等腰三角形的性質(zhì) 省賽獲獎(jiǎng)

13.3等腰三角形的性質(zhì)

第1課時(shí)

博羅龍溪二中馬偉榮一.課前回顧________________叫做頂角，_____________叫做底角.1.按照邊的相等關(guān)系分類，三角形可分為不等邊三角形和_______________.

等腰三角形有兩條邊相等的三角形

在等腰三角形中相等的兩邊

另一邊

兩腰的夾角

腰和底邊的夾角2.等腰三角形的有關(guān)概念：_________________________叫做等腰三角形,_________________________叫做腰，_______叫做底，提出學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握等腰三角形的性質(zhì)1、性質(zhì)2；

2、會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)解決簡單問題.二．課前預(yù)習(xí)

如圖13.3-1，拿出一張長方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，再把它打開，得到的△ABC.ABCD

設(shè)問1：△ABC有什么特點(diǎn)？設(shè)問2：△ABC是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？

（它是個(gè)等腰三角形）設(shè)問3：你還能發(fā)現(xiàn)剪出的等腰三角形具有哪些特征嗎？

相等的線段

相等的角

AB=AC(兩腰相等)

BD=CD（AD為底邊BC上的中線）

∠B=∠C（兩底角相等）∠BAD=∠CAD(AD為頂角∠BAC的平分線)∠ADB=∠ADC=900(AD為底邊BC上的高)ACDBAB繼續(xù)猜想等腰三角形ABC有哪些性質(zhì)？CDBA等腰三角形的性質(zhì):性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（簡稱為“三線合一”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（簡寫為“等邊對(duì)等角”）

利用實(shí)驗(yàn)操作的方法，我們發(fā)現(xiàn)并概括出等腰三角形的性質(zhì)1和性質(zhì)2．你能通過嚴(yán)格的邏輯推理證明這個(gè)結(jié)論嗎？性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角).

AB=AC，

BD=CD，

AD=AD，∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C.DAB

C推理論證等腰三角形的性質(zhì)：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=C.證明:在△ABC中,AB=AC,作底邊BC的中線AD,添加輔助線的方法可以多樣：比如作底邊上的中線（SSS)，或作頂角的平分線(SAS)，或作底邊上的高(HL).在△BAD與△CAD中三、鞏固預(yù)習(xí)性質(zhì)２：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（簡寫成“三線合一”)證明:∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD.

在△BAD和△CAD中

AB=AC，

BD=CD，

AD=AD，∴△BAD≌△CAD(SSS)∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，∴AD是△ABC的角平分線.又∵∠BDA+∠CDA=1800，∴∠BDA=∠CDA=900，∴AD是△ABC的高.ACBD已知：如圖，△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的中線.求證：AD是△ABC的高和角平分線.注意：在求證中知道中線則證明高和角平分線，知道角平分線則證明中線和高，知道高則證明中線和角平分線。（1）在△ABC中，∵AB=AC∴∠___=∠___①在△ABC中,∵AB=AC，∠BAD=∠CAD,③在△ABC中,∵AB=AC，AD⊥BC,∴___=___,___⊥___.②在△ABC中,∵AB=AC，BD=CD,∴___⊥___，∠___=∠___.∴___=___,∠___=∠___.等腰三角形的性質(zhì)DACB性質(zhì)1：性質(zhì)2：(數(shù)學(xué)幾何語言表達(dá))：（知“其一”得“其二”）“等邊對(duì)等角”“三線合一”練習(xí)1：如圖練習(xí)2：如圖BCBDCDADBCADBCBADCADBDCDBADCAD注意事項(xiàng)：性質(zhì)1中“等邊對(duì)等角”指的是：在同一個(gè)三角形中.四.自測互評(píng)

一.填空題：BCA圖1CAB圖2CBA圖3小結(jié)：在等腰三角形中有關(guān)角的計(jì)算要注意頂角、底角的區(qū)分；利用”等邊對(duì)等角”、三角形內(nèi)角和定理等進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)在解題過程中滲透了分類討論、方程的思想。1、如圖1，△ABC中,AB=AC,∠A=36°,則∠B=___°，∠C=___°.2、如圖2，△ABC中,AB=AC,∠B=36°,則∠A=___°，∠C=___°.3、如圖3,已知等腰三角形中一個(gè)角是70°，則其余兩角的度數(shù)分別為或400

