渦度方程和散度方程

渦度方程和散度方程第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日渦旋運(yùn)動(dòng)位勢(shì)運(yùn)動(dòng)渦度散度渦度方程散度方程大氣原始方程組的變形方程2第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§5.1環(huán)流定理1、速度環(huán)流：指速度場(chǎng)中某一有向閉合曲線上的速度切向分量沿該閉合曲線的線積分。

絕對(duì)環(huán)流隨時(shí)間的變化率稱為絕對(duì)

環(huán)流的加速度。在實(shí)際問(wèn)題中，我們更感興趣的是絕對(duì)環(huán)流隨時(shí)間的變化及造成環(huán)流隨時(shí)間變化的物理過(guò)程和因子。為此，首先要導(dǎo)出絕對(duì)環(huán)流定理。3第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日不考慮摩擦力的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：對(duì)閉合曲線L，取上式環(huán)流積分=0絕對(duì)環(huán)流加速度＝絕對(duì)加速度的環(huán)流(5.1)4第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日(5.1)式等號(hào)右邊第2項(xiàng)為零，因?yàn)椋嚎傻媒^對(duì)環(huán)流定理絕對(duì)環(huán)流的加速度等于封閉曲線L所包含的力管力管項(xiàng)5若力管項(xiàng)為零，則絕對(duì)環(huán)流守恒第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、力管項(xiàng)存在的條件及其物理意義利用Stokes公式，有：其中：若令：則力管項(xiàng)：數(shù)學(xué)推導(dǎo)6斜壓矢量力管項(xiàng)非零的必要條件是大氣的斜壓性第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日斜壓矢量

的模的物理含義：上式表示一個(gè)單位壓容管即力管所占的面積或單位面積上的力管數(shù)。因此N則代表L所圍的力管總數(shù)（代數(shù)和）。

力管項(xiàng)的物理意義除了代表L所圍成的力管總數(shù)（代數(shù)和）外，從力的環(huán)流看，力管項(xiàng)還可表示為氣壓梯度力環(huán)流：7單位壓容（力）管當(dāng)曲線上的氣壓梯度力與路徑走向相同，則環(huán)流加強(qiáng)，反之減弱。第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

大氣的斜壓性是力管項(xiàng)存在的必要條件，也是產(chǎn)生環(huán)流加速度的因素，而大氣的斜壓性是由大氣中非均勻加熱所產(chǎn)生。這一過(guò)程可以用來(lái)解釋海陸風(fēng)環(huán)流和山谷風(fēng)環(huán)流等的形成。下面以海陸風(fēng)為例來(lái)說(shuō)明直接熱力環(huán)流的產(chǎn)生過(guò)程。

8海陸風(fēng)環(huán)流的形成第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日3、相對(duì)環(huán)流定理絕對(duì)速度和相對(duì)速度的關(guān)系為：9絕對(duì)環(huán)流等于相對(duì)環(huán)流和牽連環(huán)流之和對(duì)牽連環(huán)流：第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日可得相對(duì)環(huán)流定理：

上述等式右邊第一項(xiàng)為力管項(xiàng)。第二項(xiàng)稱為慣性項(xiàng)，其本質(zhì)是科氏力的環(huán)流項(xiàng)，因?yàn)椋?0推導(dǎo)？牽連環(huán)流對(duì)相對(duì)環(huán)流的影響可解釋如下：在北半球如果L所包圍的面積在赤道平面上的投影Ae隨時(shí)間增大，則相對(duì)環(huán)流減弱，因?yàn)榄h(huán)線L擴(kuò)大時(shí)，表示環(huán)線上的空氣微團(tuán)有向外的法向速度分量Vn，這樣對(duì)應(yīng)Vn的科氏力與L方向（逆時(shí)針）相反，故科氏力使得L方向的環(huán)流減弱；反之環(huán)線縮小，則法向速度向內(nèi)，科氏力與L方向相同，因此使得L方向環(huán)流增強(qiáng)。第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§5.2渦度方程1自然坐標(biāo)系中的鉛直渦度分量

絕對(duì)速度：

絕對(duì)渦度：又：

故：

相對(duì)渦度：11第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

相對(duì)渦度的物理意義在自然坐標(biāo)系中可反映得更加清楚直觀，為此將鉛直渦度分量

轉(zhuǎn)換為自然坐標(biāo)的表達(dá)形式。取沿流線的自然坐標(biāo)系（圖5.5），則水平風(fēng)矢量為：

則：

取β0的極限情況，則x方向趨于s方向，y方向趨于n方向，渦度垂直分量可表示為：12自然坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系曲率渦度切變渦度第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

規(guī)定在北半球：取氣旋式曲率為正，反氣旋式曲率為負(fù)。曲率渦度和切變渦度的含義：1）曲率渦度：與流線的彎曲形狀有關(guān)。2）切變渦度：與水平風(fēng)速沿流線的法線方向的分布不均勻有關(guān)。

13氣旋式彎曲：rs>0,則；反氣旋彎曲：rs<0,則；急流軸例子第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

對(duì)不同的流型，有時(shí)曲率渦度項(xiàng)較大，有時(shí)切變渦度項(xiàng)較大，因此在不作精確分析時(shí)，可只考慮其中較大的一項(xiàng)。例如，在氣旋或反氣旋中心附近，可只考慮曲率渦度項(xiàng)，而在鋒區(qū)或急流區(qū)則可只考慮切變渦度項(xiàng)。2渦度方程

z坐標(biāo)系的渦度方程的推導(dǎo)思路：利用X和Y方向的水平運(yùn)動(dòng)方程，分別對(duì)y和x求偏導(dǎo)數(shù)，然后后者減前者便可。對(duì)(2)進(jìn)行運(yùn)算，（1）進(jìn)行運(yùn)算，然后兩式相減

