集合常用邏輯用語不等式

專題一集合、常用邏輯用語、不等式、平面向量、復(fù)數(shù)、算法、推理與證明第1講集合、常用邏輯用語考情概述集合是每年高考的必考題,多為選擇題,試題比較簡單;常用邏輯用語是高考命題的熱點,主要分為三個部分:充分必要條件的判斷、含有一個量詞的命題的否定與真假判斷、含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷.考點一集合的概念及運算集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A.(2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.(3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.(4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A.典型例題

答案(1)D

(2)A

(3)D

(4)D

方法歸納解答集合問題的思路先正確理解各個集合的含義,認(rèn)清集合元素的屬性、代表的意義,再根據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法對集合進(jìn)行化簡求解.(1)若給定的集合是不等式的解集,則用數(shù)軸求解;(2)若給定的集合是點集,則用數(shù)形結(jié)合法求解;(3)若給定的集合是抽象集合或是用列舉法表示的集合,則用Venn圖求解.跟蹤集訓(xùn)A.[0,1]B.[-1,2] C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)答案D因為A={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}=[0,2],B={y|-1≤y≤1}=[-1,1],所以A∪B=[-1,2],所以?R(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞).1.(2016河北石家莊模擬)已知集合A={-2,-1,2,3},B={x|-1<x<3},則A∩B=(

)A.(-2,3) B.(-1,3)C.{2} D.{-1,2,3}答案C由交集定義可得A∩B={2},選項C正確.

答案C由題意知A=[0,1],B=(-∞,1),所以A∩B=[0,1).3.設(shè)全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},則圖中陰影部分表示的區(qū)間是(

)考點二命題的真假判斷與否定

1.四種命題的關(guān)系(1)若兩個命題互為逆否命題,則它們同真同假.(2)若兩個命題為互逆命題或互否命題,則它們的真假沒有關(guān)系.2.全(特)稱命題及其否定(1)全稱命題p:?x∈M,p(x),它的否定為?p:?x0∈M,?p(x0).(2)特稱命題p:?x0∈M,p(x0),它的否定為?p:?x∈M,?p(x).3.復(fù)合命題真假的判斷方法命題p∧q,p∨q及?p的真假可以用下表來判斷:pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口訣記憶:p∨q,一真則真,p∧q,一假則假;?p與p的真假相反.典型例題

方法歸納1.命題真假的判斷方法(1)一般命題p的真假由涉及的相關(guān)知識辨別.(2)四種命題真假的判斷:一個命題和它的逆否命題同真假,而與它的其他兩個命題的真假無此規(guī)律.(3)形如p∨q,p∧q,?p命題的真假根據(jù)p,q的真假與邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義判斷.2.全稱命題與特稱命題真假的判斷(1)全稱命題:要判斷一個全稱命題是真命題,必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立,要判斷其為假命題時,只需舉出一個反例即可.(2)特稱命題:要判斷一個特稱命題為真命題,只要在限定集合M中至少能找到一個元素x0,使得p(x0)成立即可;否則,這一特稱命題是假命題.3.常見詞語及否定詞語是都是至少有一個至多有一個大于?x∈A,使p(x)真否定不是不都是一個也沒有至少有兩個小于或等于?x0∈A,使p(x0)假跟蹤集訓(xùn)

3.命題“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是

.

答案?x∈(0,+∞),lnx≠x-1解析“?”改為“?”,“x0”改為“x”,否定結(jié)論,即lnx≠x-1,故該命題的否定為?x∈(0,+∞),lnx≠x-1.考點三充分、必要條件的判斷(高頻考點)1.若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若p?q,則p是q的充要條件;2.充分、必要條件與集合的關(guān)系:設(shè)命題p對應(yīng)集合A,命題q對應(yīng)集合B,則p?q等價于A?B,p?q等價于A=B.

