新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章三角函數(shù)重點(diǎn)難點(diǎn)歸納總結(jié)

第五章三角函數(shù)

5.1任意角和弧度制.....................................................2

5.1.1任意角........................................................2

5.1.2弧度制........................................................8

5.2三角函數(shù)的概念....................................................14

5.2.1三角函數(shù)的概念...............................................14

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系......................................21

5.3誘導(dǎo)公式...........................................................27

第一課時(shí)誘導(dǎo)公式二、三、四......................................27

第二課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六..........................................32

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)..............................................36

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象....................................36

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)....................................41

第一課時(shí)正、余弦函數(shù)的周期性與奇偶性.......................41

第二課時(shí)正、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值.........................48

5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象........................................53

5.5三角恒等變換......................................................58

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式............................58

第一課時(shí)兩角差的余弦公式....................................58

第二課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦公式.........................62

第三課時(shí)兩角和與差的正切公式................................68

第四課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切公式.......................72

5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換..........................................76

5.6函數(shù)y=Asin（3x+（p）.............................................................................................81

5.6.1勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型......................................81

5.6.2函數(shù)y=Asin（3x+<p）的圖象...................................81

第一課時(shí)函數(shù)y=Asin（3x+<p）的圖象及變換......................81

第二課時(shí)函數(shù)y=Asin（3x+.）圖象與性質(zhì)的應(yīng)用..................85

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用....................................................89

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

知識(shí)點(diǎn)一任意角的概念

1.角的概念

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

2.角的表示§

如圖，①始邊：射線的起始位置。4;\

②終邊：射線的終止位置0&VL________

OA

③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)。；

④記法：圖中的角a可記為“角a”或“N。”或“NAOB”.

3.角的分類(lèi)

名稱(chēng)定義圖形

一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成

正角

的角

一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成

負(fù)角

的角

零角一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角A⑻

1.當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就被確定了嗎？

提示：不是的.雖然始、終邊確定了，但旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小（旋轉(zhuǎn)圈

數(shù)）并沒(méi)有確定，所以角也就不能確定.

2.正角、負(fù)角、零角是根據(jù)什么區(qū)分的？

提示：根據(jù)組成角的射線的旋轉(zhuǎn)方向.

1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“義”）

⑴小于90°的角都是銳角.（）

（2）終邊與始邊重合的角為零角.（）

（3）大于90°的角都是鈍角.（）

(4)將時(shí)鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是120°.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X

2.下列說(shuō)法正確的是()

A.最大的角是180°B.最大的角是360。

C.角不可以是負(fù)的D.角可以是任意大小

答案：D

3.下圖中從OA旋轉(zhuǎn)到OB,OB\,O&時(shí)所成的角度分別是

知識(shí)點(diǎn)二角的加法

1.若兩角的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱(chēng)。=6.

2.設(shè)a,尸是任意兩個(gè)角，把角a的終邊旋轉(zhuǎn)角尸，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是

a+B.

3.相反角：把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫

做互為相反角,角a的相反角記為n，a—B=a+(—B).

下列所示圖形中，/=a+￡的是；y=a一尸的是

①②③④

解析：在①中，a與7的始邊相同，a的終邊為用的始邊，￡與y的終邊相

同，所以y=a+￡.

在②中，a與7的始邊相同，a的終邊為一夕的始邊，一夕與〉的終邊相同，

所以y=ot+(—/?)=?—//.

同理可知，③中y=a—[i,④中y=a+K

答案：①④②③

知識(shí)點(diǎn)三象限角與終邊相同的角

1.象限角

在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與左軸的非負(fù)半軸

重合，那么，角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在

坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

2.各象限角的集合

象限角象限角a的集合表示

第一象限角{a|^360°<a<%?360°+90°,k^Z}

第二象限角[a\k-360°+90°<a<k-360°+180°,k^Z]

第三象限角{a|^360°+180°<a<k-360°+270°,k^Z}

第四象限角{a\k-360°+270°<a4?360°+360°,k&Z}

3.終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={/3\0=a+

A360°,ZGZ},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角

的和.