、700，727210836550、550350、350如果等腰三角形中一個(gè)角是110°，則其余兩角的度數(shù)分別為在等腰三角形中已知任何一角度數(shù)就可以求出其他兩角的度數(shù)1、如圖4，在△ABC中，AB=AC,∠A=20°，線段AB的垂直平分線DE交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于（）.A.800B.700C.600D.5002、如圖5，△ABC的周長為32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周長為24，則AD的長為（）.A.8B.12C.16D.18ADBCE圖4小結(jié)：在等腰三角形中求解角、邊、周長或其他的證明題時(shí)，利用了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)（“等邊對(duì)等角”、“三線合一”）。CA圖5CDBA二.選擇題：圖形變換問題變換BCA圖1360CAB圖2360CBA圖3有一角700或1100A圖5CDB垂直ADBCE圖4垂直平分線200ABCD

圖6BD=BC=ADADBEC圖7BD是平分線，BD∥AE三.解答題：1、如圖6，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度數(shù).

ABCD

圖62.如圖7，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AE∥BD交CB的延長線于點(diǎn)E，已知∠E=360.求∠C的度數(shù)。ADBEC圖7∴∠C=∠ABC=720.解：∵AE∥BD，∠E=360，∴∠DBC=∠E=360.又∵BD平分∠ABC∴∠ABC=2∠DBC=2×360=720.又∵AB=AC，小結(jié)：利用”等邊對(duì)等角”、三角形內(nèi)角和、三角形的外角的性質(zhì)等進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)在解題過程中滲透了分類討論、方程的思想。第1題中角特殊共產(chǎn)生了三個(gè)等腰三角形。解：∵AB=AC，BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x.

∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x.

在△ABC中，有∠ABC+∠A+∠C=x+2x+2x=1800.解得x=360.∴在△ABC中，∠A=360，∠ABC=∠C=720四.課外延伸1.墻上釘了一根木條，小聰想檢測這根木條是否水平，他拿了一個(gè)等腰直角三角尺，在此尺的斜邊中點(diǎn)處掛了一個(gè)重錘，把這塊三角尺的斜邊與木條重合，結(jié)果重錘經(jīng)過三角尺的直角頂點(diǎn)，小聰就說這根木條是水平的。請(qǐng)問，小聰?shù)呐袛鄬?duì)嗎？為什么？OACB小聰?shù)呐袛嗍菍?duì)的，因?yàn)榈妊切蔚牡走呏芯€和底邊上的高重合。小聰?shù)呐袛鄬?duì)嗎？2.如圖8，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點(diǎn)H，且AE=BE.求證：AH=2BD

A圖8CDBEH證明：∵AD和BE是高，∴∠AEH=∠BEC=∠ADC=900.∴∠CAD+∠C=900，∠CBE+∠C=900.∴∠CAD=∠CBE即∠HAE=∠CBE.在△AHE和△BCE中，∠HAE=∠CBEAE=BE∠AEH=∠BEC∴AH=BC.∴△AHE≌△BCE（ASA).又∵AB=AC，AD是BC邊上的高，∴BD=CD即BC=2BD.∴AH=2BD.小結(jié)：此題可利用“ASA”或“AAS”證明兩個(gè)三角形全等，同時(shí)利用了余角性質(zhì)、“三線合一”.3.已知：如圖9，點(diǎn)C、D在△ABE的邊BE上，AB=AE，AC=AD.試問BC與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

解：BC=DE.理由：過點(diǎn)A作AF⊥BE，垂足為點(diǎn)F.∵AB=AE，AF⊥BE，

圖9ABCD

EF∴BF=EF.又∵AC=AD,AF⊥CD,∴CF=DF.∴BF－CF=EF－DF.即BC=DE.小結(jié)：此題通過作適當(dāng)?shù)妮o助線，利用“三線合一”很好的解決了問題，不過也可利用“SAS”證明△ABC≌△AED得對(duì)應(yīng)邊相等BC=DE.會(huì)有哪些方法呢？五．課堂小結(jié)

（分