可通過求i-j的區(qū)間估計(jì)來進(jìn)行比較。

第四十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于，故由此給出i-j的置信水平為1-的置信區(qū)間為

(8.2.1)其中是2的無偏估計(jì)。這里的置信區(qū)間與第六章中的兩樣本的t區(qū)間基本一致，區(qū)別在于這里2的估計(jì)使用了全部樣本而不僅僅是兩個(gè)水平Ai,Aj下的觀測(cè)值。第四十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8.2.1

繼續(xù)例8.1.2，，fe=21，?。?.05

，則t1-/2(fe)=t0.975(21)=2.0796，于是可算出各個(gè)置信區(qū)間為

可見第一個(gè)區(qū)間在0的左邊，所以我們可以概率95%斷言認(rèn)為1

小于2，其它二個(gè)區(qū)間包含0點(diǎn)，雖然從點(diǎn)估計(jì)角度看水平均值估計(jì)有差別，但這種差異在0.05水平上是不顯著的。

第四十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.2.2多重比較問題對(duì)每一組(i,j)，(8.2.1)給出的區(qū)間的置信水平都是1

，但對(duì)多個(gè)這樣的區(qū)間，要求其同時(shí)成立，其聯(lián)合置信水平就不再是1了。

第四十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

譬如，設(shè)E1,…,Ek是k個(gè)隨機(jī)事件，且有

P(Ei)=1，i=1,…,k

，則其同時(shí)發(fā)生的概率這說明它們同時(shí)發(fā)生的概率可能比1小很多。為了使它們同時(shí)發(fā)生的概率不低于1，一個(gè)辦法是把每個(gè)事件發(fā)生的概率提高到1/k.這將導(dǎo)致每個(gè)置信區(qū)間過長(zhǎng)，聯(lián)合置信區(qū)間的精度很差，一般人們不采用這種方法。

第四十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六在方差分析中，如果經(jīng)過F檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)，表明因子A是顯著的，即r個(gè)水平對(duì)應(yīng)的水平均值不全相等，此時(shí)，我們還需要進(jìn)一步確認(rèn)哪些水平均值間是確有差異的，哪些水平均值間無顯著差異。同時(shí)比較任意兩個(gè)水平均值間有無明顯差異的問題稱為多重比較，多重比較即要以顯著性水平同時(shí)檢驗(yàn)如下r(r1)/2個(gè)假設(shè)：（8.2.2）

第四十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六直觀地看，當(dāng)H0ij成立時(shí)，不應(yīng)過大，因此，關(guān)于假設(shè)(8.2.2)的拒絕域應(yīng)有如下形式諸臨界值應(yīng)在（8.2.2）成立時(shí)由P(W)=確定。下面分重復(fù)數(shù)相等和不等分別介紹臨界值的確定。

第五十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

8.2.3重復(fù)數(shù)相等場(chǎng)合的T法

在重復(fù)數(shù)相等時(shí)，由對(duì)稱性自然可以要求諸cij相等，記為c.記，則由給定條件不難有

第五十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六于是當(dāng)(8.2.2)成立時(shí)，1==r=，可推出其中，稱為t化極差統(tǒng)計(jì)量，其分布可由隨機(jī)模擬方法得到。于是,其中q1(r,fe)表示q(r,fe)的1分位數(shù)，其值在附表8中給出。第五十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

重復(fù)數(shù)相同時(shí)多重比較可總結(jié)如下：對(duì)給定的的顯著性水平，查多重比較的分位數(shù)q(r,fe)表，計(jì)算，比較諸與c的大小，若則認(rèn)為水平Ai與水平Aj間有顯著差異，反之，則認(rèn)為水平Ai與水平Aj間無明顯差別。這一方法最早由Turkey提出，因此稱為T法。

第五十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例8.2.2

繼續(xù)例8.1.2，若取

=0.05，則查表知q1-0.05(3,21)=3.57，而。所以，認(rèn)為1與2有顯著差別，認(rèn)為1與3無顯著差別，認(rèn)為2與3有顯著差別這說明：1與3之間無顯著差別，而它們與2之間都有顯著差異。第五十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.2.4重復(fù)數(shù)不等場(chǎng)合的S法在重復(fù)數(shù)不等時(shí)，若假設(shè)(8.2.2)成立，則或從而可以要求，在此要求下可推出第五十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六可以證明，從而亦即第五十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例8.2.3

