數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法答案

一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)由以下差分方程表示：4.1〔a〕和〔b〕所示的分別是該系統(tǒng)的方框圖和流程圖。+3/4z11/+3/4z11/8z1〔a〕z13/4z1-1/8xz13/4z1-1/8(b)試求出圖P4.2所示的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，并證明它們具有一樣的極點(diǎn)。z12rcosz12rcosr2z1網(wǎng)絡(luò)Ⅰx(n)rcos z1rsinrsin y(n)rcos z1網(wǎng)絡(luò)Ⅱ解網(wǎng)絡(luò)Ⅰ：依據(jù)信號(hào)流程圖寫出差分方程y(n)2rcosy(n1)r2y(n2)x(n)由差分方程得系統(tǒng)函數(shù)Y(z) 1H(z)1

X(z) 12rcosz1r2z11(rz1ej)(rz1ej)由上式求出極點(diǎn)：z1

和z2

rej網(wǎng)絡(luò)Ⅱ：由圖所示的原網(wǎng)絡(luò)寫出以下方程W(z)X(z)(rsin)z1Y(z)(rcos)z1W(z) ①Y(z)(rsin)z1W(z)(rcos)z1Y(z) ②由式①得

X(z)(rsin)z1Y(z)W(z) ③1(rcos)z1將③代入式②，得 (rsin)z1X(z)(r2sin2)z2Y Y(z) (rcos )z1Y(z)1(rcos )z1由上式得系統(tǒng)函數(shù)Y(z) (rsin)z1H(z) X(z) 12(rcos)z1r2z2 (rsin)z1(rz1ej)(rz1ej)極點(diǎn) z1

和z2

rej可見網(wǎng)絡(luò)Ⅰ和網(wǎng)絡(luò)Ⅱ具有一樣極點(diǎn)。一個(gè)因果線性離散系統(tǒng)由以下差分方程描述：1y(n-2)=x(n)+1

x(n-1)4 8 3試畫出以下形式的信號(hào)流程圖，對(duì)于級(jí)聯(lián)和并聯(lián)形式只用一階節(jié)。直接Ⅰ型；直接Ⅱ型；級(jí)聯(lián)型；并聯(lián)型。解〔1〕直接Ⅰ型z1z11/33/4zz1z11/33/4z1-1/8直接Ⅱ型z13/41/3z1xz13/41/3z1-1/8級(jí)聯(lián)型z1z1x(nz1z11/4 1/3 1/2將系統(tǒng)函數(shù)寫成

13z1 1111H(z)111

1 z1 1 z14 2并聯(lián)型z11/410/3z1x(z11/410/3z11/2將系統(tǒng)函數(shù)寫成局部分式形式H(z)

7/3 10/31 z1 1 z1114 211用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型構(gòu)造實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)；(1)H(z)=

52z10.5z213z13z2z3(2)H(z)=0.83z32z22z5z34z23z2解(1)依據(jù)系統(tǒng)函數(shù)寫出差分方程y(n)3y(n1)3y(n2)y(n3)5x(n)2x(n1)0.5x(n2)直接Ⅰ型構(gòu)造可依據(jù)系統(tǒng)函數(shù)或差分方程得到，如下圖z1z12 -3z1zz1z12 -3z1z1-0.5 -3z1-1所示的直接Ⅱ型構(gòu)造。z1-32z1z1-32z1-3-0.5z1-1〔2〕由系統(tǒng)函數(shù)寫出差分方程2y(n)3y(n1)4y(n2)y(n3)4x(n)1.6x(n1)1.6x(n2)2.4x(n3)或y(n)1.5y(n1)2y(n2)0.5y(n3)2x(n)0.8x(n1)0.8x(n2)1.2x(n3)依據(jù)系統(tǒng)函數(shù)或差分方程得到以下圖所示的直接型構(gòu)造的信號(hào)流程圖。z1z10.8 -1.5z1z1z10.8 -1.5z1z10.8 -2z1z11.2 -0.5交換直接型構(gòu)造中兩個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的次序，并讓3個(gè)延時(shí)器共用，便得到以下圖所示的直接Ⅱ型構(gòu)造的信號(hào)流程圖。z1-1.50.8z1-20.8z1-1.50.8z1-20.8z1-0.51.2用級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型構(gòu)造實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)二階節(jié)都承受直接Ⅱ型構(gòu)造。H(z)=

