第4道萬有引力與航天（解析版）

2021年高考物理二輪復(fù)習(xí)高考13題命題探究第一部分選擇題命題探究第4道選擇題萬有引力與航天目錄TOC\o"1-3"\h\u一、命題點(diǎn)探究 1命題點(diǎn)一天體質(zhì)量和密度的求解 1命題點(diǎn)二衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析 3命題點(diǎn)三衛(wèi)星變軌與對(duì)接問題 6命題點(diǎn)四雙星與多星系統(tǒng)模型 9二、第四道選擇題限時(shí)強(qiáng)化訓(xùn)練 11一、命題點(diǎn)探究命題點(diǎn)一天體質(zhì)量和密度的求解【核心考點(diǎn)梳理】1.求解天體質(zhì)量和密度的兩條基本思路(1)由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).若衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．2．估算天體質(zhì)量和密度時(shí)的三個(gè)易誤區(qū)(1)不考慮自轉(zhuǎn)時(shí)有Geq\f(Mm,R2)＝mg；若考慮自轉(zhuǎn)，只在兩極上有Geq\f(Mm,R2)＝mg，而赤道上有Geq\f(Mm,R2)－mg＝meq\f(4π2,T\o\al(2,自))R.(2)利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r只能計(jì)算中心天體的質(zhì)量，不能計(jì)算繞行天體的質(zhì)量．(3)注意區(qū)分軌道半徑r和中心天體的半徑R，計(jì)算中心天體密度時(shí)應(yīng)用ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，而不是ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πr3).【典例1】（2021·云南師大附中高三上學(xué)期12月月考）在地球表面以一定的初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間l落回原處；若在某星球表面以相同的速度豎直上拋一小球，則需經(jīng)4t時(shí)間落回原處。不計(jì)空氣阻力，忽略星球和地球自轉(zhuǎn)。已知該星球半徑與地球半徑之比為1：4，則（）A.該星球密度與地球密度之比為1：1B.該星球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為64：1C.該星球表面重力加速度與地球表面重力加速度之比為4：1D.該星球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為1：1【答案】A【解析】C．地球和星球上遵循的理論是一樣的，不考慮自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力。設(shè)地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為，根據(jù)豎直上拋回到原處，有以相同初速度豎直上拋，重力加速度之比等于它們所需時(shí)間之反比，星球上的時(shí)間與地球上的時(shí)間比為，則星球表面重力，加速度和地球表面的重力加速度之比C錯(cuò)誤；B．根據(jù)萬有引力等于重力，有得星球和地球表面的重力加速度之比為，半徑比為，所以星球和地球的質(zhì)量比B錯(cuò)誤；A．根據(jù)密度的定義所以與g成正比，與R成反比A正確；D．第一宇宙速度v與gR乘積的算術(shù)平方根成正比D錯(cuò)誤。故選A?！镜淅?】（2021·黑龍江大慶鐵人中學(xué)高三上學(xué)期期中考試）脈沖星的本質(zhì)是中子星，具有在地面實(shí)驗(yàn)室無法實(shí)現(xiàn)的極端物理性質(zhì)，是理想的天體物理實(shí)驗(yàn)室，對(duì)其進(jìn)行研究，有希望得到許多重大物理學(xué)問題的答案，譬如：脈沖星的自轉(zhuǎn)周期極其穩(wěn)定，準(zhǔn)確的時(shí)鐘信號(hào)為引力波探測、航天器導(dǎo)航等重大科學(xué)技術(shù)應(yīng)用提供了理想工具.2017年8月我國FAST天文望遠(yuǎn)鏡首次發(fā)現(xiàn)了兩顆太空脈沖星，其中一顆星的自轉(zhuǎn)周期為T（實(shí)際測量為1.83s），該星距離地球1.6萬光年，假設(shè)該星球恰好能維持自轉(zhuǎn)不瓦解．地球可視為球體，其自轉(zhuǎn)周期為T0，用彈簧測力計(jì)測得同一物體在地球赤道上的重力為兩極處的k倍，已知引力常量為G，則下列關(guān)于該脈沖星的平均密度ρ及其與地球的平均密度ρ0之比正確的是A.ρ＝B.ρ＝C.D.【答案】AC【解析】AB．星球恰好能維持自轉(zhuǎn)不瓦解時(shí)，萬有引力恰好能提供其表面物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，設(shè)該星球的質(zhì)量為M，半徑為R，表面一物體質(zhì)量為m，有，又M＝ρ·πR3，式中ρ為該星球密度，聯(lián)立解得ρ＝，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；CD．