命題點1.以集合、不等式、函數(shù)為背景的充分、必要條件的判斷;2.以平面向量、三角函數(shù)為背景的充分、必要條件的判斷.典型例題

方法歸納1.充分條件與必要條件的三種判斷方法(1)定義法:正、反方向推理.若p?q,則p是q的充分條件(或q是p的必要條件);若p?q且q/?p,則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件);若p?q,則p是q的充要條件.(2)集合法:利用集合間的包含關(guān)系.例如,若A?B,則A是B的充分條件(或B是A的必要條件);若A?B,則A是B的充分不必要條件(或B是A的必要不充分條件);若A=B,則A是B的充要條件.(3)等價法:將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題.2.判斷充分、必要條件時應(yīng)關(guān)注三點

(1)要弄清先后順序:“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;“A是B的充分不必要條件”是指A能推出B,且B不能推出A.(2)要善于舉出反例:當(dāng)從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進(jìn)行時,可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明.(3)要注意轉(zhuǎn)化:?p是?q的必要不充分條件?p是q的充分不必要條件;?p是?q的充要條件?p是q的充要條件.跟蹤集訓(xùn)1.(2016廣東廣州模擬)已知E,F,G,H是空間四點,命題甲:E,F,G,H四點不共面,命題乙:直線EF和GH不相交,則甲是乙成立的(

)A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B若E,F,G,H四點不共面,則直線EF和GH肯定不相交,但直線EF和GH不相交,E,F,G,H四點可以共面,例如EF∥GH.故選B.

答案A

若a<0,b<0,則一定有a+b<0,故選A.

答案①②解析易知①②正確.對于③,若x=-1,則x2=1,充分性不成立,故③錯誤.第2講不等式考情概述高考對不等式的考查主要涉及不等式的解法、基本不等式及其應(yīng)用、線性規(guī)劃等知識點.(1)不等式的解法很少單獨命題,常與二次函數(shù)、集合等知識交匯命題.(2)基本不等式常與函數(shù)或代數(shù)式的最值問題、不等式恒成立問題、實際應(yīng)用問題等交匯命題.(3)線性規(guī)劃常常單獨考查目標(biāo)函數(shù)的最值問題,有時也會與函數(shù)、平面向量、解析幾何等交匯命題,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度中等及以下.考點一不等式的解法

典型例題

答案(1)B

(2)A

方法歸納不等式的求解技巧(1)對于與函數(shù)有關(guān)的不等式,可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(2)求解一元二次不等式的步驟:第一步,二次項系數(shù)化為正數(shù);第二步,解對應(yīng)的一元二次方程;第三步,若有兩個不相等的實根,則利用“大于在兩邊,小于夾中間”得不等式的解集;(3)含參數(shù)的不等式的求解,要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.跟蹤集訓(xùn)

考點二基本不等式

典型例題

方法歸納跟蹤集訓(xùn)1.(2016湖北華師一附中3月聯(lián)考)若2x+4y=4,則x+2y的最大值是

.

2.(2016河南鄭州模擬)已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是

.

考點三線性規(guī)劃問題(高頻考點)

典型例題

方法歸納解決線性規(guī)劃應(yīng)注意的問題(1)首先要找到可行域,再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要準(zhǔn)確,整點問題要驗證解決.(2)畫可行域時應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界.(3)對目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By中B的符號,一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對應(yīng),要結(jié)合圖形分析.跟蹤集訓(xùn)

答案10解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示(包括邊界),x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點與原點的距離的平方,由圖易知平面區(qū)域內(nèi)的點A(3,-1)與原點的距離最大,所以x2+y2的最大值是10.第3講平面向量與復(fù)數(shù)考情概述高考對該部分內(nèi)容的考查主要有以下四個方面:(1)以選擇題的形式考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運算和復(fù)數(shù)的幾何意義,難度較小;(2)平面向量的有關(guān)概念,加、減法的幾何意義,線性表示以及坐標(biāo)運算等;(3)平面向量的數(shù)量積的基本運算及其應(yīng)用,這也是歷年高考命題的熱點;(4)向量的工具性作用,在三角函數(shù)、不等式、解析幾何解答題中用來描述題目的條件和結(jié)論.考點一復(fù)數(shù)