5(1z1)(11.4412z1z2)(10.5z1)(11.2728z10.81z2)/解〔1〕級(jí)聯(lián)構(gòu)造H(z)的表示式可直接畫出級(jí)聯(lián)型構(gòu)造的信號(hào)流程圖，如以下圖所示。z1z10.5-11.2728z1z10.5-11.2728-1.4412z1-0.81 1〔2〕并聯(lián)型構(gòu)造H(z)用局部分式表示為H(z)12.346

3.978 3.5664.858z110.5z1 11.2728z10.81z2按上式可畫出并聯(lián)型構(gòu)造的信號(hào)流程圖，如以下圖所示。-3.978z-3.978z10.5-1-3.566z11.2728-4.858z1x(n) y(n)-0.81試證明當(dāng)FIRh(n)=-h(N-1-n)時(shí)，其相位具有分段線性的性質(zhì)，即)()(N1)2 2具有N為奇數(shù)時(shí)，濾波器的幅度響應(yīng)為H)(1)/2c(n)sin(n)n1c(n)2hN1n,n=1,2,…(N1)。2 2N為偶數(shù)時(shí)，濾波器的幅度響應(yīng)為H)N/2d(n)sin[(n1)]2n1d(n)2h(

N Nn,n=1,2,…, 。2 2對(duì)于以上兩種狀況，幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)曲線如圖P4.6所示。h(n) n h(n) N-10 N-1 0 n22H() 220 02/20 (N3)2P4.6解〔1〕因?yàn)V波器的沖激響應(yīng)具有反對(duì)稱性質(zhì)，即h(n)h(N1n)NN1 N1h( )h( 2 2H(ej因此

jN1 22n0N3

j2h(n)sin((

N12

n))jN1j2 2

2n0

2h(n)sin((N1n))2上式中nN1n置換，得2

H(ej

j(N1) 22 2n1

2h(

N12

n)sin(n)由于濾波器的頻率響應(yīng)為H(ej)H()ej()所以 H(ej)H()ej()N1 N1令 c(n)2h(

N), n=1,2,…, 得濾波器的幅度響應(yīng)2 2H)(1)/2c(n)sin(n)n1

j)

2n0N1

h(n)e

N1h(n)enN2

jn2n0N

h(n)e

h(N 1 n)enN2N1

jn2n0N

h(n)ejn

2n0

h(n)ej(N1n)2n0

h(n)(ejnej(N1n)) N122

N1

ej (N1)2n0 N122

h(n)(ej( n)ej(2n))2N1ej

j2h(n)sin[(2

n)]n0 N 2 ej((N1))2

2h(n)sin[(

N12

n)]Nn置換n，得2

n0

)e

N(N1))22 2n1

2h(

Nn)sin[(n1)]2 2濾波器的頻率響應(yīng)表示為H(ej)H()ej()所以()N12 2NH)2Nn1其中

d(n)sin[(n1)]2d(n)2h(N

n), n=1,2,…,N2 2一模擬濾波器的傳遞函數(shù)為

3s2Ha(s)Ha

2s23s1試分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法將它轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)，設(shè)T0.5。解〔1〕沖激響應(yīng)不變法H(s開放成局部分式a3s2 3s2H(s) a 2s23s1 (2s1)(s1)AA 1 2AA2s1 s13s3s2s11 s3s3s22s1A

11212 s1因此 H

(s)

1 1s 2s1 s1對(duì)式①求逆拉氏變換，得ha上式中令t=nT，得

(t)(0.5e0.5tet)u(t)h(n)ha

(nT)(0.5e0.5nTenT)u(n)對(duì)上式求h(nZH(z)

n

h(nznN0

(0.5e0.5nTenT)z1 0.5 1T=0.5

1e0.5Tz1 1eTzzH(z)〔2〕雙線性變換法

0.51e0.5Tz1

11e0.5z1

21z1T1z1

41z11z11z1

Ha

公式，得12 2H(z) 1z1 1z1 1z132( )212 11z1

1z1(1410z1)(1z1)32(1z1)212(1z1)(1z1)(1z1)2144z110z24562z121z2設(shè)ha

表示一模擬濾波器的沖激響應(yīng)ht){ta 0,

t0用沖激響應(yīng)不變法將此模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器TT數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的，并說明此濾波器近似為低通濾波器還是高通濾波器。解在題給的沖激響應(yīng)表示中，令t=nT,得h(n)ha