設(shè)地球質(zhì)量為M0，半徑為R0，地球表面一物體質(zhì)量為m′，重力為P，該物體位于地球兩極時(shí)，有P＝G，在赤道上，地球?qū)ξ矬w的萬有引力和彈簧測力計(jì)對(duì)物體的拉力的合力提供該物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，則有G－kP＝m′R0聯(lián)立解得地球平均密度故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．命題點(diǎn)二衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析【核心考點(diǎn)梳理】天體運(yùn)行參量比較問題的兩種分析方法(1)定量分析法①列出五個(gè)連等式Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r.②導(dǎo)出四個(gè)表達(dá)式a＝Geq\f(M,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM)).③結(jié)合r的大小關(guān)系，比較得出a、v、ω、T的大小關(guān)系．(2)定性結(jié)論法r越大，向心加速度、線速度、角速度均越小，而周期越大.【典例1】（2021·重慶市九龍坡區(qū)高三上學(xué)期11月期中）截至2018年01月22日，我國首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星已在軌運(yùn)行525天，飛行8006軌，共開展隱形傳態(tài)實(shí)驗(yàn)224次，糾纏分發(fā)實(shí)驗(yàn)422次，密鑰分發(fā)實(shí)驗(yàn)351次，星地相干通信實(shí)驗(yàn)43次．假設(shè)量子衛(wèi)星軌道在赤道平面，如圖所示．已知量子衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的m倍，同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點(diǎn)是地球赤道上一點(diǎn)，由此可知()A．同步衛(wèi)星與量子衛(wèi)星的運(yùn)行周期之比為eq\f(n3,m3)B．同步衛(wèi)星與P點(diǎn)的線速度之比為eq\r(\f(1,n))C．量子衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的線速度之比為eq\f(n,m)D．量子衛(wèi)星與P點(diǎn)的線速度之比為eq\r(\f(n3,m))【答案】D【解析】根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，由題意知r量＝mR，r同＝nR，所以eq\f(T同,T量)＝eq\r(\f(r\o\al(3,同),r\o\al(3,量)))＝eq\r(\f(nR3,mR3))＝eq\r(\f(n3,m3))，故A錯(cuò)誤；P為地球赤道上一點(diǎn)，P點(diǎn)角速度等于同步衛(wèi)星的角速度，根據(jù)v＝ωr，有eq\f(v同,vP)＝eq\f(r同,rP)＝eq\f(nR,R)＝eq\f(n,1)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v量,v同)＝eq\r(\f(r同,r量))＝eq\r(\f(nR,mR))＝eq\r(\f(n,m))，故C錯(cuò)誤；綜合B、C分析，有v同＝nvP，eq\f(v量,nvP)＝eq\r(\f(n,m))，得eq\f(v量,vP)＝eq\r(\f(n3,m))，故D正確．【典例2】(2020·四川成都市第二次診斷)如圖，A代表一個(gè)靜止在地球赤道上的物體、B代表一顆繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的近地衛(wèi)星，C代表一顆地球同步軌道衛(wèi)星．比較A、B、C繞地心的運(yùn)動(dòng)，說法正確的是()A．運(yùn)行速度最大的一定是BB．運(yùn)行周期最長的一定是BC．向心加速度最小的一定是CD．受到萬有引力最小的一定是A【答案】A【解析】因A、C的角速度相同，則由v＝ωr可知，vC>vA；對(duì)B、C衛(wèi)星，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，vB>vC，可知vB>vC>vA，選項(xiàng)A正確．A、C周期相同，而對(duì)B、C衛(wèi)星，根據(jù)T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知，C的周期大于B，則運(yùn)行周期最長的是A、C，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．因A、C的角速度相同，則由a＝ω2r可知，aC>aA；對(duì)B、C衛(wèi)星，由a＝eq\f(GM,r2)可知，aB>aC，可知aB>aC>aA，向心加速度最小的一定是A，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；三個(gè)物體的質(zhì)量關(guān)系不確定，不能比較受到萬有引力的關(guān)系，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【典例3】（2021·八省聯(lián)考高三上學(xué)期1月考前猜題）2020年6月23日，我國北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)最后一顆組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，該衛(wèi)星A最終將在地球同步軌道運(yùn)行.