高中數(shù)學(xué)北師大版選修12講義第一章222~24獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及應(yīng)用

2．2～2.4性檢驗(yàn)性檢驗(yàn)的根本思想及應(yīng)用性檢驗(yàn)1．2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2＝eq\o(A,\s\up6(－))1；變量B：B1，B2＝eq\o(B,\s\up6(－))1，用下表表示抽樣數(shù)據(jù).BAB1B2總計(jì)A1aba＋bA2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d并將此表稱為2×2列聯(lián)表．2．χ2的計(jì)算公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).3．性推斷的方法(1)當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)χ2>2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(3)當(dāng)χ2>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(4)當(dāng)χ2>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．(1)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，在對(duì)總體的估量中，通過抽取樣本，構(gòu)造適宜的統(tǒng)計(jì)量，對(duì)假設(shè)的正確性進(jìn)行推斷．(2)使用χ2統(tǒng)計(jì)量作2×2列聯(lián)表的性檢驗(yàn)時(shí)，一般要求表中的4個(gè)數(shù)據(jù)都大于5，數(shù)據(jù)越大，越能說明結(jié)果的普遍性．2×2列聯(lián)表[例1]在調(diào)查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，試作出性別與色盲的列聯(lián)表．[思路點(diǎn)撥]在2×2列聯(lián)表中，共有兩類變量，每一類變量都有兩個(gè)不同的取值，然后算出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，列表即可．[精解詳析]依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：色盲性別患色盲不患色盲總計(jì)男38442480女6514520總計(jì)449561000[一點(diǎn)通]分清類別是作列聯(lián)表的關(guān)鍵步驟，對(duì)所給數(shù)據(jù)要明確屬于哪一類．1．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表，那么表中a，b處的值分別為()yxy1y2總計(jì)x1a2153x282533總計(jì)b46A.32,40 B．42,50C．74,82 D．64,72解析：選Aa＝53－21＝32，b＝a＋8＝40.2．某學(xué)校對(duì)高三同學(xué)作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)覺：在平常的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名同學(xué)中有332名在考前心情緊急，性非常向的594名同學(xué)中在考前心情緊急的有213人．試作出2×2列聯(lián)表．解：列聯(lián)表如下：性格狀況考前心情是否緊急性格內(nèi)向性非常向總計(jì)考前心情緊急332213545考前心情不緊急94381475總計(jì)4265941020性檢驗(yàn)的應(yīng)用[例2]為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者供應(yīng)關(guān)心，用簡潔隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估量該地區(qū)老年人中，需要志愿者供應(yīng)關(guān)心的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者供應(yīng)關(guān)心與性別有關(guān)？[思路點(diǎn)撥]解答此題先分析列聯(lián)表，后計(jì)算χ2，再與臨界值比擬，推斷兩個(gè)變量是否相互．[精解詳析](1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者供應(yīng)關(guān)心，因此在該地區(qū)老年人中，需要關(guān)心的老年人的比例的估量值為eq\f(70,500)×100%＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者供應(yīng)關(guān)心與性別有關(guān)．[一點(diǎn)通]這類問題的解決方法為先確定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再與臨界值相比擬，作出推斷，解題時(shí)留意正確運(yùn)用公式，代入數(shù)據(jù)精確?????計(jì)算．3．統(tǒng)計(jì)推斷，當(dāng)________時(shí)，有95%的把握認(rèn)為大事A與B有關(guān)；當(dāng)________時(shí)，認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示大事A與B是有關(guān)的．解析：當(dāng)χ2>3.841時(shí)，就有95%的把握認(rèn)為大事A與B有關(guān)，當(dāng)χ2≤A與B是有關(guān)的．答案：χ2>3.841χ2≤4．某高校?統(tǒng)計(jì)初步?課程的老師隨機(jī)調(diào)查了選該課的同學(xué)的一些狀況，詳細(xì)數(shù)據(jù)如下表：是否統(tǒng)計(jì)專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720那么χ2≈________，有________的把握判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)．解析：χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,20×30×23×27)≈4.844>3.841，故有95%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)．答案：4.84495%5．為了解某班同學(xué)寵愛打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：寵愛打籃球不寵愛打籃球總計(jì)男生5女生10總計(jì)50在全班50人中隨機(jī)抽取1人抽到寵愛打籃球的同學(xué)的概率為eq\f(3,5).(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)試問：寵愛打籃球是否與性別有關(guān)？說明你的理由．解：設(shè)“寵愛打籃球〞為大事A，由P(A)＝eq\f(3,5)，得寵愛打籃球的人數(shù)為50×eq\f(3,5)＝30.所以寵愛打籃球的男生有20人，據(jù)此可求得不寵愛打籃球的女生有15人．(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：寵愛打籃球不寵愛打籃球總計(jì)男生20525女生101525總計(jì)302050(2)∵χ2＝eq\f(50×20×15－10×52,30×20×25×25)≈8.333>6.635，∴有99%的把握認(rèn)為寵愛打籃球與性別有關(guān)．性檢驗(yàn)的根本步驟：1．列出2×2列聯(lián)表．2．求出χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ca＋bb＋dc＋d).3．推斷是否有關(guān)聯(lián)，得出大事有關(guān)的可能性大?。?．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到下表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(χ2≥k)k參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．有99.9%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)〞B．有99.9%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)〞C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)和性別有關(guān)〞D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)和性別無關(guān)〞解析：選C由于χ2≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為有關(guān)．