2023年湖南省邵陽市新寧縣中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2023年湖南省邵陽市新寧縣中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．在﹣1，，0，﹣3這四個數(shù)中，比﹣2小的是（）A．﹣1 B． C．0 D．﹣32．在下列運算中，正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6 C．（a3）4＝a7 D．a(chǎn)4÷a3＝a3．已知某種新型感冒病毒的直徑為0.000000823米，將0.000000823用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×1074．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，則cosB的值是（）A． B． C． D．6．若y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的另一個解為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．17．若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．k＞0 B．b＝2 C．y隨x的增大而增大 D．x＝3時，y＝08．我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？如果設(shè)木條長x尺，繩子長y尺，那么可列方程組為（）A． B． C． D．9．如圖，若一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象可能是（）A． B． C． D．10．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接EN、EF，有以下結(jié)論：①AN＝EN②當AE＝AF時，＝2﹣③BE+DF＝EF④存在點E、F，使得NF＞DF其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．12．如圖，直線a∥b，將含有45°角的三角形板ABC的直角頂點C放在直線b上，若∠1＝27°，則∠2的度數(shù)為．13．在平面直角坐標系中，拋物線y＝（m+2）x2﹣3x+m開口向下，那么m的取值范圍是．14．已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一個根，那么該方程的另一個根是．15．如圖，已知⊙O的直徑AB為10，弦CD＝8，CD⊥AB于點E，則sin∠OCE的值為．16．如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成兩部分，S△ADE：S四邊形BDEC＝4：5，則的值是．17．如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k＝．18．如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的點F處，若DE＝5，AB＝8，則S△ABF：S△FCE＝．三、解答題（共8小題，滿分0分）19．計算：2sin60°++|﹣5|﹣（﹣2023）0．20．先化簡÷+，然后從0，1，2，3中選一個合適的a值代入求解．21．為了解某地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時長的情況，隨機抽取部分中學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，將閱讀時長分為四類：2小時以內(nèi)，2～4小時（含2小時），4～6小時（含4小時），6小時及以上，并繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計圖．（1）本次調(diào)查共隨機抽取了名中學(xué)生，其中課外閱讀時長“2～4小時”的有人；（2）扇形統(tǒng)計圖中，課外閱讀時長“4～6小時”對應(yīng)的圓心角度數(shù)為°；（3）若該地區(qū)共有20000名中學(xué)生，估計該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時長不少于4小時的人數(shù)．22．為滿足市場需求，某服裝超市在六月初購進一款短袖T恤衫，每件進價是80元；超市規(guī)定每件售價不得少于90元，根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當售價定為90元時，每周可賣出600件，一件T恤衫售價每提高1元，每周要少賣出10件．若設(shè)售價為x（x≥90）元，每周所獲利潤為Q（元），請解答下列問題：（1）每周短袖T恤衫銷量為y（件），則y＝（含x的代數(shù)式表示），并寫出Q與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當售價x定為元時，該服裝超市所獲利潤最大，最大利潤為元；（3）該服裝超市每周想從這款T恤衫銷售中獲利8500元，又想盡量給客戶實惠，該如何給這款T恤衫定價？23．如圖，四邊形ABCD是某水庫大壩的橫截面示意圖，壩高8米，背水坡的坡角為45°，現(xiàn)需要對大壩進行加固，使上底加寬2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后壩底增加的寬度AF的長．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C在⊙O上且＝，連接AC、AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的長．25．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點Q．①證明：在點H的運動過程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當EH的長度為多少時△AQG為等腰三角形？26．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x＝1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

參考答案一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．在﹣1，，0，﹣3這四個數(shù)中，比﹣2小的是（）A．﹣1 B． C．0 D．﹣3【分析】根據(jù)正數(shù)＞0＞負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小比較即可．解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，而，∴，故選：D．【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握有理數(shù)大小比較方法是解答此題的關(guān)鍵．2．在下列運算中，正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6 C．（a3）4＝a7 D．a(chǎn)4÷a3＝a【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘分別進行計算即可．解：A、底數(shù)不變指數(shù)相加，即a3?a4＝a7，故A錯誤；B、積得乘方等于每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（ab2）3＝a3b6，故B錯誤；C、底數(shù)不變指數(shù)相乘，即（a3）4＝a12，故C錯誤；D、底數(shù)不變指數(shù)相減，即a4÷a3＝a，故D正確；故選：D．【點評】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法和冪的乘方、積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各計算法則．3．已知某種新型感冒病毒的直徑為0.000000823米，將0.000000823用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解：0.000000823＝8.23×10﹣7．故選：B．【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．4．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3【分析】分式的分母不等于零．