另一顆相同質(zhì)量的衛(wèi)星B也繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，A的軌道半徑是B的3倍.下列說法正確的有A．由可知，A的速度是B的倍B．由可知，A的向心加速度是B的3倍C．由可知，A的向心力是B的D．由可知，A的周期是B的倍【答案】C【解析】A．衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則因?yàn)樵诓煌壍郎蟝是不一樣的，故不能根據(jù)得出A、B速度的關(guān)系，衛(wèi)星的運(yùn)行線速度，代入數(shù)據(jù)可得，故A錯(cuò)誤；B．因?yàn)樵诓煌壍郎蟽尚l(wèi)星的角速度不一樣，故不能根據(jù)得出兩衛(wèi)星加速度的關(guān)系，衛(wèi)星的運(yùn)行加速度，代入數(shù)據(jù)可得，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)，兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，可得，故C正確；D．兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第三定律，可得，故D錯(cuò)誤?！镜淅?】(多選)三顆人造地球衛(wèi)星A、B、C繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，已知mA＝mB<mC，則對(duì)于三顆衛(wèi)星，正確的是()A．運(yùn)行線速度關(guān)系為vA>vB＝vCB．運(yùn)行周期關(guān)系為TA<TB＝TCC．向心力大小關(guān)系為FA＝FB<FCD．半徑與周期關(guān)系為eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))＝eq\f(R\o\al(3,C),T\o\al(2,C))【答案】ABD【解析】：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以vA>vB＝vC，選項(xiàng)A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以TA<TB＝TC，選項(xiàng)B正確；由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝Geq\f(M,r2)，所以aA>aB＝aC，又mA＝mB<mC，所以FA>FB，F(xiàn)B<FC，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；三顆衛(wèi)星都繞地球運(yùn)行，故由開普勒第三定律得eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))＝eq\f(R\o\al(3,C),T\o\al(2,C))，選項(xiàng)D正確．命題點(diǎn)三衛(wèi)星變軌與對(duì)接問題【核心考點(diǎn)梳理】1．比較衛(wèi)星在不同圓軌道上的速度大小時(shí)應(yīng)用v＝eq\r(\f(GM,r))進(jìn)行判斷，注意不能用v＝ωr進(jìn)行判斷，因?yàn)棣匾搽Sr的變化而變化．2．比較衛(wèi)星在橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)、近地點(diǎn)的速度大小時(shí)，根據(jù)開普勒第二定律判斷．3．點(diǎn)火加速，v突然增大，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)．4．點(diǎn)火減速，v突然減小，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)．5．同一衛(wèi)星在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大．6．衛(wèi)星經(jīng)過不同軌道相交的同一點(diǎn)時(shí)加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度．7.分析衛(wèi)星變軌應(yīng)注意的三個(gè)問題(1)衛(wèi)星變軌時(shí)半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定的新軌道上的運(yùn)行速度變化由v＝eq\r(\f(GM,r))判斷．(2)同一衛(wèi)星在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大．(3)衛(wèi)星經(jīng)過不同軌道相交的同一點(diǎn)時(shí)加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度．【典例1】.（2021·江蘇省連云港高三上學(xué)期11月期中）2020年7月23日，我國火星探測器“天問一號(hào)”首次在海南文昌航天發(fā)射場由長征五號(hào)運(yùn)載火箭發(fā)射升空，隨后準(zhǔn)確地進(jìn)入預(yù)定地火轉(zhuǎn)移軌道。如圖所示為探測器經(jīng)過多次變軌后登陸火星的軌跡示意圖，其中軌道I、Ⅲ為橢圓，軌道Ⅱ?yàn)閳A。