新教材人教A版必修第二冊(cè)第8章842空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案

.2學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解空間中兩條直線的三種位置關(guān)系，理解兩異面直線的定義，會(huì)用平面襯托來(lái)畫異面直線．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．了解直線與平面的三種位置關(guān)系，并會(huì)用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表示．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3．了解不重合的兩個(gè)平面之間的兩種位置關(guān)系，并會(huì)用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表示．(難點(diǎn))1．通過空間中兩條直線的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培育直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，提升規(guī)律推理的核心素養(yǎng)．觀看你所在的教室．問題：(1)教室內(nèi)同一列的燈管所在的直線是什么位置關(guān)系？(2)教室內(nèi)某燈管所在的直線和地面是什么位置關(guān)系？(3)教室內(nèi)某燈管所在的直線和黑板左右兩側(cè)所在的直線是什么位置關(guān)系？(4)教室內(nèi)黑板面和教室的后墻面是什么位置關(guān)系？學(xué)問點(diǎn)1空間中直線與直線的位置關(guān)系1．異面直線(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫法：假如直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖．①②2．空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)1．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線肯定是異面直線嗎？[提示]不肯定．可能平行、相交或異面．1．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面D[由于空間兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面，那么不平行的兩條直線的位置關(guān)系是相交或異面．]2．如圖，觀看正方體ABCD-A1B1C1D1，推斷以下直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C②直線A1B與直線B1C③直線D1D與直線D1C④直線AB與直線B1C①平行②異面③相交④異面[直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1內(nèi)，且沒有交點(diǎn)，那么兩直線平行，所以①應(yīng)當(dāng)填“平行直線D1D與直線D1C相交于點(diǎn)D1，所以③應(yīng)當(dāng)填“相交點(diǎn)A1，B，B1在平面A1BB1內(nèi)，而點(diǎn)C不在平面A1BB1內(nèi)，那么直線A1B與直線B1C同理，直線AB與直線B1C異面，所以②④應(yīng)當(dāng)填“異面〞．學(xué)問點(diǎn)2直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)很多個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示2．“直線與平面不相交〞與“直線與平面沒有公共點(diǎn)〞是一回事嗎？[提示]不是．前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種狀況，而后者僅指直線與平面平行．3．直線a在平面γ外，那么()A．a(chǎn)∥γ B．a(chǎn)與γ至少有一個(gè)公共點(diǎn)C．a(chǎn)∩γ＝A D．a(chǎn)與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn)D[直線a在平面γ外，那么直線a與平面γ平行或相交，因此直線a與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn)．]4．在如下圖的正方體ABCD-A′B′C′D′中，(1)與AB所在直線平行的平面有________個(gè)；(2)與A′B所在直線平行的平面有________個(gè)；(3)與A′D′所在直線相交的平面有________個(gè)．(1)2(2)1(3)2[(1)與AB所在直線平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；(2)與A′B所在直線平行的平面只有平面DCC′D′；(3)與A′D′所在直線相交的平面有平面DCC′D′和平面A′B′BA．]學(xué)問點(diǎn)3兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有很多個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線上)符號(hào)表示α∥βα∩β＝l圖形表示5．以下四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的選項(xiàng)是()ABCD[答案]D6．假設(shè)M∈平面α，M∈平面β，那么α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定B[∵M(jìn)∈平面α，M∈平面β，∴α與β相交于過點(diǎn)M的一條直線．]7．平面α∥平面β，直線a?α，那么a與β的位置關(guān)系是________．[答案]平行類型1利用符號(hào)語(yǔ)言表示位置關(guān)系【例1】(對(duì)接教材P130例1)依據(jù)以下符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α．[解](1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)．(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上．(3)直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q．圖形分別如圖①②③所示．①②③解決此類問題要留意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面之間的位置關(guān)系只能用“∈〞或“?〞，直線與平面之間的位置關(guān)系只能用“?〞或“?〞.用圖形語(yǔ)言表示點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí)，要留意實(shí)線和虛線的區(qū)分.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如下圖，用符號(hào)語(yǔ)言可表述為()A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈nA[平面α與平面β相交于m，所以α∩β＝m；直線n在平面α內(nèi)，所以n?α；直線m與直線n相交于A，所以m∩n＝A．]2．用符號(hào)表示以下圖形中直線、平面之間的位置關(guān)系．圖①圖②[解]圖①中，a?α，b∩α＝A．圖②中，α∩β＝c，a?α，a∥c，b?β，b∩c＝P．類型2空間中兩條直線的位置關(guān)系【例2】如下圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，A．GH＝2EF，且直線EF，GH是相交直線B．GH＝2EF，且直線EF，GH是異面直線C．GH≠2EF，且直線EF，GH是相交直線D．GH≠2EF，且直線EF，GH是異面直線C[設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，那么EF＝eq\f(1,2)A1B＝eq\r(2)，GH＝eq\r(GC2＋CH2)＝eq\r(6)，所以GH≠2EF．設(shè)M，N分別為CC1和A1D1的中點(diǎn)，那么六邊形EFGMHN是過E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)的平面截正方體的截面(圖略)，所以EF與GH是共面直線．