解：依題意得：3﹣x≠0．解得x≠3．故選：D．【點評】考查了分式有意義的條件．分式有意義的條件是分母不等于零．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，則cosB的值是（）A． B． C． D．【分析】如圖，由∠C＝90°，AC＝2BC＝x，根據(jù)勾股定理得AB＝．再根據(jù)余弦值的定義得cosB＝．解：如圖．∵∠C＝90°，AC＝2BC＝x，∴AB＝．∴cosB＝．故選：B．【點評】本題主要考查勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．6．若y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的另一個解為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根據(jù)拋物線的軸對稱性即可求得拋物線與x軸的兩個交點的坐標，這兩個交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c＝0的解．解：∵根據(jù)圖示知，拋物線與x軸的一個交點是（3，0）對稱軸為直線x＝1，∴根據(jù)對稱性，拋物線與x軸的另一交點為（﹣1，0），∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．即方程的另一解為﹣1．故選：B．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，解題時，注意二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與方程ax2+bx+c＝0間的關(guān)系．7．若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．k＞0 B．b＝2 C．y隨x的增大而增大 D．x＝3時，y＝0【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象即可得出結(jié)論．解：觀察一次函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，圖象過第一、二、四象限，∴k＜0，A錯誤；∴函數(shù)值y隨x的增大而減小，C錯誤；∵圖象與y軸的交點為（0，2）∴b＝2，B正確；∵圖象與x軸的交點為（4，0）∴x＝4時，y＝0，D錯誤．故選：B．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？如果設(shè)木條長x尺，繩子長y尺，那么可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．解：∵用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，∴y＝x+4.5；∵將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，∴y＝x﹣1．∴所列方程組為．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．如圖，若一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】直接利用一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出a，b的符號，進而結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得出答案．解：∵一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象可能是：開口方向向下，對稱軸在y軸左側(cè)，故選：B．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)以及二次函數(shù)的圖象，正確確定a，b的符號是解題關(guān)鍵．10．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接EN、EF，有以下結(jié)論：①AN＝EN②當AE＝AF時，＝2﹣③BE+DF＝EF④存在點E、F，使得NF＞DF其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①如圖1，證明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，可得∠NAE＝∠AEN＝45°，則△AEN是等腰直角三角形可作判斷；②先證明CE＝CF，假設(shè)正方形邊長為1，設(shè)CE＝x，則BE＝1﹣x，表示AC的長為AO+OC可作判斷；③如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH（SAS），則EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可作判斷；④在△ADN中根據(jù)比較對角的大小來比較邊的大?。猓孩偃鐖D1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正確；②在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假設(shè)正方形邊長為1，設(shè)CE＝x，則BE＝1﹣x，如圖2，連接AC，交EF于O，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分線，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝EF＝x，△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC＝＝AO+OC，∴1+x＝，x＝2﹣，∴＝＝＝；故②不正確；③如圖3，∴將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三點共線，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正確；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故不存在點E、F，使得NF＞DF，故④不正確；故選：B．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考壓軸題．二、填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x＞2或x≤1．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列出不等式組，基本都是在得到答案．解：由題意得，≥0，則或，解得，x＞2或x≤1，故答案為：x＞2或x≤1．【點評】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．12．如圖，直線a∥b，將含有45°角的三角形板ABC的直角頂點C放在直線b上，若∠1＝27°，則∠2的度數(shù)為18°．【分析】過B作BE∥直線a，推出a∥b∥BE，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠2＝∠ABE，∠1＝∠CBE＝27°，根據(jù)∠ABC＝45求出∠ABE，即可得出答案．【解答】解：過B作BE∥直線a，∵直線a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠2＝∠ABE，∠1＝∠CBE＝27°，∵∠ABC＝45°，∴∠2＝∠ABE＝45°﹣27°＝18°，故答案為：18°．【點評】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．13．在平面直角坐標系中，拋物線y＝（m+2）x2﹣3x+m開口向下，那么m的取值范圍是m＜﹣2．【分析】根據(jù)拋物線開口向下可得m+2＜0，進而求解．解：∵拋物線y＝（m+2）x2﹣3x+m開口向下，∴m+2＜0，∴m＜﹣2．故答案為：m＜﹣2．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．14．已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一個根，那么該方程的另一個根是．【分析】設(shè)方程另一根為x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到﹣1×x2＝﹣，然后解此方程即可．解：設(shè)方程另一根為x2，則﹣1×x2＝﹣，解得：x2＝．故方程的另一個根是．故答案為：．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．