在例8.1.4中，我們指出包裝方式對(duì)食品銷量有明顯的影響，此處r=4,fe=6,

，若取

=0.05，則F0.95(3,6)=4.76。注意到m1=m4=2，m2=m3=3，故第五十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于這說明A1,A2,

A3間無顯著差異，A1,A2與A4有顯著差異，但A4與A3的差異卻尚未達(dá)到顯著水平。綜合上述，包裝A4銷售量最佳。

第五十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六§8.3方差齊性檢驗(yàn)

在進(jìn)行方差分析時(shí)要求r個(gè)方差相等，這稱為方差齊性。理論研究表明，當(dāng)正態(tài)性假定不滿足時(shí)對(duì)F檢驗(yàn)影響較小,即F檢驗(yàn)對(duì)正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性，而F檢驗(yàn)對(duì)方差齊性的偏離較為敏感。所以r個(gè)方差的齊性檢驗(yàn)就顯得十分必要。所謂方差齊性檢驗(yàn)是對(duì)如下一對(duì)假設(shè)作出檢驗(yàn)：（8.3.1）

第五十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六很多統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了一些很好的檢驗(yàn)方法，這里介紹幾個(gè)最常用的檢驗(yàn)，它們是：Hartley檢驗(yàn)，僅適用于樣本量相等的場(chǎng)合；Bartlett檢驗(yàn)，可用于樣本量相等或不等的場(chǎng)合，但是每個(gè)樣本量不得低于5；

修正的Bartlett檢驗(yàn)，在樣本量較小或較大、相等或不等場(chǎng)合均可使用。

第六十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.3.1Hartley檢驗(yàn)

當(dāng)各水平下試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)相等時(shí)，即m1=m2==mr=m,Hartley提出檢驗(yàn)方差相等的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：（8.3.2）

這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布無明顯的表達(dá)式，但在諸方差相等條件下，可通過隨機(jī)模擬方法獲得H分布的分位數(shù)，該分布依賴于水平數(shù)r

和樣本方差的自由度f=m1，因此該分布可記為H(r，f)，其分位數(shù)表列于附表10上。

第六十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六直觀上看，當(dāng)H0成立，即諸方差相等（12=22==r2）時(shí)，H的值應(yīng)接近于1，當(dāng)H的值較大時(shí)，諸方差間的差異就大，H愈大，諸方差間的差異就愈大，這時(shí)應(yīng)拒絕(8.3.1)中的H0。由此可知，對(duì)給定的顯著性水平，檢驗(yàn)H0的拒絕域?yàn)?/p>

W={H>H1(r,f)}

（8.3.3）其中H1(r,f)為H分布的1分位數(shù)。

第六十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例8.3.1

有四種不同牌號(hào)的鐵銹防護(hù)劑（簡(jiǎn)稱防銹劑），現(xiàn)要比較其防銹能力。數(shù)據(jù)見表8.3.1。這是一個(gè)重復(fù)次數(shù)相等的單因子試驗(yàn)。我們考慮用方差分析方法對(duì)之進(jìn)行比較分析，為此，首先要進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)。第六十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

本例中，四個(gè)樣本方差可由表8.3.1中諸Qi求出，即由此可得統(tǒng)計(jì)量H的值

在

=0.05時(shí)，由附表10查得H0.95(4,9)=6.31，由于H<6.31，所以應(yīng)該保留原假設(shè)H0，即認(rèn)為四個(gè)總體方差間無顯著差異。

第六十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.3.2Bartlett檢驗(yàn)

在單因子方差分析中有r個(gè)樣本，設(shè)第i個(gè)樣本方差為：由于幾何平均數(shù)總不會(huì)超過算術(shù)平均數(shù)，故有GMSe≤MSe

,其中

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)諸si2彼此相等，若諸si2間的差異愈大，則此兩個(gè)平均值相差也愈大。

第六十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由此可見，在比值GMSe/MSe較大時(shí)，就意味著諸樣本方差差異較大，從而檢驗(yàn)（8.3.1）表示的一對(duì)假設(shè)的拒絕域應(yīng)是