(nT)

{0.nT,0,

n0n0h(n)的ZH(z)

n

h(n)znn0

e0.9nTzn

11e0.9Tz1由于系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)為ze0.9T無論T為任何正值恒有ze0.9T1，即極點(diǎn)不行能在是穩(wěn)定的。zej。由系統(tǒng)函數(shù)得濾波器的頻率特性1H(ej)因此，濾波器的幅度響應(yīng)為1e0.9Tej1e0.9Tej

1e0.9Tej1因在〔0-〕區(qū)間，隨著的增加，H(ej)將下降，故該濾波器為低通濾波器。一模擬系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為saH(s)a (sa)2b2試依據(jù)這個(gè)系統(tǒng)求滿足以下兩條件的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hz。沖激不變條件，也就是階躍不變條件，也就是

h(n)ha

(nT)s(n)sa

(nT)其中 s(n)sa

(nT) sa

(t)t h

解〔1〕Ha

(s)開放成局部分式H(s)

sa A A1 2a (sa)2b2 s(ajb) s(ajb)sas(ajb)1Asas(ajb)1ssas(ajb)2A s(ajb)2

0.50.5所以Ha

0.5 0.5s(ajb) s(ajb)求逆拉氏變換，得ha(t)

0.5[e(ajb)te(ajb)t]u(t)上式中令t=nT，得ha(t)

0.5[e(ajb)te(ajb)t]u(t)對(duì)上式求Z變換，得系統(tǒng)函數(shù)H(z)n0

h(n)zn0.5[

1 ]1eaTejbTz1 1eaTejbTz1 1eaT(cosbT)z112eaT(cosbT)z1e2aTz2(2)模擬濾波器的階躍響應(yīng)sa

與沖激響應(yīng)ha

(t)有以下關(guān)系s(t)ta

h()dasa

(t)Sa

(t)ha

(t)的拉氏變換即傳輸函數(shù)Ha

(s)之間有以下關(guān)系

S(s)a

1H(s)s a因此 Sa

1 sass(sa)2b2S(s開放成局部分式aS(s)a

1 sass(sa)2b2A A A0 1 2 s s(ajb) s(ajb)其中sa(ssa(sa)2b2sas[s(asas[s(ajb)]A

1 ajb1 s(ajb) 2(ajb) 2(a2b2)sas[s(ajb)]Asas[s(ajb)]2 s(ajb) 2(ajb) 2(a2b2)所以S(s)(

a )1(ajb ) 1 (ajb ) 1a a2b2 s 2(a2b2) s(ajb) 2(a2b2) s(ajb)求拉氏變換，得

a ajb

ajbs(t)(

)( )e(ajb)t

( )e(ajb)ta a2b2 2(a2b2) 2(a2b2)上式中令t=nT，得階躍響應(yīng)sa

的取樣值序列s(n)sas(n)sa

(nT)(nT)

a ajb)( )e(ajb)nTa2b2 2(a2b2)ajb( )e(ajb)nT}u(n)2(a2b2)對(duì)上式求Z變換，得階躍響應(yīng)sa

(t的取樣值序列s(n)Z變換S〔z〕,S(z)

n

s(n)znn0

aa2b2

)(ajv2(a2b2)

)e(ajb)nTajb( )e(ajb)nT}zn2(a2b2)

1(ajb)

1(ajb) a 1

1 [ 2

2 ]a2b2

1z1

a2b2

1eaTejbTz1

1eaTejbTz1 a 1 1a2b21z1 a2b21[(ajb)(1eaTejbTz1)(ajb)(1eaTejbTz1)][2 1eaT(ejbTejbT)z1e2aTz2 a 1 1a2b21z1 a2b21[2aaeaT(ejbTejbT)z1jbeaT(ejbTejbT)z1][2 1eaT(ejbTejbT)z1e2aTz2 a 1 1 {a[acos(bT)bsin(bT)]eaTz1}a2b21z1 a2b2 12cos(bT)eaTz1e2aTz2由于階躍響應(yīng)sa