15．如圖，已知⊙O的直徑AB為10，弦CD＝8，CD⊥AB于點E，則sin∠OCE的值為．【分析】由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理，可求得CE的長，然后由勾股定理即可求得OE，繼而求得sin∠OCE的值．解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE＝CD＝×8＝4，OC＝AB＝×10＝5，∴OE＝＝＝3，∴sin∠OCE＝＝．故答案為：．【點評】此題考查了垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成兩部分，S△ADE：S四邊形BDEC＝4：5，則的值是．【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用比例的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．∵S△ADE：S四邊形BDEC＝4：5，∴．∴，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k＝﹣6．【分析】要求函數(shù)的解析式只要求出B點的坐標就可以，過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到：＝＝＝，然后用待定系數(shù)法即可．解：過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．設(shè)點A的坐標是（m，n），則AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°．∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC．∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴＝，∴＝＝＝，設(shè)A（m，n），則B（﹣n，m），∵點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴mn＝2，∴﹣n?m＝﹣3×2＝﹣6，∴k＝﹣6．故答案為：﹣6．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求得點B的坐標（用含n的式子表示）是解題的關(guān)鍵．18．如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的點F處，若DE＝5，AB＝8，則S△ABF：S△FCE＝4．【分析】由矩形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝8，由折疊的性質(zhì)可得DE＝EF＝5，∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理可求FC＝4，由相似三角形的性質(zhì)可求S△ABF：S△FCE的值．解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝8∵DE＝5，∴EC＝3∵折疊∴DE＝EF＝5，∠D＝∠AFE＝90°在Rt△EFC中，F(xiàn)C＝＝4∵∠AFE＝90°，∠C＝90°∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°∴∠AFB＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°∴△ABF∽△FCE∴＝（）2＝4故答案為：4【點評】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，證△ABF∽△FCE是本題的關(guān)鍵．三、解答題（共8小題，滿分0分）19．計算：2sin60°++|﹣5|﹣（﹣2023）0．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，分別化簡得出答案．解：原式＝2×+2+5﹣1＝+2+5﹣1＝3+4．【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．20．先化簡÷+，然后從0，1，2，3中選一個合適的a值代入求解．【分析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定a的值，代入計算即可．解：原式＝?+＝a+a＝2a，∵a＝0，1，2時分式無意義，∴a＝3，當a＝3時，原式＝2×3＝6．【點評】本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．21．為了解某地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時長的情況，隨機抽取部分中學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，將閱讀時長分為四類：2小時以內(nèi)，2～4小時（含2小時），4～6小時（含4小時），6小時及以上，并繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計圖．（1）本次調(diào)查共隨機抽取了200名中學(xué)生，其中課外閱讀時長“2～4小時”的有40人；（2）扇形統(tǒng)計圖中，課外閱讀時長“4～6小時”對應(yīng)的圓心角度數(shù)為144°；（3）若該地區(qū)共有20000名中學(xué)生，估計該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時長不少于4小時的人數(shù)．【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以求得本次調(diào)查的學(xué)生數(shù)和課外閱讀時長“2～4小時”的人數(shù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以求得扇形統(tǒng)計圖中，課外閱讀時長“4～6小時”對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)可以計算出該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時長不少于4小時的人數(shù)．解：（1）本次調(diào)查共隨機抽取了：50÷25%＝200（名）中學(xué)生，其中課外閱讀時長“2～4小時”的有：200×20%＝40（人），故答案為：200，40；（2）扇形統(tǒng)計圖中，課外閱讀時長“4～6小時”對應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°×（1﹣﹣20%﹣25%）＝144°，故答案為：144；（3）20000×（1﹣﹣20%）＝13000（人），答：估計該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時長不少于4小時的有13000人．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．22．為滿足市場需求，某服裝超市在六月初購進一款短袖T恤衫，每件進價是80元；超市規(guī)定每件售價不得少于90元，根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當售價定為90元時，每周可賣出600件，一件T恤衫售價每提高1元，每周要少賣出10件．若設(shè)售價為x（x≥90）元，每周所獲利潤為Q（元），請解答下列問題：（1）每周短袖T恤衫銷量為y（件），則y＝﹣10x+1500（含x的代數(shù)式表示），并寫出Q與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當售價x定為115元時，該服裝超市所獲利潤最大，最大利潤為12250元；（3）該服裝超市每周想從這款T恤衫銷售中獲利8500元，又想盡量給客戶實惠，該如何給這款T恤衫定價？【分析】（1）根據(jù)“當售價定為90元時，每周可賣出600件，一件T恤衫售價每提高1元，每周要少賣出10件．“即可得出每天的銷售量與每件售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)利潤＝每件的利潤×銷售量列出函數(shù)解析式；（2）把（1）中Q關(guān)于x的解析式化為頂點式，由函數(shù)的性質(zhì)求最值；（3）當Q＝8500時，解一元二次方程求出方程的根，取較小的值．