W={lnGMSe/MSe>>d}（8.3.4）

Bartlett證明了，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?/p>

W={B>1-2(r-1)}（8.3.8）考慮到這里2分布是近似分布，在諸樣本量mi均不小于5時(shí)使用上述檢驗(yàn)是適當(dāng)?shù)摹?/p>

第六十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8.3.2

為研究各產(chǎn)地的綠茶的葉酸含量是否有顯著差異，特選四個(gè)產(chǎn)地綠茶，其中A1制作了7個(gè)樣品，A2制作了5個(gè)樣品，A3與A4各制作了6個(gè)樣品，共有24個(gè)樣品，按隨機(jī)次序測(cè)試其葉酸含量，測(cè)試結(jié)果如表8.3.3所示。

第六十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六為能進(jìn)行方差分析，首先要進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，從表8.3.3中數(shù)據(jù)可求得s12=2.14,s22=2.83,s32=2.41,s42=1.12，再?gòu)谋?.3.4上查得MSe=2.09，由(8.3.6)，可求得

再由(8.3.7)，還可求得Bartlett檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值對(duì)給定的顯著性水平

=0.05，查表知0.952(41)=7.815。由于B<7.815，故應(yīng)保留原假設(shè)H0，即可認(rèn)為諸水平下的方差間無顯著差異。

第六十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.3.3修正的Bartlett檢驗(yàn)

針對(duì)樣本量低于5時(shí)不能使用Bartlett檢驗(yàn)的缺點(diǎn)，Box提出修正的Bartlett檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

（8.3.9）其中B與C如（8.3.7）與（8.3.6）所示，且第六十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六在原假設(shè)H0：12=22==r2成立下，Box還證明了統(tǒng)計(jì)量的近似分布是F分布F(f1,f2)，對(duì)給定的顯著性水平，該檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋?.3.10）其中f2的值可能不是整數(shù)，這時(shí)可通過對(duì)F分布的分位數(shù)表施行內(nèi)插法得到分位數(shù)。

第七十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8.3.3

對(duì)例8.3.2中的綠茶葉酸含量的數(shù)據(jù)，我們用修正的Bartlett檢驗(yàn)再一次對(duì)等方差性作出檢驗(yàn)。在例8.3.2中已求得：C=1.0856，B=0.970，還可求得：

對(duì)給定的顯著性水平

=0.05，在F分布的分位數(shù)表上可查得F0.95(3,682.4)=F0.95(3,)=2.60

由于<2.60，故保留原假設(shè)H0，即認(rèn)為四個(gè)水平下的方差間無顯著差異。

第七十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六§8.4

一元線性回歸

8.4.1變量間的兩類關(guān)系十九世紀(jì)，英國(guó)生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓研究發(fā)現(xiàn)：其中x表示父親身高，

y

表示成年兒子的身高（單位：英寸，1英寸=2.54厘米）。這表明子代的平均高度有向中心回歸的意思，使得一段時(shí)間內(nèi)人的身高相對(duì)穩(wěn)定。之后回歸分析的思想滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的其它分支中。

第七十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六回歸分析便是研究變量間相關(guān)關(guān)系的一門學(xué)科。它通過對(duì)客觀事物中變量的大量觀察或試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)，去尋找隱藏在數(shù)據(jù)背后的相關(guān)關(guān)系，給出它們的表達(dá)形式——回歸函數(shù)的估計(jì)。變量間的相關(guān)關(guān)系不能用完全確切的函數(shù)形式表示，但在平均意義下有一定的定量關(guān)系表達(dá)式，尋找這種定量關(guān)系表達(dá)式就是回歸分析的主要任務(wù)?；貧w分析處理的是變量與變量間的關(guān)系。變量間常見的關(guān)系有兩類：確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系。第七十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

8.4.2一元線性回歸模型設(shè)y與x間有相關(guān)關(guān)系，稱x為自變量(預(yù)報(bào)變量)，y為因變量(響應(yīng)變量)，在知道x取值后，y有一個(gè)分布p(yx)，我們關(guān)心的是y的均值E(Yx)：

(8.4.1)

這便是y關(guān)于x的理論回歸函數(shù)——條件期望，也就是我們要尋找的相關(guān)關(guān)系的表達(dá)式。通常，相關(guān)關(guān)系可用下式表示

y=f(x)+

其中是隨機(jī)誤差，一般假設(shè)