對(duì)集合S={SW=a+%-360°,k￡Z}的理解

(1)角a為任意角，“％eZ”不能省略；

(2)^360°與a中間要用"+”連接，、?360°-a可理解成k360°+(-a)；

(3)相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角有

無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.

1.判斷正誤.(正確的畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“義”)

(1)終邊相同的角一定相等.()

(2)-30°是第四象限角.()

(3)第二象限角是鈍角.()

(4)225°是第三象限角.()

答案：⑴義(2)V(3)X(4)V

2.與610°角終邊相同的角表示為(其中AdZ)()

A.k?360°+230°B.k?360°+250°

C.k-360°+70°D.k-180°+270°

答案：B

3.-179°角是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案：c

題型一任意角的概念

［例1］(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A.銳角都是第一象限角

B.第一象限角一定不是負(fù)角

C.小于180°的角是鈍角、直角或銳角

D.在90°Wf<180°范圍內(nèi)的角夕不一定是鈍角

［解析］銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限

角，所以A正確；

-350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以B錯(cuò)誤；

0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以C錯(cuò)

、口

沃：

由于在90?；颉?lt;180°范圍內(nèi)的角￡包含90°角，所以不一定是鈍角，所

以D正確.

［答案］AD

理解與角的概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵

關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，弄清角

的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷

結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需要舉一個(gè)反例即可.

題型二終邊相同的角的表示

［例2］(鏈接教科書(shū)第170頁(yè)例2)已知角a=2021°.

(1)把a(bǔ)改寫(xiě)成k360°+￡(ZdZ,0°W￡V360°)的形式，并指出它是第

幾象限角；

(2)求仇使。與a終邊相同，且一360°W，<360°；

(3)求與a終邊相同的最大負(fù)角與最小正角.

［解］⑴由2021°除以360°,得商為5,余數(shù)為221°,二取左=5,￡=

221°,則a=5X360°+221°.又4=221°是第三象限角，，a為第三象限角.

(2)與2021°角終邊相同的角為/360°+2021°,々GZ.令一360°W

k?3600+2021°<360°,kGZ,...左可取一6,-5,將女的值代入上3600+

2021°中，得角。為一139°,221°.

(3)由(2)知，與a終邊相同的最大負(fù)角是一139°,最小正角是221°.

終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論

(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍；

(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；

(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.

題型三象限角的判定

［例3］(鏈接教科書(shū)第170頁(yè)例1)(1)(多選)在①160°；②480°；③一960°；

@15300這四個(gè)角中，是第二象限角的是()

A.①B.②

C.③D.@

［解析］第二象限角a需滿足k360°+90°<a<k-360°+180°,kGZ,

分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角：④不是第二象

限角.故選A、B、C.

［答案］ABC

a

(2)已知a是第二象限角，求角下所在的象限.

［解］?.%是第二象限角，

：.k-360°4-90°<a<k-360°+180°/eZ).

/.1?360°+45°<y<1?360°+90°(MZ).

當(dāng)女為偶數(shù)時(shí)，令&=2〃(〃eZ),得

n-360°+45°<y<n?360°+90°,

這表明方■是第一象限角；

當(dāng)女為奇數(shù)時(shí)，令％=2〃+l(〃eZ),得

n-360°+225°<y<?-360°+270°,

這表明日是第三象限角.

.《為第一或第三象限角.

［母題探究］

1.(變?cè)O(shè)問(wèn))在本例(2)的條件下，求角2a的終邊的位置.

解：?.七是第二象限角，

...攵?360°+90°<a<攵?360°+180°(ZCZ).

.,.k*720°+180°<2a<k*720°+360°(MZ).

...角2a的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.