探測器經(jīng)軌道I、Ⅱ、Ⅲ運(yùn)動(dòng)后在Q點(diǎn)登陸火星，O點(diǎn)是軌道I、Ⅱ、Ⅲ的交點(diǎn)，軌道上的O、P、Q三點(diǎn)與火星中心在同一直線上，O、Q分別是橢圓軌道Ⅲ的遠(yuǎn)火星點(diǎn)和近火星點(diǎn)。已知火星的半徑為R，，軌道Ⅱ上經(jīng)過O點(diǎn)的速度為，關(guān)于探測器，下列說法正確的是（）A.沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測器與P點(diǎn)連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等B.沿軌道Ⅱ的運(yùn)動(dòng)周期小于沿軌道Ⅲ的運(yùn)動(dòng)周期C.沿軌道Ⅲ運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過O點(diǎn)的速度大于D.沿軌道Ⅲ運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過O點(diǎn)的加速度等于【答案】D【解析】A．根據(jù)開普勒第二定律可知，在同一軌道上探測器與火星中心的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的相等的面積，P點(diǎn)不是火星中心，故A錯(cuò)誤。B．根據(jù)開普勒第三定律，軌道半長軸越長周期也越大，所以沿軌道Ⅱ的運(yùn)動(dòng)周期大于沿軌道Ⅲ的運(yùn)動(dòng)周期，故B錯(cuò)誤。C．在軌道Ⅱ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為，沿軌道Ⅲ運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)要做近心運(yùn)動(dòng)，所以經(jīng)過O點(diǎn)的速度應(yīng)該小于，故C錯(cuò)誤。D．O點(diǎn)到火星中心的距離為根據(jù)向心力公式可得故D正確。故選D?！镜淅?】.（2021·江西省南昌縣蓮塘一中高三上學(xué)期12月月考）2020年7月23日我國首顆火星探測器“天問一號(hào)”宇宙飛船發(fā)射成功，開啟火星探測之旅。假設(shè)飛船從“地—火軌道”到達(dá)火星近地點(diǎn)P短暫減速，進(jìn)入軌道III，再經(jīng)過兩次變軌進(jìn)入圓軌道I。軌道I的半徑近似等于火星半徑。已知萬有引力常量G。則下列說法正確的是（）A.在P點(diǎn)進(jìn)入軌道III時(shí)，飛船應(yīng)向后噴氣B.在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，飛船在Q點(diǎn)的機(jī)械能大于在P點(diǎn)機(jī)械能C.在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)周期大于在軌道III上運(yùn)動(dòng)周期D.測出飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期，就可以推知火星的密度【答案】D【解析】A．在P點(diǎn)進(jìn)入軌道III時(shí)，需要向前噴氣減速，故A錯(cuò)誤；B．在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，飛船在Q點(diǎn)的機(jī)械能等于在P點(diǎn)機(jī)械能，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)開普勒第三定律可知，在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)周期小于在軌道III上運(yùn)動(dòng)周期，故C錯(cuò)誤；D．測出飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)萬有引力提供向心力有火星體積為火星質(zhì)量聯(lián)立解得故D正確故選D?！镜淅?】（2021·黑龍江大慶鐵人中學(xué)高三上學(xué)期期中考試）我國正在進(jìn)行的探月工程是高新技術(shù)領(lǐng)域的一次重大科技活動(dòng)，在探月工程中飛行器成功變軌至關(guān)重要。如圖所示，假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛行器在距月球表面高度為3R的圓形軌道I上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ，繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)則（）A.飛行器在B點(diǎn)處點(diǎn)火后，動(dòng)能增加B.由已知條件不能求出飛行器在軌道Ⅲ上運(yùn)行周期C.只有萬有引力作用情況下，飛行器在軌道Ⅱ上通過B點(diǎn)的加速度大小小于在軌道I上通過B點(diǎn)的加速度D.飛行器在軌道Ⅲ上繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為【答案】D【解析】A．飛船要在B點(diǎn)從橢圓軌道Ⅱ進(jìn)入圓軌道Ⅲ，做近心運(yùn)動(dòng)，要求萬有引力大于飛船所需向心力，所以應(yīng)給飛船點(diǎn)火減速，減小所需的向心力，故在B點(diǎn)火減速后飛船動(dòng)能減小，故A錯(cuò)誤；BD．