典型例題

方法歸納復(fù)數(shù)問題的解題思路(1)以復(fù)數(shù)的基本概念、幾何意義、相等的條件為基礎(chǔ),結(jié)合四則運算,利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式列方程或方程組解決問題.(2)若與其他知識結(jié)合考查,則要借助其他的相關(guān)知識解決問題.跟蹤集訓(xùn)

考點二平面向量的線性運算

1.在平面向量的化簡或運算中,要根據(jù)平面向量基本定理選好基底,變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化;2.在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”,結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量;在用三角形減法法則時要保證“同起點”,結(jié)果向量的方向是指向被減向量;3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a與b共線?x1y2-x2y1=0.典型例題

方法歸納解決平面向量線性運算應(yīng)關(guān)注兩點(1)對于平面向量的線性運算,要先選擇一組基底;同時注意共線向量定理的靈活運用.(2)運算過程中重視數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系.跟蹤集訓(xùn)1.平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+kc)∥(2b-a),則k=

.

考點三平面向量的數(shù)量積(高頻考點)1.數(shù)量積的定義:a·b=|a||b|cosθ.(θ為向量a,b的夾角)2.兩個非零向量垂直的充要條件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.命題點1.數(shù)量積的運算;2.向量垂直問題;3.模長問題;4.夾角問題.典型例題

方法歸納數(shù)量積的運算技巧(1)涉及數(shù)量積和模的計算問題,通常有兩種求解思路:①直接利用數(shù)量積的定義;②建立坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運算求解.(2)在利用數(shù)量積的定義計算時,要善于將相關(guān)向量分解.跟蹤集訓(xùn)

第4講算法、推理與證明

考情概述本部分內(nèi)容在高考中以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬容易題或中檔題.對程序框圖的考查主要以循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖為載體考查學(xué)生對算法的理解;對合情推理的考查主要以歸納推理為主,考查學(xué)生的觀察、歸納和概括能力.考點一算法(高頻考點)命題點1.根據(jù)程序框圖求解輸出結(jié)果;2.根據(jù)程序框圖填寫或選擇判斷條件.典型例題(1)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的a=4,b=6,那么輸出的n=(

)A.3 B.4 C.5 D.6B解析(1)第一次循環(huán):a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;第二次循環(huán):a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;第三次循環(huán):a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次循環(huán):a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4,此時s=20>16,退出循環(huán),輸出的n=4,故選B.(2)(2016河南六市第一次聯(lián)考)如圖所示的程序框圖,若輸出的S=88,則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是(

)A.k>3? B.k>4? C.k>5? D.k>6?C解析(2)依次運行程序框圖中的語句:k=2,S=2;k=3,S=7;k=4,S=18;k=5,S=41;k=6,S=88,此時跳出循環(huán),故判斷框中應(yīng)填入“k>5?”,故選C.方法歸納解答程序框圖問題的三個關(guān)注點(1)弄清程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu),按指向執(zhí)行直至結(jié)束.(2)關(guān)注輸出的是哪個量,何時結(jié)束.(3)解答循環(huán)結(jié)構(gòu)問題時,要寫出每一次的結(jié)果,防止運行程序不徹底,同時注意區(qū)分計數(shù)變量與循環(huán)變量.跟蹤集訓(xùn)1.(2016江南南昌一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖.若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實數(shù)x的個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案B由x2-1=3得x=-2<1(或x=2>1,舍去),由log2x=3得x=8>1符合要求,所以可輸入的實數(shù)x有2個.2.執(zhí)行如下程序框圖,若輸出的結(jié)果為170,則判斷框內(nèi)應(yīng)補(bǔ)充的條件為(

)A.i>9 B.i≥9

C.i>11 D.i≥11答案B由程序框圖知S=2,i=3;S=10,i=5;S=42,i=7;S=170,i=9,此時跳出循環(huán)。3.閱讀如圖所示的程序框圖,