2.(變條件)若將本例(2)中的“第二象限”改為“第一象限”，如何求解?

解:"360°<a<k-360°+90°gZ),

：.k-180°<-^<k?180°+45°

當(dāng)々=2〃(“GZ)時(shí)，n?360°<y<??360°+45°,

..."y是第一象限角.

當(dāng)女=2〃+l(”eZ)時(shí)，

n?360°+180°<y</??360°+225°,

...￡■是第三象限角.

■是第一或第三象限角.

1.給定一個(gè)角判斷它是第幾象限角的思路

判斷角a是第幾象限角的常用方法為將a寫(xiě)成4十%?360°(其中k《Z,￡

在0°?360°范圍內(nèi))的形式，觀察角夕的終邊所在的象限即可.

2.分角、倍角所在象限的判定思路

(1)求解的思維模式應(yīng)是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住內(nèi)在聯(lián)系，確

定解題方略；

(2)由a的象限確定2a的象限時(shí)，應(yīng)注意2a可能不再是象限角，對(duì)此特殊情

況應(yīng)特別指出.如a=135°,而2a=270°就不再是象限角.

5.1.2弧度制

知識(shí)點(diǎn)一度量角的兩種制度

角定義用度作為單位來(lái)度量角的單位制

度度

11度的角等于周角的擊，記作1°

制的角

弧定義以弧度為單位來(lái)度量角的單位制

度1弧度長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的

制的角角.1弧度記作1rad(rad可省略不寫(xiě))

1.用瓠度為單位表示角的大小時(shí)，“瓠度”或“rad”可以略去不寫(xiě)，只寫(xiě)這

個(gè)角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)即可.

2.不管是以弧度還是以度為單位度量角的大小，都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)

的定值.

知識(shí)點(diǎn)二角度制與弧度制的換算

1.弧度數(shù)的計(jì)算

2.弧度與角度的換算

1.一個(gè)角的度數(shù)是否對(duì)應(yīng)一個(gè)弧度數(shù)？

提示：是.一個(gè)給定的角，其度數(shù)和弧度數(shù)都是唯一確定的.

2.在大小不同的圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角相等嗎？

提示：不相等.這是因?yàn)殚L(zhǎng)度為1的弧是指弧的長(zhǎng)度為1,在大小不同的圓

中，由于半徑不同，所以圓心角也不同.

1.判斷正誤.(正確的畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“義”)

(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位.()

(2)用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān).()

(3)1°的角是周角的擊，1rad的角是周角的會(huì).()

(4)1rad的角比1°的角要大.()

答案：(1”(2)X(3)V(4)7

2.(多選)下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是()

A.60°化成弧度是亍

B.一￥九化成度是一600°

7

C.一150°化成弧度是一石九

D.今化成度是15°

答案：ABD

知識(shí)點(diǎn)三扇形的弧長(zhǎng)和面積公式

設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為/,a(0<a<2”)為其圓心角，則

(1)弧長(zhǎng)公式：/=盛；

(2)扇形面積公式：S=glR=gaR?.

在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式時(shí)，要注意a的單位是“弧度”，而不是

“度”，若已知角是以“度”為單位的，則應(yīng)先化成“弧度”，再代入計(jì)算.

1.判斷正誤.(正確的畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”)

(1)扇形的半徑為1cm,圓心角為30°,則扇形的弧長(zhǎng)/=r|a1=1X30=

30(cm).()

(2)圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，而弧長(zhǎng)也增加到原來(lái)的2倍，弧長(zhǎng)所對(duì)的扇形

的面積不變.()

答案：(1)X(2)X

JI-

2.已知扇形的半徑r=30,圓心角a=不，則該扇形的弧長(zhǎng)等于,

面積等于.

答案：5n75n

題型一角度與弧度的換算

［例1］(鏈接教科書(shū)第173頁(yè)例4)將下列角度與弧度進(jìn)行互化:

5117n

(l)-^-n;⑵一五;(3)10°；(4)-855°.