設(shè)飛船在近月軌道Ⅲ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T3，則有，聯(lián)立解得，根據(jù)幾何關(guān)系可知，Ⅱ軌道的半長軸a=2.5R，根據(jù)開普勒第三定律有由此可解得軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期，故B錯(cuò)誤，D正確。C．根據(jù)牛頓第二定律有解得，可知在同一點(diǎn)距離相等，故加速度相同，故C錯(cuò)誤。故選D?！镜淅?】(多選)(2020·六安一中模擬)如圖所示，A、B兩衛(wèi)星繞地球運(yùn)行，運(yùn)動(dòng)方向相同，此時(shí)兩衛(wèi)星距離最近，其中A是地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r.地球可看成質(zhì)量均勻分布的球體，其半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T.若經(jīng)過時(shí)間t后，A、B第一次相距最遠(yuǎn)，下列說法正確的有()A．在地球兩極，地表重力加速度是eq\f(4π2r3,T2R2)B．衛(wèi)星B的運(yùn)行周期是eq\f(2Tt,T＋t)C．衛(wèi)星B的軌道半徑是req\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,2t＋T)))2)D．若衛(wèi)星B通過變軌與A對(duì)接之后，B的機(jī)械能可能不變【答案】AC【解析】：對(duì)于衛(wèi)星A，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得地球的質(zhì)量：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，在地球兩極，根據(jù)萬有引力等于重力，可得m′g＝Geq\f(Mm′,R2)，聯(lián)立解得g＝eq\f(4π2r3,T2R2)，故A正確；衛(wèi)星A的運(yùn)行周期等于地球自轉(zhuǎn)周期T.設(shè)衛(wèi)星B的周期為T′.當(dāng)衛(wèi)星B比A多轉(zhuǎn)半周時(shí)，A、B第一次相距最遠(yuǎn)，則有eq\f(2π,T′)t－eq\f(2π,T)t＝π，解得T′＝eq\f(2Tt,T＋2t)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(r3,r\o\al(3,B))＝eq\f(T2,T′2)，解得rB＝req\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,2t＋T)))2)，故C正確；衛(wèi)星B通過變軌與A對(duì)接，則需要在原軌道上對(duì)衛(wèi)星B加速，使萬有引力不足以提供向心力，做離心運(yùn)動(dòng)，最后與A對(duì)接，則衛(wèi)星B的機(jī)械能要增大，故D錯(cuò)誤．命題點(diǎn)四雙星與多星系統(tǒng)模型【核心考點(diǎn)梳理】1．雙星系統(tǒng)之“二人轉(zhuǎn)”模型雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的星體組成，由于彼此的萬有引力作用而繞連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(簡稱“二人轉(zhuǎn)”模型)．雙星系統(tǒng)中兩星體繞同一個(gè)圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，周期、角速度相等；向心力由彼此的萬有引力提供，大小相等．2．三星系統(tǒng)之“二繞一”和“三角形”模型三星系統(tǒng)由三顆相距較近的星體組成，其運(yùn)動(dòng)模型有兩種：一種是三顆星體在一條直線上，兩顆星體圍繞中間的星體做圓周運(yùn)動(dòng)(簡稱“二繞一”模型)；另一種是三顆星體組成一個(gè)三角形，三星體以三角形的中心為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(簡稱“三角形”模型)．最常見的“三角形”模型中，三星結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，角速度相同，半徑相同，任一顆星的向心力均由另兩顆星對(duì)它的萬有引力的合力提供．另外，也有三星不在同一個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng)的“三星”系統(tǒng)．3．四星系統(tǒng)之“三繞一”和“正方形”模型四星系統(tǒng)由四顆相距較近的星體組成，與三星系統(tǒng)類似，通常有兩種運(yùn)動(dòng)模型：一種是三顆星體相對(duì)穩(wěn)定地位于三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，環(huán)繞另一顆位于中心的星體做圓周運(yùn)動(dòng)(簡稱“三繞一”模型)；另一種是四顆星體相對(duì)穩(wěn)定地分布在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，圍繞正方形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)(簡稱“正方形”模型)．【典例1】（2021·黑龍江哈32中高三上學(xué)期1月期末）2017年10月16日晚，全球天文學(xué)界聯(lián)合發(fā)布一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)：人類首次直接探測到了雙中子星并合產(chǎn)生的引力波及其伴隨的電磁信號(hào)。