~N(0,

2)。

第七十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例8.4.1

合金的強(qiáng)度y(×107Pa)與合金中碳的含量x(%)有關(guān)。為研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系。首先是收集數(shù)據(jù)，我們把收集到的數(shù)據(jù)記為(xi,yi),i=1,2,,n。本例中，我們收集到12組數(shù)據(jù)，列于表8.4.1中

進(jìn)行回歸分析首先是回歸函數(shù)形式的選擇。當(dāng)只有一個(gè)自變量時(shí)，通常可采用畫散點(diǎn)圖的方法進(jìn)行選擇。第七十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六表8.4.1合金鋼強(qiáng)度y與碳含量x的數(shù)據(jù)

序號(hào)x(%)y(×107Pa)序號(hào)x(%)y(×107Pa)10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.060.1547.5120.2360.0第七十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六為找出兩個(gè)量間存在的回歸函數(shù)的形式，可以畫一張圖：把每一對(duì)數(shù)(xi,yi)看成直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，在圖上畫出n個(gè)點(diǎn)，稱這張圖為散點(diǎn)圖，見圖8.4.1

第七十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六從散點(diǎn)圖我們發(fā)現(xiàn)12個(gè)點(diǎn)基本在一條直線附近，這說明兩個(gè)變量之間有一個(gè)線性相關(guān)關(guān)系，這個(gè)相關(guān)關(guān)系可以表示為

y=0+1x+(8.4.2)

這便是y關(guān)于x的一元線性回歸的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式。通常假定

E()=0,Var()=

2(8.4.3)

在對(duì)未知參數(shù)作區(qū)間估計(jì)或假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，還需要假定誤差服從正態(tài)分布，即

y~N(0+1x,

2)(8.4.4)

顯然，假定(8.4.4)比(8.4.3)要強(qiáng)。

第七十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于0,1均未知，需要我們從收集到的數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,…,n，出發(fā)進(jìn)行估計(jì)。在收集數(shù)據(jù)時(shí)，我們一般要求觀察獨(dú)立地進(jìn)行，即假定y1,y2,,yn,相互獨(dú)立。綜合上述諸項(xiàng)假定，我們可以給出最簡(jiǎn)單、常用的一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型：

(8.4.5)

第七十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,…,n，可以獲得0,1的估計(jì)，稱

(8.4.6)

為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)，簡(jiǎn)稱為回歸方程，其圖形稱為回歸直線。給定x=x0后，稱為回歸值（在不同場(chǎng)合也稱其為擬合值、預(yù)測(cè)值）。

第八十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.4.3回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)

一般采用最小二乘方法估計(jì)模型(8.4.5)中的0,1

：令：

應(yīng)該滿足

稱這樣得到的稱為0,1的最小二乘估計(jì)，記為L(zhǎng)SE。

第八十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六最小二乘估計(jì)可以通過求偏導(dǎo)數(shù)并命其為0而得到：

(8.4.7)

這組方程稱為正規(guī)方程組，經(jīng)過整理，可得

(8.4.8)

第八十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六解(8.4.8)可得（8.4.9）這就是參數(shù)的最小二乘估計(jì)，其中

第八十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六表8.4.2例8.4.2的計(jì)算表

xi=1.90n=12yi=590.5xi2=0.3194xiyi=95.9250yi2=29392.75lxx=0.0186lxy=2.4292lyy=335.2292由此給出回歸方程為:

例8.4.2

使用例8.4.1種合金鋼強(qiáng)度和碳含量數(shù)據(jù)，我們可求得回歸方程，見下表.

第八十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

定理8.4.1

在模型(8.4.5)下，有（1）（2）（3）對(duì)給定的x0，關(guān)于最小二乘估計(jì)的一些性質(zhì)羅列在如下定理之中

第八十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.4.1說明

分別是0,1的無偏估計(jì)；

是E(y0)=0+1x0的無偏估計(jì)；

除外，與是相關(guān)的；

要提高的估計(jì)精度（即降低它們的方差）就要求n大，lxx大（即要求x1,x2,,xn較分散）。

第八十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六8.4.4回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