［解］(1)空'n=*'><180°=15330°.

7n7

(2)一17=一正義180。=-105°.

nn

⑶10。=10乂而=而

。n19n

(4)-855°=-855Xy^=--

角度制與弧度制的互化原則和方法

(1)原則：牢記180°=nrad,充分利用1°=念rad和1rad=(號(hào)卜進(jìn)

1OVVJL/

行換算；

(2)方法：設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)為〃。，則。rad=(a?￥)°；〃°

JI

=〃.而rad.

［注意］用“弧度”為單位度量角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫(xiě)成多少TT的形式，如

無(wú)特別栗求，不必把n寫(xiě)成小數(shù).

題型二用弧度制表示角的集合

［例2］(鏈接教科書(shū)第175頁(yè)練習(xí)3題)把下列角化成2女n+a(0Wa<2n，

ZGZ)的形式，指出它是第幾象限角并寫(xiě)出與a終邊相同的角的集合.

46n

(1)--;(2)-1485°.

［解］(1)一誓'=-8X2n+等，它是第二象限角，與半終邊相同的角的

集合為，aa=2攵n+4-,左

7n

(2)-1485°=-5X360°+315°=-10n+—,

它是第四象限角，與岑-終邊相同的角的集合為|aa=2攵口+與\kRZ

弧度制下與角a終邊相同的角的表示

在弧度制下，與角a的終邊相同的角可以表示為{夕族=2An+a,k^Z},即

與角a終邊相同的角可以表示成a加上2Ji的整數(shù)倍.

［注意］（1）注意角度與弧度不能混用；

（2）各終邊相同的角需加2Z”，—Z.

題型三扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式的應(yīng)用

［例3］（鏈接科書(shū)第174頁(yè)例6）若扇形的面積是4cm2,它的周長(zhǎng)是10cm,

則扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）

A-2

<4

［解析］設(shè)扇形的半徑為r,圓心角為a（0VaV2n）,

①

由題意,

l2r+ra=10,②

由②得，r=o_j_,③

2十a(chǎn)

把③代人①，得2a2—17a+8=0.

解得a=2或a=8（舍去）.

故扇形圓心角的弧度數(shù)為:.

［答案］A

關(guān)于弧度制下扇形問(wèn)題的解決方法

（1）三個(gè)公式：|a|=:,5=］尸=3。7，要恰當(dāng)選擇公式，建立未知量、已知

量間的關(guān)系，通過(guò)解方程（組）求值;

（2）弧長(zhǎng)、面積的最值：利用圓心角的弧度數(shù)、半徑表示出弧長(zhǎng)（面積），利用

函數(shù)知識(shí)求最值，一般利用二次函數(shù)的最值求解.

扇形的弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用

如圖，點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A（4,0）同時(shí)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P

JIJT

按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)至，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)至.

［問(wèn)題探究］

1.點(diǎn)P,。第一次相遇時(shí)用了多少秒？

提示：設(shè)點(diǎn)P,。第一次相遇所用的時(shí)間是fs,則力/+/?—=2n,

解得f=4,，第一次相遇時(shí)用了4s.

2.點(diǎn)P,Q第一次相遇時(shí)各自走過(guò)的弧長(zhǎng)是多少？

4n

提示：第一次相遇時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到角飛-的終邊與圓相交的位置，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)

到角一早的終邊與圓相交的位置，

.?.點(diǎn)P走過(guò)的弧長(zhǎng)為寫(xiě)"?4=-^n~,點(diǎn)Q走過(guò)的弧長(zhǎng)為|一胃］X4=^~.

3.若點(diǎn)Q也按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)，則點(diǎn)P,。第一次相遇時(shí)用了多少秒？

提示：設(shè)點(diǎn)P,Q第一次相遇的時(shí)間為ts,則［三一/弓=2n,解得t=12s.所

以第一次相遇時(shí)用了12s.