從此在浩淼的宇宙面前，人類終于耳聰目明了。如圖為某雙中子星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的示意圖，若A星的軌道半徑小于B星的軌道半徑，雙星的總質(zhì)量為M，雙星間的距離為L，其運(yùn)動(dòng)角速度為。則（）A.A星的質(zhì)量一定大于B星的質(zhì)量B.雙星總質(zhì)量M一定時(shí)，L越大，越大C.A星運(yùn)轉(zhuǎn)所需的向心力大于B星所需的向心力D.A星運(yùn)轉(zhuǎn)的線速度大小等于B星運(yùn)轉(zhuǎn)的線速度大小【答案】A【解析】A．雙星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，是同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，恒星A和恒星B軌道半徑分別為和，據(jù)萬有引力提供向心力則因?yàn)樗?，A星的質(zhì)量一定大于B星的質(zhì)量，A正確；B．雙星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，是同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，恒星A和恒星B軌道半徑分別為和，據(jù)萬有引力提供向心力，對(duì)于恒星A對(duì)于恒星B結(jié)合解得B錯(cuò)誤；C．雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，所以向心力相等，C錯(cuò)誤；D．雙星系統(tǒng)中兩顆恒星間距不變，是同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，根據(jù)因?yàn)樗訢錯(cuò)誤。故選A?！镜淅?】（2021·陜西省延安市黃陵中學(xué)高三上學(xué)期11月期中）雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】兩恒星之間的萬有引力提供各自做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有：；又，聯(lián)立以上各式可得故當(dāng)兩恒星總質(zhì)量變?yōu)?，兩星間距變?yōu)闀r(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)?，B正確，ACD錯(cuò)誤。故選B。【典例3】宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上．已知引力常量為G.關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯(cuò)誤的是()A．四顆星圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))【答案】B【解析】：其中一顆星體在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯(cuò)誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(2),2)a，T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正確．二、第四道選擇題限時(shí)強(qiáng)化訓(xùn)練限時(shí)20min1．(2020·四川成都市一診)人造地球衛(wèi)星的軌道可能是圓，也可能是橢圓．關(guān)于在軌正常運(yùn)行的這些衛(wèi)星，下列說法正確的是()A．所有衛(wèi)星的運(yùn)行周期都小于1天B．所有衛(wèi)星在任何位置的速率都小于7.9km/sC．部分衛(wèi)星在某些位置的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．所有衛(wèi)星半長軸(或軌道半徑)的三次方與運(yùn)行周期的二次方的比值是一個(gè)常數(shù)【答案】D【解析】根據(jù)周期公式可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，軌道半徑越大，周期越大，因此存在周期大于1天的情況，故A錯(cuò)誤；衛(wèi)星在變換軌道時(shí)會(huì)加速遠(yuǎn)離地球，在加速的過程中，衛(wèi)星的速度可以大于7.9km/s，故B錯(cuò)誤；根據(jù)公式可知Geq\f(Mm,R2)＝ma，因?yàn)樾l(wèi)星軌道半徑大于地球半徑，因此其加速度不可能大于地球重力加速度，故C錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，D正確．2．(2020·四川攀枝花市三統(tǒng))北斗三號(hào)的第29顆衛(wèi)星“GEO－2”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射．目前該衛(wèi)星工作在距地面高度為h的地球同步軌道上，運(yùn)行速度為v1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的速度為v2，地球的半徑為R.