截長補短類輔助線作法

-.z.截長補短類輔助線作法"截長〞就是將三條線段中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與的另一條線段的數(shù)量關系；"補短〞就是將三條線段中一條的較短的線段延長至與另一條的較短的長度相等，然后證明延長后的線段與最長的線段的數(shù)量關系．注：1、截長補短類輔助線解決的一般是三條線段之間的數(shù)量關系問題，特別要注意線段前系數(shù)不是"1〞的時候，一般會涉及到含特殊角的直角三角形

2、具體在利用截長或者補短構造輔助線時要結合題目條件選擇恰當?shù)姆椒?，并不是所有題目截長和補短都可以例題精講1、如下圖，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．2、：如圖，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有動點P．〔1〕DP⊥BC時〔如圖1〕，求證：；〔2〕DP平分∠BDC時〔如圖2〕，BD、CD、CP三者有何數(shù)量關系？3、中，，、分別平分和，、交于點，試判斷、、的數(shù)量關系，并加以證明．4、〔2014初二上期末昌平區(qū)〕如圖，AD是△ABC的角平分線，點F，E分別在邊AC，AB上，且．〔1〕求證：；〔2〕如果，探究線段AE，AF，F(xiàn)D之間滿足的等量關系，并證明．5、如下圖，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．6、如下圖，正方形ABCD中，M為CD的中點，E為MC上一點，且．求證：．7、五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．8、如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點，且，．求證：9、(2012初二上期中中關村中學)如圖1所示：，AE、DE分別平分和，并交于E點.過點E的直線分別交AM、DN于B、C.

〔1〕如圖2，當點B、C分別位于點AD的同側時，猜測AD、AB、CD之間的存在的數(shù)量關系：_________.〔2〕試證明你的猜測.〔3〕假設點B、C分別位于點AD的兩側時，試寫出AD、AB、CD之間的關系，并選擇一個寫出證明過程.10、〔2012初二上期中北達資源中學〕〔1〕如圖，四邊形ABPC中，，，，求證：．〔2〕如圖，四邊形ABCD中，，，P為四邊形ABCD一點，且，求證：．11、〔2009中考〕數(shù)學課上，教師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此根底上，同學們作了進一步的研究：〔1〕小穎提出：如圖2，如果把"點E是邊BC的中點〞改為"點E是邊BC上〔除B，C外〕的任意一點〞，其它條件不變，則結論"AE=EF〞仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；〔2〕小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上〔除C點外〕的任意一點，其他條件不變，結論"AE=EF〞仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．12、〔2013中考二模〕在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得，連接AG．〔1〕如圖1，當EF與AB相交時，假設，求證：；〔2〕如圖2，當EF與AB相交時，假設，請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關系〔用含α的式子表示〕；〔3〕如圖3，當EF與CD相交時，且，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．13、〔2015初二上期末昌平區(qū)〕為等腰直角三角形,

,點在邊上〔不與點、重合〕，以為腰作等腰直角，〔1〕如圖1，作于，求證：；〔2〕在圖1中，連接交于，求的值；〔3〕如圖2，過點作交的延長線于點，過點作，交于點，連接.當點在邊上運動時，式子的值會發(fā)生變化嗎？假設不變，求出該值；假設變化請說明理由.隨堂練習1、等腰，，的平分線交于，則．2、：如圖，是正方形，，求證：．3、〔2015中考順義一模〕如圖，△ABC中，，點P是三角形右外一點，且．〔1〕如圖1，假設，點P恰巧在∠ABC的平分線上，，求PB的長；〔2〕如圖2，假設，探究PA，PB，PC的數(shù)量關系，并證明；〔3〕如圖3，假設，請直接寫出PA，PB，PC的數(shù)量關系．課后作業(yè)1、如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點E在AD上．求證：．2、〔2013龍東地區(qū)中考〕正方形ABCD的頂點A在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．〔1〕如圖1，當O、B兩點均在直線MN上方時，易證：AF+BF=2OE〔不需證明〕〔2〕當正方形ABCD繞點A順時針旋轉至圖2、圖3的位置時，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關系？請直接寫出你的猜測，并選擇一種情況給予證明．3、〔2015中考海淀一?！吃诹庑沃校?，點是對角線上一點，連接，，將線段繞點逆時針旋轉并延長得到射線，交的延長線于點．〔1〕

依題意補全圖形；〔2〕求證：；〔3〕用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系：_____________________________．4、〔2014、大興安嶺、中考〕在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MN∥BC，過點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點D在直線MN上〔不與點A重合〕，如圖1，DE與A