［遷移應(yīng)用］

某時(shí)針的秒針端點(diǎn)A到中心。的距離為5cm,秒針均勻地繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，當(dāng)

時(shí)間1=0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合.設(shè)秒針端點(diǎn)A轉(zhuǎn)過(guò)的路程為"cm,

所形成的扇形面積為Sen?,分別求d與S關(guān)于時(shí)間*s）的函數(shù)，其中度［0,60］.

解：?.?秒針的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，

.,"s后秒針端點(diǎn)A轉(zhuǎn)過(guò)的角a=-Vrad,

...秒針端點(diǎn)A轉(zhuǎn)過(guò)的路程為d=|a|.r=w（cm）,

，形成的扇形面積為S=^|a|?r=^^(cm2),

nt5nt

?"-go,60]),S=RgO,60]).

5.2三角函數(shù)的概念

5.2.1三角函數(shù)的概念

知識(shí)點(diǎn)一任意角的三角函數(shù)的定義

如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角，aGR,

條件它的終邊0P與單位圓交于點(diǎn)P(x,

y)",

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做a的正弦函數(shù),記作sin%即y=

正弦

sin_。

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù),記作cosa,即X=

余弦

cos_a

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值;叫做。的正切，記作tan

定義正切

a,即:=tan_。(冗#0)

正弦函數(shù)曠=5抽*,XGR；

三角

余弦函數(shù)》=85%，xCR；

函數(shù)

正切函數(shù)^=1211%，xWg+A”，kGZ

三角函數(shù)的定義

(1)三角函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，符合函數(shù)的定義，是由角的集合(弧度數(shù))到一個(gè)比

值的集合的函數(shù);

(2)三角函數(shù)值實(shí)質(zhì)是一個(gè)比值，因此分母不能為零，所以正切函數(shù)的定義域

就是使分母不為零的角的集合.

1.判斷正誤.(正確的打“，錯(cuò)誤的打“義”)

(l)sin。表示sin與a的乘積.()

(2)如圖所示，sina=y.(

(3)終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值為0.()

答案：⑴X(2)X(3)X

a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一半，一則sina=,cosa=

答案：一義_^3吏

一23

知識(shí)點(diǎn)二三角函數(shù)值的符號(hào)

如圖所示：

余弦：一四象限正,二三象限負(fù);

正切：一三象限正,二四象限負(fù).

簡(jiǎn)記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

1.判斷正誤.(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)若a是三角形的內(nèi)角，則必有sina>0.()

⑵若sin。>0,則a是第一或第二象限角.()

答案：(1)J(2)X

2.若sin"0且cos。<0,則角a為第象限角.

答案：三

知識(shí)點(diǎn)三誘導(dǎo)公式一

終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相簽，由此得到一組公式:

sin(a+/?2n)=sina,

cos(a+/2n)=cosa,

tan(a+Z?2n)=tana,

其中k《Z.

根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？

提示：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

誘導(dǎo)公式一的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

(1)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是函數(shù)名相同，左邊角為a+2An,右邊角為a；

(2)由公式一可知，三角函數(shù)值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角的終邊每繞

原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)；

(3)此公式也可以記為：sin(a+A?360°)=sina,cos(a+^-360°)=cosa,

tan(a+A?360°)=tana.其中乙

題型一三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

[例1](鏈接教科書(shū)第179頁(yè)例2)(1)在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸的非負(fù)半

軸為角的始邊，如果角a,￡的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)借，總和(T號(hào)，

那么sinQcos￡=()

363

A--65B--百

c448

C13D65

⑵設(shè)a<0,角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(-3a,4a),那么sina+2cosa

的值等于()

22

-

5-5-

A.B.

C11

-D.

5-5-

［解析］⑴???角a,￡的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)(H，總和(一|,野,

53

故由定義知sin。=百，cos￡=一予

5/3、3

/.sinacos￡=百*(一習(xí)=一百.

