湘教版選擇性必修第一冊1.3.3等比數(shù)列的前N項(xiàng)和課件（35張）

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪知識探究1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式na1na1na1小試身手1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”).√(1)首項(xiàng)為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則其前n項(xiàng)和為Sn=na.(

)(2)求數(shù)列{n·2n}的前n項(xiàng)和可用錯位相減法.(

)√×(4)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列.(

)×C2.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1-a2=3,a3=4,則{an}的前5項(xiàng)和為(

)3.已知等比數(shù)列{an}的公比為2,且前5項(xiàng)和為1,那么前10項(xiàng)和等于(

)A.31 B.33 C.35 D.37B課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的計算[例1]在等比數(shù)列{an}中,(1)S2=30,S3=155,求Sn;[例1]在等比數(shù)列{an}中,[例1]在等比數(shù)列{an}中,(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.方法總結(jié)(1)在等比數(shù)列{an}的五個量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三個量,通過列方程組,就能求出另外兩個量,這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.(2)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時,首先要對公比q=1或q≠1進(jìn)行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.[變式訓(xùn)練1]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,a6=8a3,則q=

,S5=

.

答案:2

31探究點(diǎn)二等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)[例2](1)在等比數(shù)列{an}中,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2=3,S4=9,則S6等于(

)A.12 B.18 C.21 D.27解析:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)镾2=3,S4=9,所以S4-S2=6,q≠-1,所以S2,S4-S2,S6-S4構(gòu)成以S2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以62=3(S6-9),所以S6=12+9=21.故選C.答案:(1)C(2)等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=

.

答案:(2)2答案:(1)80(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=48,前2n項(xiàng)和S2n=60,則前3n項(xiàng)和S3n=

.

答案:(2)63(3)一個項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an},所有項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍,前3項(xiàng)之積為64,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.探究點(diǎn)三等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用[例3]借貸10000元,以月利率為1%,每月以復(fù)利計息借貸,王老師從借貸后第二個月開始等額還貸,分6個月付清,試問:每月應(yīng)支付多少元?(1.016≈1.062,1.015≈1.051)方法總結(jié)解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟如下.(1)認(rèn)真審題,準(zhǔn)確理解題意,明確問題屬于哪類應(yīng)用問題,即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題,還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題,是求an,還是求Sn.特別要注意準(zhǔn)確弄清項(xiàng)數(shù)是多少.弄清題目中主要的已知事項(xiàng).(2)抓住數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法,恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量,將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).(3)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,將已知與所求聯(lián)系起來,列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.[變式訓(xùn)練3]一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度,在以后的每一分鐘里,它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%,這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎?探究點(diǎn)四分組求和[例4]已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;[例4]已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.方法總結(jié)分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和.[變式訓(xùn)練4]已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,數(shù)列{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=2,b3和b5的等差中項(xiàng)是20,n∈N+.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;解:(1)因?yàn)閍n+1=an+2(n∈N+),所以an+1-an=2(n∈N+).又因?yàn)閍1=2,所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以an=2n(n∈N+).由題意可知等比數(shù)列{bn}的公比q>0,又由b3和b5的等差中項(xiàng)是20,可知b3+b5=40,所以2q2+2q4=40,即q2+q4=20,解得q=2.又b1=2,故bn=2n(n∈N+).[變式訓(xùn)練4]已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,數(shù)列{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=2,b3和b5的等差中項(xiàng)是20,n∈N+.(2)若cn=a2n-1+b2n-1,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.探究點(diǎn)五錯位相減法求和[例5]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+n,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=xn-1(x≠0,且x≠1).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;[例5]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+n,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=xn-1(x≠0,且x≠1).(2)設(shè)cn=anbn,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.方法總結(jié)錯位相減法的適用范圍及注意事項(xiàng)(1)適用范圍:它主要適用于{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和.(2)注意事項(xiàng):①利用“錯位相減法”時,在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時,應(yīng)注意使兩式錯位對齊,以便于作差,正確寫出(1-q)Sn的表達(dá)式.②利用此法時要注意討論公比q是否等于1的情況.課堂達(dá)標(biāo)C1.設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1=1,a5=16,則數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為(

)A.63B.64 C.127D.128ABD2.(多選題)在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”則下列說法正確的是