(t的取樣值序列s(n)ZS(zh(n)Z變換即系統(tǒng)函數(shù)H〔z〕之間有以下關(guān)系1S(z)

1z1

H(z)或H(z)(1z1)S(z)所以最終得系統(tǒng)函數(shù)a 1z1H(z)

a2b2a

2{a[acos(bT)bsin(bT)]eaTz1}12cos(bT)eaTz1e2aTz2一延遲為的抱負(fù)限帶微分器的頻率響應(yīng)為jejr, H(j) ca 0, 其他〔1〕 用沖激不變法，由此模擬濾波器求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) Hd

(ej)，假定 。T 〔2〕

h(n是d

=0〔1

d

(n)可用hd

(n)的延遲表示，即

h(n)d

(nn)hd h其中n 為整數(shù)。確定這些值應(yīng)滿足的條件及延遲n 的值。解(1)ha

(t)，用沖激響應(yīng)不變法由它得到h”d

(n。設(shè)h”(nH(ej)表示，則有d由于

n

h”(n)ejnd

1T

H(jj2k)a T TH(j)0, /Ta c所以T 1 1 jTH(ej) H(j ) (j )e T, T ak

T T T c設(shè)數(shù)字微分器的單位取樣響應(yīng)是hd

(n)，則有h(n)Thd a

(nT)Th”d

(n)因此，數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為d

n

h(n)ejTd

n

h”(n)ejdTjej, T T T c0 其他(2)由于0時(shí)數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為T T j , H d(ej) T c0, 其他所以由hd

d(n)h (nnd

知道H(e)dn

h(n)ejnd

hdn

(nn

)ejn

j ejn,H(ej) Td 0,

Tc其他將式②與式①比照，得n T由于n

為整數(shù)，所以T圖P4.11表示一數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。假設(shè)它是用沖激響應(yīng)不變法由一個(gè)模擬濾波器的頻率響應(yīng)映射得到的。試用作圖的方法求該模擬濾波器的頻率響應(yīng)特性。假設(shè)它是用雙線性變換得到的，重做。11/411/42/3/3 0 /3 2/3 圖P4.11解用沖激不變法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特沃斯低通濾波器。這個(gè)濾波器的幅度響應(yīng)在通帶截止頻率p

0.26130.75dB，在阻帶截止頻率T

0.4018處的衰減不小20dB。解(1)求濾波器的階數(shù)N100.1

11 100.10.7511lg[ p

lg[ ]2100.1

1 100.1201N Tlg(P)Tlg[0.1885]1

lg(0.2613)0.4018

21.3602

7.2777lg0.6503 0.1863N=83dB截止頻率c 1 1[100.1p其中

1]p

2Nc

T

1]2NT 1

1[100.1 1]2Np p

0.2613[100.10.751]280.9111 1

1[100.1 1]2NT T

[100.1201]280.9472因此 0.9111c

0.9472選取c

0.9111，準(zhǔn)確滿足通帶指標(biāo)要求，超過阻帶指標(biāo)要求?！?〕H(s的極點(diǎn)a k 916 8 k=0，16 8 k=0，1，…，15k

k),其中，左半s平面的極點(diǎn)為16s0.9111ej9160

0.1778j0.893616 s0.9111ej(9)116 16 s0.9111ej(9)216

0.5062j0.75750.7575j0.506216 316

0.8963j0.1778*0.9111e4 3

j(93)16 8

0.8936j0.1778ss*5 2

j(9)16 4

0.7575j0.50626 1

j(9)16 8j9

0.5062j0.7575ss*7 0

16 0.1778j0.8963求傳輸函數(shù)Ha

(s)H(s)a

C”N12

0.911183 (ss)(ss*)(ss)(ss*)k kk0

k kk0 0.47483

[s2(sk

s*)ssk

s*]k 0.4748(s20.3556s0.83)(s21.0124s0.83)(s21.515s0.83)(s21.7872s0.83) 0.4748s84.67s710.905s616.536s517.7s413.715s37.515s22.671s0.475用查表法求傳輸函數(shù)Ha

