第04講一元二次不等式及其解法（原卷版）

第4講一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)當(dāng)a>0時，解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(b,a)))))．(2)當(dāng)a<0時，解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(b,a)))))．2．三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個相異實根x1，x2(x1<x2)有兩個相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??常用結(jié)論1．分式不等式的解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)．(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))2．兩個恒成立的充要條件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.))考點1一元二次不等式的解法[名師點睛](1)解一元二次不等式的方法和步驟(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟①二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的一元二次不等式；②判斷一元二次不等式所對應(yīng)的方程實根的個數(shù)，即討論判別式Δ與0的關(guān)系；③確定方程無實根或有兩個相同實根時，可直接寫出解集；確定方程有兩個相異實根時，要討論兩實根的大小關(guān)系，從而確定解集．[典例]1．（2021·湖南·衡陽市田家炳實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）不等式解集為（

）A．{x|1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x>2或x<1} D．2．（2021·四川省敘永第一中學(xué)校高三階段練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式：(1)；(2)（）.[舉一反三]1．（2022·浙江寧波·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則（

）A． B．C．或 D．或3．（2021·福建省長汀縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.4．（2021·廣東·普寧市大長隴中學(xué)高三階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣a+2．(1)若關(guān)于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求實數(shù)a，b的值；(2)若b＝2，a＞0，解關(guān)于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．考點2一元二次不等式恒成立問題[名師點睛]1.一元二次不等式在R上恒成立的條件(1)不等式ax2＋bx＋c≥0對任意實數(shù)x恒成立的條件是：①當(dāng)a＝0時，b＝0，c≥0；②當(dāng)a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0.))(2)不等式ax2＋bx＋c≤0對任意實數(shù)x恒成立的條件是：①當(dāng)a＝0時，b＝0，c≤0；②當(dāng)a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2.一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立的求解方法設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)當(dāng)a<0時，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)<α，,fα<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)>β，,fβ<0))或Δ<0.f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fβ>0，,fα>0.))(2)當(dāng)a>0時，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fβ<0，,fα<0.))f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)<α，,fα>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)>β，,fβ>0))或Δ<0.3.轉(zhuǎn)換主元法解給定參數(shù)范圍問題解給定參數(shù)范圍的不等式恒成立問題，若在分離參數(shù)時會遇到討論的情況，或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值難以求出，可考慮變換思維角度，即把變量與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，再根據(jù)原參數(shù)的范圍列式求解．[典例]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）不等式對一切實數(shù)恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高三開學(xué)考試）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．[舉一反三]1．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，“對恒成立”的一個充要條件是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2021·江蘇常州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為____________．8．（2021·重慶市涪陵高級中學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若對于一切實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對于，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.考點3一元二次方程根的分布問題[名師點睛]1.設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩實根為x1，x2，且x1≤x2，k為常數(shù)，則一元二次方程根和k的分布(即x1，x2相對于k的位置)有以下若干定理．定理1：x1<k<x2(即一個根小于k，一個根大于k)?af(k)<0.定理2：k<x1≤x2(即兩根都大于k)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≥0，,afk>0，,－\f(b,2a)>k.))定理3：x1≤x2<k(即兩根都小于k)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≥0，,afk>0，,－\f(b,2a)<k.))2.一元二次不等式在實數(shù)范圍內(nèi)有解的求解方法(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在實數(shù)范圍內(nèi)有解?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b，c∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝b2－4ac>0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在實數(shù)范圍內(nèi)有解?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2—4ac>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b，c∈R.))3.在區(qū)間內(nèi)有解，可以參變分離為a>f(x)或a<f(x)的形式，轉(zhuǎn)化為a>f(x)min或a<f(x)max；也可以通過對立命題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)無解，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題.[典例]1．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）若方程的兩實根中一個小于，另一個大于2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是（

）A．13 B．18 C．21 D．26[舉一反三]1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））關(guān)于的方程的兩根都大于2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍為_______