2．兩個(gè)分類變量X和Y,值域分別為{x1，x2}和{y1，y2},其樣本頻數(shù)分別是a＝10,b＝21,c＋d＝35.假設(shè)X與Y有關(guān)系的可信程度不小于95%,那么c等于()A．3 B．7C．5 D．6解析：選A列表如下：x1x2總計(jì)y1102131y2cd35總計(jì)10＋c21＋d66故χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥3.841.把選項(xiàng)A、B、C、D代入驗(yàn)證可知選A.3．某人討論中同學(xué)的性別與成果、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中同學(xué)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，那么與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是()表1成果性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正常總計(jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652A．成果 B．視力C．智商 D．閱讀量解析：選D由于χeq\o\al(2,1)＝eq\f(52×6×22－14×102,16×36×32×20)＝eq\f(52×82,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(52×4×20－16×122,16×36×32×20)＝eq\f(52×1122,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(52×8×24－12×82,16×36×32×20)＝eq\f(52×962,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,4)＝eq\f(52×14×30－6×22,16×36×32×20)＝eq\f(52×4082,16×36×32×20)，那么有χeq\o\al(2,4)>χeq\o\al(2,2)>χeq\o\al(2,3)>χeq\o\al(2,1)，所以閱讀量與性別關(guān)聯(lián)的可能性最大．4．在討論性別與吃零食這兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系時(shí)，以下說法中正確的序號(hào)是________．①假設(shè)χ2>6.635，那么我們有99%的把握認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系，那么在100個(gè)吃零食的人中必有99人是女性；②由性檢驗(yàn)可知，在有99%的把握認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時(shí)，假如某人吃零食，那么此人是女性的可能性為99%；③由性檢驗(yàn)可知，在有99%的把握認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時(shí)，是指每進(jìn)行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯(cuò)誤．解析：χ2是指確定有多大的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量吃零食與性別有關(guān)系〞的隨機(jī)變量值，所以由性檢驗(yàn)可知，當(dāng)有99%的把握認(rèn)為吃零食與性別有關(guān)系時(shí)，是指每進(jìn)行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯(cuò)誤，故填③.答案：③5．以下是關(guān)于誕生男嬰與女嬰調(diào)查的列聯(lián)表：晚上白天總計(jì)男嬰45AB女嬰E35C總計(jì)98D180那么A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.解析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B＝45＋47＝92.C＝E＋35＝88.答案：47928882536．為探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照耀小白鼠，在照耀后14天內(nèi)的結(jié)果如下表所示.死亡存活總計(jì)第一種劑量141125其次種劑量61925總計(jì)203050在討論小白鼠的死亡與劑量是否有關(guān)時(shí)，依據(jù)以上數(shù)據(jù)求得χ2≈________.解析：χ2＝eq\f(5014×19－6×112,20×30×25×25)≈5.333.答案：7．在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外的27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外的33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；(2)能否有95%的把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系．解：(1)2×2列聯(lián)表為：休閑方式性別看電視運(yùn)動(dòng)總計(jì)女432770男213354總計(jì)6460124(2)由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算χ2＝eq\f(124×43×33－27×212,70×54×64×60)≈6.201.由于6.201>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)〞．8．某地區(qū)甲校高二班級(jí)有1100人，乙校高二班級(jí)有900人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二班級(jí)在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成果，采納分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果，如表．(本次測(cè)試合格線是50分，兩校合格率均為100%)甲校高二班級(jí)數(shù)學(xué)成果：分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)10253530x乙校高二班級(jí)數(shù)學(xué)成果：分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)153025y5(1)計(jì)算x，y的值，并分別估量以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成果的平均分(精確到1分)；(2)假設(shè)數(shù)學(xué)成果不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，依據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并答復(fù)能否有95%的把握認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成果有差異〞？分類甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)解：(1)依題意，知甲校應(yīng)抽取110人，乙應(yīng)抽取90人，所以x＝10，y＝15.甲校的平均分為eq\f(1,110)×(55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10)≈75.乙校的平均分為eq\f(1,90)×(55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5)≈71.(2)數(shù)學(xué)成果不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表如下：分類甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀402060非優(yōu)秀7070140總計(jì)11090200所以χ2＝eq\f(200×40×70－20×702,110×90×60×140)≈4.714，又由于4.714>3.841，故有95%的把握認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成果有差異〞．9．某同學(xué)對(duì)其30位親屬的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用如下圖的莖葉圖表示他們的飲食指數(shù)(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為