(s)8階歸一化巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)H1

”(s)aH”(s)a s85.125s713.137s621.846s525.688s421.846s35.125s1s sH(ss用a c

H0.9111

(s)0.4748H(s)a

s84.67s710.905s616.536s517.7s413.715s37.515s22.671s0.475與〔4〕結(jié)果一樣。fs

1.5kHz處衰減不12dB。解將f .和f轉(zhuǎn)換成數(shù)字頻率 和p T p T 2fp 2f

20233000T T1 T 101 f 10103a Tp T

10420230.210430000.3T T〔2〕求濾波器的階數(shù)N3dB截止頻率c取T=1，將數(shù)字頻率 和 預(yù)畸變，得預(yù)畸變后的和p T p T 2 0.2 tan p2tan 2tan(0.1)0.649841 p T 2 2 2

0.3 tan T2tan 2tan(0.15)1.0190537 T

T 2 2因此，模擬低通濾波器的指標(biāo)為20lgH

(j)20lgHp

(j0.649841)1.8①20lgHa

(jT)

20lgHa

(j1.0190537)12由巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)得20lgH(j)10lg1(a c將式②代入式①，得

)2N ②0.64984120lgH(j)10lg1(a p c

)2N

1.8③1.019053720lgH(j)10lg1(a T c聯(lián)立求解式③和式④，得

)2N

12④100.11.811lg[ ]2N 100.1121lg(0.649841)1.0190537

0.73055153.7389420.1953899N=4。將N=410.649841(100.11.81)c

24c11

0.70631.0190537(100.1121)c

24

0.7274c2取 c

1(2

)0.7168。c2也可以直接引用公式來求N和c都是預(yù)畸變后的值。

但應(yīng)留意對(duì)雙線性變換法來說公式中的 和p T〔3〕Ha

(s的極點(diǎn) k 5s k

ej(2NN2)

0.7168ej(84k)，k=0,1,…,7其中，左半s平面的極點(diǎn)為8s 0.7168ej580

0.2743j0.66238 s0.7168e(5)18

0.6623j0.2743s s*0.6623j0.27432 1s s3

*0.2743j0.6623求傳輸函數(shù)H

(s)aN

0.71684H(s)a

N2k0

c(ss)(ss*)k k

1k0

(ss)(ss)k k 0.2641k0

[s2(sk

s*)ssk

s*]k 0.264(s20.5486s0.5139)(s21.3246s0.5139) 0.264s41.8732s31.7545s20.9626s0.264用查表法求傳輸函數(shù)Ha

(s)4階歸一巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)H1

”(s)aH”(s)a

s42.6131s33.4142s22.6131s1s sH(s中的s用a c

取代，得0.7168cH(s) 4ca s42.6131s33.4142c

2.6131c

3s4c 0.264s42.611 0.38 0.264s41.87s3 1.7

3.41422.7168 2.6s314 0.264

74168

0.71與〔4〕的結(jié)果近似相等。用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字切比雪夫低通濾波器，各指示與題4.13一樣。解通過頻率變換法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字切比雪夫高通濾波器，從模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換承受雙線性變換法，假設(shè)取樣頻率為2.4kHz，在頻率160Hz3dB，在40Hz處衰減不小48dB。解〔1〕fp

f折合成數(shù)字頻率T Tp p

2f fs

216022400 15

2f

T T fs

2400 30T=2”2tan ptan(12)0.2126p T 2 2 152 1 ” tan Ttan( )0.0524T T 2 2 30將高模擬濾波器的頻率指標(biāo)映射成模擬低同濾波器的頻率指標(biāo) 1p ”p