在使用回歸方程作進(jìn)一步的分析以前，首先應(yīng)對(duì)回歸方程是否有意義進(jìn)行判斷。如果1=0，那么不管x如何變化，E(y)不隨x的變化作線性變化，那么這時(shí)求得的一元線性回歸方程就沒有意義，稱回歸方程不顯著。如果10，E(y)隨x的變化作線性變化，稱回歸方程是顯著的。綜上，對(duì)回歸方程是否有意義作判斷就是要作如下的顯著性檢驗(yàn)：H0：1=0vsH1：10

拒絕H0表示回歸方程是顯著的。第八十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、F檢驗(yàn)采用方差分析的思想，我們從數(shù)據(jù)出發(fā)研究各yi不同的原因。數(shù)據(jù)總的波動(dòng)用總偏差平方和表示。引起各yi不同的原因主要有兩個(gè)因素：其一是H0可能不真，E(y)隨x的變化而變化，從而在每一個(gè)x的觀測(cè)值處的回歸值不同，其波動(dòng)用回歸平方和表示；其二是其它一切因素，包括隨機(jī)誤差、x對(duì)E(y)的非線性影響等，這可用殘差平方和表示。且有如下平方和分解式：

ST=SR+Se(8.4.13)

在一元線性回歸中有三種等價(jià)的檢驗(yàn)方法，下面分別加以介紹。第八十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.4.2

設(shè)yi=i+1

xi

+

i，其中in相互獨(dú)立，且Ei=0，Var(yi)=

2，i=1,,n，沿用上面的記號(hào)，有

(8.4.14)(8.4.15)

這說明是

2的無偏估計(jì)。

關(guān)于SR

和

Se所含有的成分可由如下定理說明。

第八十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六進(jìn)一步，有關(guān)SR

和

Se的分布，有如下定理。

定理8.4.3

設(shè)y1,y2,,yn相互獨(dú)立，且

yi～N(i+1

xi

,

2)，i=1,,n，則在上述記號(hào)下，有（1）Se/

2~2(n2)，（2）若H0成立，則有SR/

2~2(1)

（3）SR與Se

，獨(dú)立（或與Se

，獨(dú)立）。

第九十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六如同方差分析那樣，我們可以考慮采用F比作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

在1

=0時(shí)，F(xiàn)~F(1,n2)，其中fR=1,fe=n2.

對(duì)于給定的顯著性水平，拒絕域?yàn)?/p>

FF1-(1,n2)

整個(gè)檢驗(yàn)也可列成一張方差分析表。

第九十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六來源平方和自由度均方和F比回歸SR=317.2589fA=1MSA=317.2589176.55殘差Se=17.9703fe=10MSe=1.79703總和ST=335.2292fT=11例8.4.3在合金鋼強(qiáng)度的例8.4.2中，我們已求出了回歸方程，這里我們考慮關(guān)于回歸方程的顯著性檢驗(yàn)。經(jīng)計(jì)算有

若取=0.01，則F0.99(1,10)=10<F，因此在顯著性水平0.01下回歸方程是顯著的。

第九十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

二、t檢驗(yàn)對(duì)H0

：1

=0的檢驗(yàn)也可基于t分布進(jìn)行。由于，因此在H0為真時(shí)，有，其中，它可用來檢驗(yàn)假設(shè)H0。對(duì)給定的顯著性水平，拒絕域?yàn)?

由于，稱為的標(biāo)準(zhǔn)誤，即的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)。

第九十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六注意到t2=F，因此，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)是等同的。以例8.4.2中數(shù)據(jù)為例，可以計(jì)算得到若取

=0.01，則由于13.2872>3.1698，因此，在顯著性水平0.01下回歸方程是顯著的。

第九十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六三、相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)一元線性回歸方程是反映兩個(gè)隨機(jī)變量x與y間的線性相關(guān)關(guān)系，它的顯著性檢驗(yàn)還可通過對(duì)二維總體相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)進(jìn)行。它的一對(duì)假設(shè)是H0：=0vsH1：

0(8.4.18)

所用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為樣本相關(guān)系數(shù)

(8.4.19)

拒絕域?yàn)閃={rc}，其中臨界值c應(yīng)是H0:=0成立下r的分布的1分位數(shù)，故記為c=r1-(n2).