解：（1）每周短袖T恤衫銷量為y＝600﹣10×（x﹣90）＝﹣10x+1500，∴y＝﹣10x+1500，故答案為：﹣10x+1500；根據(jù)題意得：Q＝（x﹣80）y＝（x﹣80）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+2300x﹣120000，∴Q與x的函數(shù)關(guān)系式為Q＝﹣10x2+2300x﹣120000；（2）Q＝﹣10x2+2300x﹣120000＝﹣10（x﹣115）2+12250，∵﹣10＜0，∴當x＝115時，Q有最大值，最大值為12250，故答案為：115，12250；（3）當Q＝8500時，﹣10（x﹣115）2+12250＝8500，解得x1＝95，x2＝135，∵盡量給客戶實惠，∴x＝95．答：這款T恤衫定價為95元/件．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式．23．如圖，四邊形ABCD是某水庫大壩的橫截面示意圖，壩高8米，背水坡的坡角為45°，現(xiàn)需要對大壩進行加固，使上底加寬2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后壩底增加的寬度AF的長．【分析】分別過E、D作AB的垂線，設(shè)垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據(jù)坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出FG的長，同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的長．解：分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四邊形EGHD是矩形，∴ED＝GH，在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），在Rt△FGE中，i＝1：2＝，∴FG＝2EG＝16（米），∴AF＝FG+GH﹣AH＝16+2﹣8＝10（米）．答：加固后壩底增加的寬度AF的長是10米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線段的長度，難度一般．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C在⊙O上且＝，連接AC、AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的長．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得∠FAC＝∠BAC，而∠OAC＝∠OCA，則∠FAC＝∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理、鄰補角定義求出∠AOC＝120°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求出AB＝4，則OA＝2，根據(jù)弧長計算公式求解即可．【解答】（1）證明：∵＝，∴∠FAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接BC，∵∠CAD＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2∠CAD＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB，∵CD⊥AD，∠CAD＝30°，CD＝，∴AC＝2CD＝2，∴AB2﹣＝，∴AB＝4或AB＝﹣4（舍去），∴OA＝2，∴的長＝＝π．【點評】此題考查了切線的判定、圓周角定理、弧長計算公式，熟練掌握切線的判定、圓周角定理、弧長計算公式是解題的關(guān)鍵．25．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點Q．①證明：在點H的運動過程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當EH的長度為多少時△AQG為等腰三角形？【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△AHB≌△AGC；（2）①證明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG＝∠AEH＝45°，從而根據(jù)兩角的和可得結(jié)論；②分兩種情況：i）如圖3，AQ＝QG時，ii）如圖4，當AG＝QG時，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：AH＝AG，∠HAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；（2）①證明：如圖2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AFG＝∠AEH＝45°，∴∠HFG＝45°+45°＝90°；②分兩種情況：i）如圖3，AQ＝QG時，∵AQ＝QG，∴∠QAG＝∠AGQ，∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，∴∠QAH＝∠AHQ，∴AQ＝QH＝QG，∵AH＝AG，∴AQ⊥GH，∵∠AFG＝∠AFH＝45°，∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，∴四邊形AHFG是正方形，∵AC＝4，∴AF＝2，∴FG＝EH＝，∴當EH的長度為時，△AQG為等腰三角形；ii）如圖4，當AG＝QG時，∠GAQ＝∠AQG，∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，∴EH＝AE＝2，∴當EH的長度為2時，△AQG為等腰三角形；綜上，當EH的長度為或2時，△AQG為等腰三角形．【點評】本題是三角形的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，第二問要注意分類討論，不要丟解．26．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x＝1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．【分析】方法一：（1）先把C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得出c＝4①，再由拋物線的對稱軸x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a②，拋物線過點A（﹣2，0），得到0＝4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a＝﹣，b＝1，c＝4，即可求出拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；（2）假設(shè)存在滿足條件的點F，連接BF、CF、OF，過點F作FH⊥x軸于點H，F(xiàn)G⊥y軸于點G．設(shè)點F的坐標為（t，﹣t2+t+4），則FH＝﹣t2+t+4，F(xiàn)G＝t，先根據(jù)三角形的面積公式求出S△OBF＝OB?FH＝﹣t2+2t+8，S△OFC＝OC?FG＝2t，再由S四邊形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OFC，得到S四邊形ABFC＝﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12＝17，即t2﹣4t+5＝0，由△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0，得出方程t2﹣4t+5＝0無解，即不存在滿足條件的點F；（3）先運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y＝﹣x+4，再求出拋物線y＝﹣x2+x+4的頂點D（1，），由點E在直線BC上，得到點E（1，3），于是DE＝﹣3＝．若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，因為DE∥PQ，只須DE＝PQ，設(shè)點P的坐標是（m，﹣m+4），則點Q的坐標是（m，﹣m2+m+4）．分兩種情況進行討論：①當0＜m＜4時，PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，解方程﹣m2+2m＝，求出m的值，得到P1（3，1）；②當m＜0或m＞4時，PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，解方程m2﹣2m＝，求出m的值，得到P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2