(2)；點(diǎn)尸在單位圓上，則|OP|=1.

即yj(-3a)2+(4a)2=1,解得a=±g.

..八

?Q<0,??〃=-g1.

P點(diǎn)的坐標(biāo)為修一］).

..43

..sina=一1cosa=亍

sina+2cosa=--+2X-=^.

［答案］(1)B(2)A

利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值有以下幾種情況：

(1)若已知角a終邊上一點(diǎn)P(x,y)是單位圓上的點(diǎn)(有時(shí)此點(diǎn)的坐標(biāo)需求出),

y

則sina=y,cosa=九，tana='(xW0);

(2)若已知角a終邊上一點(diǎn)P(x,y)不是單位圓上的點(diǎn)，則首先求r=ylx2+y2,

貝!］sina=：，cosa=*tana=*x#0)；

(3)終邊在已知直線(射線)上，可以在直線(射線)上取兩個(gè)(一個(gè))點(diǎn)，再利用定

義求解；

(4)參數(shù)問(wèn)題：若點(diǎn)的坐標(biāo)，角的三角函數(shù)值中含有字母，則需要注意字母是

否需要分類(lèi)討論.

題型二三角函數(shù)值符號(hào)的判定

［例2］(鏈接教科書(shū)第180頁(yè)例3、第181頁(yè)例4)(1)已知點(diǎn)P(tana,cosa)

在第三象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)sin285°?cos(-105°)0(填或

tana<0,

［解析］(1)依題意得,八

cosa<0.

由tanaVO知，a是第二、四象限角.當(dāng)a是第二象限角時(shí)，cosaV0,

符合題意；

當(dāng)a是第四象限角時(shí)，cosa>0,不符合題意.故選B.

(2)因?yàn)?85°是第四象限角，所以sin285°<0.因?yàn)橐?05°是第三象限角，

所以cos(-105°)<0.所以sin285°?cos(-105°)>0.

［答案］(1)B(2)>

正弦、余弦函數(shù)值的正負(fù)規(guī)律

［例3］(鏈接教科書(shū)第181頁(yè)例5)求下列各式的值.

25n(15n

(1)cos-飛~+tanl

(2)sin420°cos750°+sin(—690°)cos(—660°).

［解］(1)因?yàn)閏os-^jcos|nn1

萬(wàn)+8n=cos-y=2,

TT

—4n+￡=tany=l,

所以COS-

(2)因?yàn)閟in420°=sin(360°+60°)=sin60°=為,

A

cos750°=cos(2X360°+30°)=cos30。=彳，

sin(-690°)=sin(-2X360°+30°)=sin30°=1,

cos(-660°)=cos(-2X360°+60°)=cos60°=g,

所以sin420°cos750°+sin(—690°)cos(—660°)=坐義率+；xg=1.

利用誘導(dǎo)公式求解任意角的三角函數(shù)值的步驟

將已知的任意角寫(xiě)成2An+a的形式，其中ae

[0,2n）,fcGZ

根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角a的某個(gè)三角函數(shù)值

若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)在單位圓中的幾何表示及應(yīng)用

設(shè)角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于

點(diǎn)P,如圖①，過(guò)點(diǎn)P作垂直x軸于點(diǎn)作PN垂直y軸于點(diǎn)N,則點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（cosa,sina）,其中cosa=OM,sina=ON,即角a的余弦和正

弦分別等于角a的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).以A為原點(diǎn)建立軸與

y軸同向，V軸與a的終邊（或其反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)八或7），如圖②，則tan

a=AT（或AT）.

我們把有向線段OM,ON和AT（或A7）分別叫做a的余弦線、正弦線和正切

線，它們分別是余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)的一種幾何表示.

