方差與標(biāo)準(zhǔn)差

方差與標(biāo)準(zhǔn)差問題情境1.有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個(gè)標(biāo)本（如表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2）.甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145問題1哪種鋼筋的質(zhì)量較好？2．甲乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別是多少？

由圖可以看出，乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，最大值145高于甲樣本的最大值135，這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定.極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定極差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定極差體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的離散程度建構(gòu)數(shù)學(xué)

運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡(jiǎn)單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，就不容易得出結(jié)論。考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

我們還可以考慮每一抗拉強(qiáng)度與平均抗拉強(qiáng)度的離差，離差越小，穩(wěn)定性就越高。結(jié)合上節(jié)有關(guān)離差的討論，我們可用各次抗拉強(qiáng)度與平均抗拉強(qiáng)度的離差的平方和表示。由于兩組數(shù)據(jù)的容量可能不同，因此應(yīng)將上述平方和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，我們把由此得到的值稱為這組數(shù)據(jù)的方差。

因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)

方差：一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，…，

其平均數(shù)為,則稱為這個(gè)樣本的方差．標(biāo)準(zhǔn)差：

標(biāo)準(zhǔn)差也可以刻畫數(shù)據(jù)的離散程度．方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，方差或標(biāo)準(zhǔn)差大說明波動(dòng)大.

例1．甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8數(shù)學(xué)運(yùn)用解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷5=0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]÷5=0.24因?yàn)?.24>0.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。數(shù)學(xué)運(yùn)用例2．為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下,試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。天數(shù)151~180181~210211~240241~270271~300301~330331~360361~390燈泡數(shù)1111820251672數(shù)學(xué)運(yùn)用（1）課本第71頁(yè)練習(xí)第1、2、3、4題；（2）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為____________；9.5，0.016的方差為____________．，方差為s2，則問題3

若給定一組數(shù)據(jù)，，…，,方差為