10.2126

4.7040 1T ”T

10.0524

19.0840依據(jù)模擬低同濾波器的指標(biāo)求c

N或0.9977

p

100.1310.9953c p

4.7040k pT

4.70400.246519.0840100.1

11 100.1311d[ p ]2[ ]23.9717103100.1 1 100.1481Tarch

1 1archN d 3.97171031 1arch archk 0.2465N=3。

arch251.7814arch4.0568

2.9941求模擬低通濾波器的平方幅度函數(shù) xc

4.70400.21263階切比雪夫多項(xiàng)式的平方中V2(x)[x(4x23)]216x624x49x2316(0.2126)624(0.2126)49(0.2126)20.0014860.04940.40682因此，3階切比雪夫模擬低通濾波器的平方幅度函數(shù)為1H(j)2a

1e2V2(/)3 c 110.9953(0.0014860.04940.40682) 10.0014760.048840.404821求模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)將js代入Ha

(j2，得H(s)H(s)H(j)2a a a js 10.00147s60.0488s40.4048s21Ha

(s)Ha

(s)的極點(diǎn)：s 0.701j4.25170s1.40471s s2

*0.701j4.2517s 0.701j4.25143s 1.40474s s*0.701j4.25175 3s0

ss1

s33階切比雪夫模擬低通濾波器，其傳輸函數(shù)為H(s) Ba (ss1

)(ss0B

)(ss)2(ss1

)(ss0

)(ss*)0B(ss1

)[s2(s0

s*)ss0 B

0(s1.4047)[s21.402s18.5684]N=3Ha

(0)1，因此BHa最終得

(0)1.404718.568426.08326.083H(s)a

(s1.4047)[s21.402s18.5684]26.083s32.8067s220.5385s26.083留意，模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)在左半s3個(gè)極點(diǎn)也可以用下式求出：s ak

sin(2N

k)bN

cos(2N

k)，k=0,1,…,2N-1N其中常量ab用以下公式計(jì)算21a210.9977210.997721a1(a1a1)0.5(2.418212.41821)N N 3 320.5(1.34220.7451)0.2986NNb1(a1a1)0.5(1.34220.7451)1.0437NN2a 0.29864.70401.4046ca 1.04374.70404.9096cc

和bc

的值代入計(jì)算極點(diǎn)的公式，得左半s平面的極點(diǎn)如下：s 1.4046sin(0

)j4.9096cos(

230.7023j4.2518s1.4046sin( )j4.9096cos( )1.40461 23 3 23 3s s2

*0.7023j4.2518這里的結(jié)果與前面的數(shù)值根本一樣。將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器1/s代換模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)中的s，得到模擬高通濾波器的傳輸函數(shù)23.083s2H(s)a 12.8067s20.5385s226.083s3用雙線性變換法將模擬高通濾波器映射成數(shù)字高通濾波器1z1設(shè)T=2。將s 代入模擬高通濾波器的傳輸函數(shù)，得1z11z126.083( )3H(z) 1z1 1z1

1z1

1z112.8067 20.5385( )226.083( )31z1 1z1 1z1 0.5172(13z13z2z3)11.0293z11.1482z20.1458z3設(shè)h(n)N=，見圖P4.1〔。h(n)是h(n)的四點(diǎn)循環(huán)移位，1即h(n)h((n4))2 1

2 1R(n)6求出h(nDFT與h

(nDFTH

(k)H

(k及相位1 2 1 2(k)與 (k)之間的關(guān)系。1 2h(n和h

(n)可以構(gòu)成兩個(gè)FIR1 2器嗎？為什么？時(shí)延為多少？假設(shè)h(n對(duì)應(yīng)一個(gè)截止頻率為1

的低通濾波器，如圖P4.16〔b〕所示，那么認(rèn)為h(n)1

h(n也對(duì)應(yīng)一個(gè)截止頻率為2

的低通濾波器合理嗎？為什么？n0 1 2 3 4 5 6 7 /2 0 /2 圖P4.16解(1)由于h(nh(N1n)和h

(n)h

(N1n，所以當(dāng)N=8時(shí)，有1N1

1 23 j2

27 j2nkH(k) h(n)nk h(n)e 8 h(n)e 81 1 N 1 1n0 n0 n43n0

h(n)ej2nk818

7n4

h(7n)ej2nk81888

h(n)[ej2nk

ej2(7n)k]8n083

18h(n)[ej2nk8

2ej8(n1)k]1n0H(k)32n0

h(n)[ej2nk