［問(wèn)題探究］

1.設(shè)角a=xrad,且04〈受，于是尤，sinx,tanx都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)你給》一

個(gè)具體的值，比較三個(gè)實(shí)數(shù)的大小.

提示：我們先給x一個(gè)具體的值來(lái)進(jìn)行比較：取x=￡,則sinx=g,tan尤

亞cJ3nnnn近273nnn

》石，所以《〉不.從而

3?因?yàn)榱瞬挥谒詓in不<8.又tand=3=6tan

nnnn,

可彳于sin^v^vtan不.即當(dāng)尤=不時(shí)sinx<x<tanx.

2.你在第1問(wèn)中得到的大小關(guān)系是否對(duì)區(qū)間（0,高上的任意x都成立？

提示：設(shè)角a的頂點(diǎn)與圓心。重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單

位圓相交于點(diǎn)P,如圖所示.過(guò)點(diǎn)P作尸M_Lx軸于點(diǎn)M,過(guò)x軸正半軸與以坐

標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓的交點(diǎn)A作該單位圓的切線AT,交a的終邊于點(diǎn)T,連

接AP,則MP=sinx,AT=tanx,S^OAP<SMAOP<S^OAT.

因?yàn)镾^OAP=2OA*MP=]sinx,

,1

S扁段A。

SAOAT=/OA,AT=^tanx,

"」.

所以5smx<^1A1<^tanx,

即sinjc<x<tanx.

因此當(dāng)Xd[o,-y

時(shí)，sinx<x<tanx.這在后面的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用至L

［遷移應(yīng)用］

在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角a的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角a的集合.

(l)sina

（2）cosaW-g.

解：（1）如圖①所示，作直線丁=為-交單位圓于A,B兩點(diǎn)、,連接04,0B,

則QA與08圍成的區(qū)域（陰影部分）即為角a的終邊的范圍.

故滿足條件的角a的集合為

fn2n1

ja2kn+了Wa<2ZTTZWZ卜

OC與OD圍成的區(qū)域（陰影部分）即為南a的終邊的范圍.故滿足條件的角a的

2n4n

集合為ja2ZTTaW2Zn+^~,k^Z.

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

關(guān)系式文字表述

平方sin2a+cos2a=

同一個(gè)角a的正弦、余弦的平方和等于1

關(guān)系1

商數(shù)sinQ

-tan.Q同一個(gè)角a的正弦、余弦的畫(huà)等于角a的正切

關(guān)系cosa

基本關(guān)系式的變形公式

sin2o=1-cos2a,

cos2a=1—sin2a,

{(sin。土cosa)2=l±2sinacosa.

sino=tanacosa,

sina

cosQ=-------.

{tana

1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“J”，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”）

(1)對(duì)Vx￡R,sin24x+cos24x=1.()

einx

(2)對(duì)V九GR，tanx=^^.()

⑶若cosa=0,則sina=1.()

答案：(1)V(2)X⑶X

2.化簡(jiǎn)的結(jié)果是()

JIJI

A.cos~^~B.—cos-y

JIJI

C.sin^-D.—sin-^-

答案：A

5(3吟

3.已知cosa=一百，則tana=

ug12

答案：T

4.化簡(jiǎn)：(1+tar?a>cos2a等于.

答案：1

題型一利用同角基本關(guān)系式求值

角度一已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值

［例1］(鏈接教科書(shū)第183頁(yè)例6)(1)已知sina=g,求cosa,tana的

值；

⑵已知tana=2,求cos。的值.

［解］(l)Vsina=￡>0,a是第一或第二象限角.

當(dāng)a為第一象限角時(shí)，cosa=J1—sin2a=\11tana=‘訪°

v\j255cosa

水

=12：

當(dāng)a為第二象限角時(shí)，cosa=-2羋，tana=一建.

sina_

=2,①

cosa

{sin2a+cos2a=1,②

由①得sina=2cosa代入②得4cos2a+cos2ct=\,

1f3nA

.??8鏟9口=予又,/.cosa<0,

?.?cosa——亞5.