第九十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由樣本相關(guān)系數(shù)的定義可以得到r與F統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系這表明，r是F的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，故可以從F分布的1分位數(shù)F1-(1,n2)得到r的1分位數(shù)為第九十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六譬如，對(duì)

=0.01，n=12，F(xiàn)0.99(1,10)=10.04，于是。為實(shí)際使用方便，人們已對(duì)r1-(n-2)編制了專門的表，見附表9。以例8.4.2中數(shù)據(jù)為例，可以計(jì)算得到若取

=0.01，查附表9知r0.99(10)=0.708,由于0.9728>0.708，因此，在顯著性水平0.01下回歸方程是顯著的。

第九十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

在一元線性回歸場(chǎng)合，三種檢驗(yàn)方法是等價(jià)的：在相同的顯著性水平下，要么都拒絕原假設(shè)，要么都接受原假設(shè)，不會(huì)產(chǎn)生矛盾。

F檢驗(yàn)可以很容易推廣到多元回歸分析場(chǎng)合，而其他二個(gè)則否，所以，F(xiàn)檢驗(yàn)是最常用的關(guān)于回歸方程顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)方法。第九十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

8.4.5估計(jì)與預(yù)測(cè)當(dāng)回歸方程經(jīng)過檢驗(yàn)是顯著的后，可用來做估計(jì)和預(yù)測(cè)。這是二個(gè)不同的問題：（1）當(dāng)x=x0時(shí)，尋求均值E(y0)=0+1x0的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)（注意這里E(y0)是常量）是估計(jì)問題；（2）當(dāng)x=x0時(shí)，y0的觀察值在什么范圍內(nèi)？由于y0是隨機(jī)變量，為此只能求一個(gè)區(qū)間，使y0落在這一區(qū)間的概率為1-

，即要求，使稱區(qū)間為y0的概率為1-的預(yù)測(cè)區(qū)間，這是預(yù)測(cè)問題。

第九十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、E(y0)的估計(jì)在x=x0時(shí)，其對(duì)應(yīng)的因變量y0是一個(gè)隨機(jī)變量，有一個(gè)分布，我們經(jīng)常需要對(duì)該分布的均值給出估計(jì)。由于E(y0)=0+1x0，一個(gè)直觀的估計(jì)應(yīng)為我們習(xí)慣上將上述估計(jì)記為（注意這里表示的是E(y0)的估計(jì)，而不表示y0的估計(jì)，因?yàn)閥0是隨機(jī)變量，它是沒有估計(jì)的）。由于分別是0,1的無偏估計(jì)，因此，也是E(y0)的無偏估計(jì)。

第一百頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六為得到E(y0)的區(qū)間估計(jì)，我們需要知道的分布。由定理8.4.1，又由定理8.4.3知，Se/

2~2(n-2)，且與相互獨(dú)立，故第一百零一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六于是E(y0)的1的置信區(qū)間（CI）是（8.4.20）其中（8.4.21）第一百零二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、y0的預(yù)測(cè)區(qū)間實(shí)用中往往更關(guān)心x=x0時(shí)對(duì)應(yīng)的因變量y0的取值范圍。y0的最可能取值為，于是，我們可以使用以為中心的一個(gè)區(qū)間作為y0的取值范圍。經(jīng)推導(dǎo)，的表達(dá)式為

(8.4.23）上述預(yù)測(cè)區(qū)間（PI）與E(y0)的置信區(qū)間的差別就在于根號(hào)里多個(gè)1。

第一百零三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六預(yù)測(cè)區(qū)間的長(zhǎng)度2與樣本量n、x的偏差平方和lxx、x0到的距離有關(guān)。當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)精度可能變得很差，在這種情況下的預(yù)測(cè)稱作外推，需要特別小心。另外，若x1,x2,,xn較為集中時(shí)，那么lxx就較小，也會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度的降低。因此，在收集數(shù)據(jù)時(shí)要使x1,x2,,xn盡量分散，這對(duì)提高精度有利。當(dāng)n較大時(shí)（如n>30)，

t分布可以用正態(tài)分布近似，進(jìn)一步，若x0與相差不大時(shí)，可以近似取為。

第一百零四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8.4.4

在例8.4.2中，如果x0=0.16，則得預(yù)測(cè)值為若取

=0.05，則t0.975(10)=2.2281，又，應(yīng)用(8.4.21)，

故x0=0.16對(duì)應(yīng)因變量y0的均值E(y0)的0.95置信區(qū)間為(49.4328-1.0480,49.4328+1.0480)=(48.3488,50.5168)第一百零五頁(yè)，共一百一十九