函數(shù)的奇偶性

1.3.2

函數(shù)的奇偶性第一章

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)奇偶性的定義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會(huì)應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性解決簡單問題．問題導(dǎo)學(xué)思考1.觀察圖像,①和②，③和④兩組圖像各有什么共同的特征？知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的概念答.圖像特征①和②關(guān)于y軸對(duì)稱，③和④關(guān)于坐標(biāo)軸原點(diǎn)對(duì)稱思考.能用數(shù)學(xué)關(guān)系式能表達(dá)這種關(guān)系嗎？1.奇、偶函數(shù)的定義2.的相關(guān)特征①共同特征：定義域都一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù)的特征①圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的中心對(duì)稱②f(－x)＝－f(x)③如果0D，則f(0)=0④對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相同偶函數(shù)的特征①圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱②f(－x)＝f(x)③對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反奇(偶)函數(shù)[思考辨析判斷正誤]××√√題型探究

類型一、判斷函數(shù)的奇偶性角度1.已知函數(shù)解析式，證明奇偶性反思與感悟利用定義法判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí)，①看函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定屬于定義域．②依據(jù)定義域，對(duì)函數(shù)f(x)的解析式能化簡的先化簡，再判斷f(－x)與f(x)解析式的關(guān)系，從而確定出函數(shù)f(x)的奇偶性．角度2證明分段函數(shù)的奇偶性反思與感悟分段函數(shù)也是函數(shù)，證明奇偶性也是抓住兩點(diǎn)：(1)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不過對(duì)于不同的x，f(x)有不同的表達(dá)式，要逐段驗(yàn)證是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))．角度3證明抽象函數(shù)的奇偶性例3

f(x)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，試判斷y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．解

∵f(x)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函數(shù)．f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函數(shù)．f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函數(shù)．反思與感悟利用基本的奇(偶)函數(shù)，通過加減乘除、復(fù)合，可以得到新的函數(shù)，判斷這些新函數(shù)的奇偶性，主要是代入－x看結(jié)果．【解】

A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，D錯(cuò)．跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．f(x)g(x)是偶函數(shù)

B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)類型二奇偶性的應(yīng)用角度1奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用解

(1)先描出(1,1)，(2,0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(－1，－1)，(－2,0)，連線可得f(x)的圖象如圖(2)xf(x)>0即圖象上橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同號(hào)．結(jié)合圖象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．反思與感悟鑒于奇(偶)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱，可以用這一特性去畫圖，求值，求解析式，研究單調(diào)性．跟蹤訓(xùn)練4已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示．(1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象；(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合．【解】(1)如圖，在[0,5]上的圖象上選取5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)O，A，B，C，D.分別描出它們關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲線連接即得．(2)由(1)圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(－2,0)∪(2,5)時(shí)，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)．角度2利用函數(shù)的奇偶性求解析式例5

函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1，求當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式．【解】設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1.∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x－1.反思與感悟求某個(gè)區(qū)間的解析式就設(shè)這個(gè)區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為－x，此時(shí)－x成為了已知區(qū)間上的解析式中的變量，通過應(yīng)用奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，適當(dāng)推導(dǎo)，即可得所求區(qū)間上的解析式．跟蹤訓(xùn)練5已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．達(dá)標(biāo)檢測(cè)答案

C3．已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)等于(

)A．－1 B．1C．－5 D．54．若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m的值是(

)A．1 B．2C．3 D．45．已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x＋1，則x＞0時(shí)，f(x)＝________.答案D解析∵函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴x＝±2時(shí)函數(shù)值相等．∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5，故選D.答案B答案－x＋1解析設(shè)x＞0，則－x＜0，∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1.1．兩個(gè)定義：對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)為奇函數(shù)；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(