12第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日并注意到渦度垂直分量的定義：，得渦度方程：而則渦度方程變?yōu)椋?/p>

第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于f只是y的函數(shù)，故渦度方程可變?yōu)椋簻u度方程各項(xiàng)的含義：1）－－相對(duì)渦度平流變化項(xiàng)。這一項(xiàng)是由于相對(duì)渦度的水平分布不均勻造成的，因平流過(guò)來(lái)不同于某指定地點(diǎn)的相對(duì)渦度而在該點(diǎn)造成的相對(duì)渦度的變化率。2）－－為相對(duì)渦度的垂直平流項(xiàng)。由于渦度垂直分布的不均勻性及垂直運(yùn)動(dòng)造成。

第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日3）－－為地轉(zhuǎn)渦度或牽連渦度的經(jīng)向平流項(xiàng)。該項(xiàng)的正負(fù)取決于經(jīng)向風(fēng)的方向，如果吹南風(fēng)，則有負(fù)的地轉(zhuǎn)渦度平流；如果吹北風(fēng)，則有正的地轉(zhuǎn)渦度平流。4）－－散度項(xiàng)。水平輻合（輻散）會(huì)使絕對(duì)渦度增大（減?。?，這可看作是在守恒的條件下，面積的收縮（擴(kuò)大）而使單位面積上的環(huán)流（渦度）增大（減?。┑木壒省＃≒85）5）－－力管項(xiàng)或斜壓項(xiàng)。該項(xiàng)是由大氣的斜壓性引起的。

因?yàn)椋?/p>

第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日6）－－為扭轉(zhuǎn)項(xiàng)。該項(xiàng)表示由于垂直速度的水平分布不均勻，使得水平渦度向垂直渦度轉(zhuǎn)換，從而引起渦度垂直分量的變化。

以為例：設(shè)速度v分量隨z是增加的，而垂直速度w隨x是減少的，因此有：，，而水平渦度（x）分量則為所以：

，

水平渦管的傾斜導(dǎo)致垂直渦度的產(chǎn)生第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日P坐標(biāo)系下的渦度方程類似z坐標(biāo)系渦度方程的推導(dǎo)，由p坐標(biāo)系的水平運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)的渦度方程如下：

10-10

10-10

10-10

10-10

10-11

10-10

10-11

10-11

其中P坐標(biāo)系的渦度：第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日上述p坐標(biāo)系的渦度方程各項(xiàng)的物理意義可以參考z坐標(biāo)系的渦度方程的各項(xiàng)進(jìn)行類似的討論。注意：1）p坐標(biāo)系的渦度方程不顯含力管項(xiàng)；

2）

對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)，可近似取：

。根據(jù)渦度方程各項(xiàng)量級(jí)，可得p坐標(biāo)系渦度方程的零級(jí)近似為：或：

10-5

10-7

第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§5.3位勢(shì)渦度

（自學(xué)、提問(wèn)）§5.4散度方程一、散度方程：在p坐標(biāo)系下，水平散度為：類似渦度方程的推導(dǎo)，分別對(duì)x、y方向的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行和運(yùn)算，再相加，得水平散度方程：

10-11

10-11

10-12

10-10

10-10

10-11

10-10

10-9

10-9

第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、散度方程的簡(jiǎn)化

對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)，可得散度方程的一級(jí)簡(jiǎn)化形式為：

該方程中不出時(shí)間局地變化項(xiàng)、散度項(xiàng)和垂直運(yùn)動(dòng)項(xiàng)，但出現(xiàn)渦度項(xiàng)，說(shuō)明對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)，不僅是準(zhǔn)定常、準(zhǔn)水平的，而且還是準(zhǔn)水平無(wú)輻散的，主要以渦旋運(yùn)動(dòng)為主。對(duì)于渦旋運(yùn)動(dòng)或水平無(wú)輻散運(yùn)動(dòng)，其水平速度散度為零。定義一個(gè)與水平運(yùn)動(dòng)的流線有關(guān)的流函數(shù)，其與u，v的關(guān)系為：（風(fēng)壓場(chǎng)的平衡關(guān)系）－－稱為平衡方程（非線性）第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日注意到，平衡方程可表示為：通過(guò)上式，由等壓面上重力位勢(shì)的分布即可求出場(chǎng)。如果略去上式式左邊的非線性項(xiàng)，可得線性平衡方程：若進(jìn)一步略去f的變化，則得散度方程的零級(jí)簡(jiǎn)化形式

：并有：

第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、水平風(fēng)場(chǎng)得分解對(duì)于水平無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，由從數(shù)學(xué)上可知，一個(gè)標(biāo)量的梯度的旋度為零，故存在一個(gè)速度勢(shì)函數(shù)，滿足：或者：一般而言，水平速度場(chǎng)既是有旋的也是有散的，故可把風(fēng)速分解為旋轉(zhuǎn)風(fēng)和輻散風(fēng)兩部分：

，

旋轉(zhuǎn)風(fēng)輻散風(fēng)第二十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

渦度方程和散度方程可作為代替原始水平運(yùn)動(dòng)方程的一對(duì)平行方程。理論上，根據(jù)一定的初始條件