由于EF與GH不平行，所以EF與GH是相交直線．應(yīng)選C．]如何推斷兩條直線是平行、相交還是異面？[提示]1．判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去推斷．2．判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：由定義推斷兩直線不行能在同一平面內(nèi)．(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)，那么BE與CF()A．平行 B．異面C．相交 D．以上均有可能B[假設(shè)BE與CF是共面直線，設(shè)此平面為α，那么E，F(xiàn)，B，C∈α，所以BF，CE?α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，與ABCD為空間四邊形沖突，所以BE與CF是異面直線．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與棱AA1A．8條B．6條C．4條D．2條C[正方體共有12條棱，其中與AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3條，與AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4條，因此與棱AA1異面的棱有11－3－4＝4(條)，應(yīng)選C．]類型3空間中直線與平面的位置關(guān)系【例3】(1)假設(shè)直線上有一點(diǎn)在平面外，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．直線上全部的點(diǎn)都在平面外B．直線上有很多多個(gè)點(diǎn)都在平面外C．直線上有很多多個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)(2)以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是()①假如兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條直線也和這個(gè)平面相交；②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線，有一個(gè)平面與另一條直線平行；③兩條相交直線，其中一條與一個(gè)平面平行，那么另一條肯定與這個(gè)平面平行．A．0B．1C．2D．3(1)B(2)C[(1)直線上有一點(diǎn)在平面外，那么直線不在平面內(nèi)，故直線上有很多多個(gè)點(diǎn)在平面外．(2)易知①正確，②正確．③中兩條相交直線中一條與平面平行，另一條可能平行于平面，也可能與平面相交，故③錯(cuò)誤．選C．]直線與平面位置關(guān)系的推斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類推斷問題，常用分類爭(zhēng)論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點(diǎn)在平面α內(nèi)；要證明直線與平面相交，只需說(shuō)明直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)；要證明直線與平面平行，那么必需說(shuō)明直線與平面沒有公共點(diǎn)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])5．兩平面α，β平行，且a?α，以下三個(gè)命題：①a與β內(nèi)的全部直線平行；②a與β內(nèi)很多條直線平行；③a與β無(wú)公共點(diǎn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．0B[①中a不能與β內(nèi)的全部直線平行而是與很多條直線平行，有一些是異面直線；②正確；③依據(jù)定義a與β無(wú)公共點(diǎn)，正確．]類型4平面與平面位置關(guān)系的判定【例4】(1)假如在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線相互平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系肯定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定(2)完成以下作圖：①在圖中畫出一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交．②在圖中分別畫出三個(gè)兩兩相交的平面．1．假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面之間有什么位置關(guān)系？[提示]由于一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都與另一個(gè)平面平行，所以該平面與另一平面沒有公共點(diǎn)，依據(jù)兩平面平行的定義知，這兩個(gè)平面平行．2．平面α內(nèi)有很多條直線與平面β平行，那么α∥β是否正確？[提示]不正確．如圖，設(shè)α∩β＝l，那么在平面α內(nèi)與l平行的直線可以有很多條直線a1，a2，…，an，它們是一組平行線，這時(shí)a1，a2，…，an與平面β都平行，但此時(shí)α不平行于β，而是α∩β＝l．(1)C[逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線，再作出選擇(如下圖)．(2)[解]①如下圖，②如下圖，1．平面與平面的位置關(guān)系的推斷方法(1)平面與平面相交的推斷，主要是以根本領(lǐng)實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)．(2)平面與平面平行的推斷，主要是說(shuō)明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)．2．常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的上下底面平行．(2)長(zhǎng)方體的六個(gè)面中，三組相對(duì)面平行．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])6．三個(gè)平面最多能把空間分為________局部，最少能把空間分成________局部．84[三個(gè)平面可將空間分成4,6,7,8局部，所以三個(gè)平面最少可將空間分成4局部，最多分成8局部．]1．直線a與直線b相交，直線c與直線b相交，那么直線a與直線c的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．以上都有可能D[如下圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB與AA1相交，A1B1與AA1相交，AB∥A1B1；又AD與AA1相交，AB與AD相交；又A1D1與AA1相交，AB與A1D12．A，B，C，D是空間內(nèi)四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC與BD不相交，那么甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[假設(shè)A，B，C，D四點(diǎn)不共面，那么直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；假設(shè)直線AC和BD不相交，當(dāng)直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙的充分不必要條件．]3．假設(shè)a是平面α外的一條直線，那么直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行、相交或異面D[假設(shè)a∥α，那么a與α內(nèi)的直線平行或異面；假設(shè)a與α相交，那么a與α內(nèi)的直線相交或異面．]4．如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，那么表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號(hào))②④[如題干圖①中，GH∥MN．圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直