求三角函數(shù)值的方法

(1)已知sin。（或cos9）求tan。常用以下方法求解:

-*^ccs2e=1-sWej—

sin2o+cos2o=l)—sine

—?tanGcosO

Tsir?8=1-cos28j—

（2）已知tan。求sin。（或cos。）常用以下方法求解:

［注意］當(dāng)角。的范圍不確定且涉及開(kāi)方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題而

對(duì)角。分區(qū)間(象限)討論.

角度二已知tana的值，求關(guān)于sina,cosa齊次式的值

［例2］已知tana=2.

阜布a—3cosa

⑴求.sin耳cosa的值;

⑵求Zsi/a—sinacosa+cos?。的值.

［解］⑴法一（代入法）：Jana=2,

sina

/.-------=2,/.sina—2cosa,

cosa

?_si_n__a__-_3_c_o_s__a____2_co_s__a__—__3_c_o_s__a1

??sina+cosa2cosa+cosa3,

法二（弦化切）：Vtana=2.

sina

——3

.sina-3cosacosa_____tana-32—3

,?sina+cosasinatana+12+13

--------+1

cosa

（2）2sin2a—sinacosa4-cos2a

2sin：a-sinacosa+cos2a

sin2a+cos2a

_2tan'a-tana+1_2X4-2+1_7

=tan2a+1=—4+1—=亍

已知角a的正切求關(guān)于sina,cosa的齊次式的方法

(1)關(guān)于sina,cosa的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sina,cosa

的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為〃次，將分子、分母同除以cos。的〃次嘉,

其式子可化為關(guān)于tana的式子，再代入求值；

(2)若無(wú)分母時(shí)，把分母看作1,并將1用sida+cos2a來(lái)代換，將分子、分

母同除以cos?。，可化為關(guān)于tana的式子，再代入求值.

題型二sinaicos。與sinacos。關(guān)系的應(yīng)用

［例3］已知sina+cosa=-0<a<n.

⑴求sinacos。的值；

⑵求sinci—cos。的值.

［解］⑴由sina+cosQ=-g得(sina+coscz)2=^,

sin2a+2sin(7cosa+cos2a=^,sinacosa=-9-

(2)因?yàn)镺VaVn,sinacosa<0,

所以sina>0,cosa<0=>sina—cosa>0.

17

(sina-cosa)9-=l-2sinacosa=豆，

V17

所以sina—cosa=七一.

sinci+cosa,sino—coso,sin^cos。三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，

可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin<z±cosQ)2=l±2sin

acos。.

［注意］求sina+cos?；騭ina—cos。的值，要注意根據(jù)角的終邊位

置，利用三角函數(shù)線判斷它們的符號(hào).

題型三利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)與證明

角度一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

sinasina

［例4］(鏈接教科書(shū)第184頁(yè)練習(xí)4題)化簡(jiǎn)....-；―----

1+sinQ1—sina

sinasina

'I1+sina1—sina

sina(1—sina)—sina(1+sina)

(1+sina)(1—sina)

-2sin2a—2sin2a

2tan2a.

1—sin2acosz2a

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧

⑴化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱(chēng)，達(dá)到

化繁為簡(jiǎn)的目的;

(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到

化簡(jiǎn)的目的；

(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造si/a+cos2

a=l,以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

角度二三角恒等式的證明

4、丁l+2sinacosatan+1

[例；

5]ilk~2sin-。—c2osa=7tana7—.1

sirr2Q+cos?a+2sinQCOSQ

［證明］法一：左邊=

sin2a—cos2a

(sina+cosa)2sina+cosatana+1右、力

sin2a-cos2asina—cosatana—1,

所以等式成立.

sma,

，、「-c-o-s---a-+1s.ina+?cosa

法二:右邊=~;=~

sinasina-cosa

--------1

cos