則eq\f(v1,v2)等于()A.eq\f(R＋h,R)B.eq\f(R,R＋h)C.eq\r(\f(R＋h,R))D.eq\r(\f(R,R＋h))【答案】A【解析】地球同步衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，根據(jù)v＝ωr可知eq\f(v1,v2)＝eq\f(ωR＋h,ωR)＝eq\f(R＋h,R)，故選A.3.(2020·江蘇鹽城市三模)據(jù)報(bào)道：在2020年底，我國探月“繞落回”三部曲的第三樂章即將奏響，嫦娥五號(hào)探測器將奔赴廣寒宮，執(zhí)行全球自1976年以來的首次月球取樣返回任務(wù)．但在1998年1月發(fā)射的“月球勘探者”號(hào)空間探測器運(yùn)用科技手段對(duì)月球進(jìn)行近距離勘探，在月球重力分布、磁場分布及元素測定等方面取得了一些成果．探測器在一些環(huán)形山中發(fā)現(xiàn)了質(zhì)量密集區(qū)，當(dāng)它飛越這些區(qū)域時(shí)，通過地面的大口徑射電望遠(yuǎn)鏡觀察，發(fā)現(xiàn)探測器的軌道參數(shù)發(fā)生微小變化．此變化是()A．半徑變大，速率變大B．半徑變小，速率變大C．半徑變大，速率變小D．半徑變小，速率變小【答案】B【解析】探測器在飛越質(zhì)量密集區(qū)時(shí)，由于受到的萬有引力變大，可知探測器做近心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑減小，萬有引力做正功，則速率變大．故選B.4.(2020·陜西第二次聯(lián)考)經(jīng)長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星運(yùn)行的軌道半徑為R0，周期為T0，但其實(shí)際運(yùn)行的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t0時(shí)間發(fā)生一次最大的偏離．如圖3所示，天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知行星B，則行星B的運(yùn)行軌道半徑為()A．R＝R0eq\r(3,\f(t\o\al(2,0),t0－T02))B．R＝R0eq\f(t0,t0－T0)C．R＝R0eq\r(\f(t\o\al(3,0),t0－T03))D．R＝R0eq\r(\f(t0,t0－T0))【答案】A【解析】行星運(yùn)行的軌道發(fā)生最大偏離，則B行星在此時(shí)刻對(duì)A有最大的引力，故此時(shí)A、B行星與恒星在同一直線上且兩行星位于恒星同一側(cè)，設(shè)行星B的運(yùn)行周期為T，半徑為R，根據(jù)題意有：eq\f(2π,T0)t0－eq\f(2π,T)t0＝2π，所以T＝eq\f(t0T0,t0－T0)，由開普勒第三定律可得eq\f(R\o\al(03),T\o\al(02))＝eq\f(R3,T2)，聯(lián)立解得：R＝R0eq\r(3,\f(t\o\al(2,0),t0－T02)).故A正確．5.(2020·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)雙星的運(yùn)動(dòng)是產(chǎn)生引力波的來源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由a、b兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測得a星的周期為T，a、b兩顆星的距離為l，a、b兩顆星的軌道半徑之差為Δr.(a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑)，則()A．b星的周期為eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．a(chǎn)星的線速度大小為eq\f(πl(wèi)＋Δr,T)C．a(chǎn)、b兩顆星的半徑之比為eq\f(l,l－Δr)D．a(chǎn)、b兩顆星的質(zhì)量之比為eq\f(l＋Δr,l－Δr)【答案】B【解析】兩顆星的周期相等，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由r1＋r2＝l，r1－r2＝Δr，兩式聯(lián)立解得r1＝eq\f(l＋Δr,2)，r2＝eq\f(l－Δr,2)，a、b兩顆星的半徑之比為eq\f(r1,r2)＝eq\f(l＋Δr,l－Δr)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；a星的線速度大小為v1＝eq\f(2πr1,T)＝eq\f(πl(wèi)＋Δr,T)，B項(xiàng)正確；由萬有引力提供向心力得eq\f(Gm1m2,l2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1，eq\f(Gm1m2,l2)＝m2eq\f(4π2,T2)r2，解得eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(l－Δr,l＋Δr)，D項(xiàng)錯(cuò)誤．6.(多選)(2020·山東泰安市二模)地球同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω，那么同步衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列敘述正確的是()A．衛(wèi)星受到的向心力F＝mRω2B．衛(wèi)星的加速度a＝(R＋h)ω2C．衛(wèi)星的線速度v＝Req\r(\f(g,R＋h))D．衛(wèi)星的