2013年至2022年全國高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編（專題12至專題22共22個專題）

第頁2013年至2022年全國高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題12概率統(tǒng)計客觀題一、選擇題1．(2022年全國甲卷理科·第2題)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B解析：講座前中位數(shù)為,所以錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差,所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯．故選:B．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【題目來源】2022年全國甲卷理科·第2題2．(2022年全國乙卷理科·第10題)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則()A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【答案】D解析：該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，則此時連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大．選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān)．選項A判斷錯誤．故選：D【題目欄目】概率\相互獨立事件\相互獨立事件同時發(fā)生的概率【題目來源】2022年全國乙卷理科·第10題3．(2022新高考全國I卷·第5題)從2至87個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()AB．C．D．【答案】D解析:從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率．故選：D．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來源】2022新高考全國I卷·第5題4．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第6題)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是()A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10概率為0．5C．越小，該物理量在一次測量中小于9．99與大于10．01的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D解析:對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0．5，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10．01的概率與小于9．99的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤,故選D．【題目欄目】概率\正態(tài)分布【題目來源】2021年新高考全國Ⅱ卷·第6題5．(2021年新高考Ⅰ卷·第8題)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B解析:，故選B．【題目欄目】概率\事件與概率\事件的關(guān)系及運算【題目來源】2021年新高考Ⅰ卷·第8題6．(2020年新高考I卷(山東卷)·第5題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，則，，，所以所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為．故選：C．【題目欄目】概率\事件與概率\事件的關(guān)系及運算【題目來源】2020年新高考I卷(山東卷)·第5題7．(2020新高考II卷(海南卷)·第5題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，則，，，所以所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為．故選：C．【題目欄目】概率\事件與概率\事件的關(guān)系及運算【題目來源】2020新高考II卷(海南卷)·第5題8．(2021年高考全國乙卷理科·第8題)在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為()A． B． C． D．【答案】B解析：如圖所示：設(shè)從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，其面積為．設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．故選：B．【點睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準確求出事件對應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來源】2021年高考全國乙卷理科·第8題9．(2021年高考全國甲卷理科·第2題)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4．5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10．5萬元農(nóng)戶比率估計為10%C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6．5萬元D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4．5萬元至8．5萬元之間【答案】C解析：因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率．樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4．5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10．5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4．5萬元至8．5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6．5萬元，故C錯誤．綜上，給出結(jié)論中不正確的是C．故選：C．【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值．注意各組的頻率等于．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\頻率分布直方圖【題目來源】2021年高考全國甲卷理科·第2題10．(2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第3題)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是()A． B．C． D．【答案】B解析：對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．因此，B選項這一組標準差最大．故選：B．【點睛】本題考查標準差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第3題11．(2019年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第3題)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為．故選C．另解：記看過《西游記》的學(xué)生為集合A，看過《紅樓夢》的學(xué)生為集合B．則由題意可得韋恩圖：則看過《西游記》的人數(shù)為70人，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為．故選C．【點評】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．根據(jù)容斥原理或韋恩圖，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．但平時對于這類題目接觸少，學(xué)生初讀題目時可能感到無從下手。【題目欄目】統(tǒng)計\隨機抽樣\簡單隨機抽樣【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第3題12．(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅱ卷理科·第6題)若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅱ卷理科·第6題13．(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅱ卷理科·第5題)演講比賽共有位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從個原始評分中去掉個最高分、個最低分，得到個有效評分．個有效評分與個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差【答案】A【解析】設(shè)位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，∴A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，∴與不一定相同，B不正確；③，，由②易知，C不正確；④原極差，后來極差顯然極差變小，D不正確．【點評】本題旨在考查學(xué)生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解．可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅱ卷理科·第5題14．(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅰ卷理科·第6題)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“——”，右圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A．B．C．D．【答案】答案：A解析：所有的重卦共有個，而恰有3個陽爻的重卦有個，所以所求概率為．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅰ卷理科·第6題15．(2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷(理)·第8題)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則()A． B． C． D．【答案】B解析：依題意可知，則，解得或又，所以即，即所以，故選B．【題目欄目】概率\離散型隨機變量及其概率分布\二項分布【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷(理)·第8題16．(2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷(理)·第8題)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A． B． C． D．【答案】C解析：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，故概率，故選C．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷(理)·第8題17．(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷Ⅰ(理)·第10題)下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,．的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II．其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自1，II,III的概率分別記為則()A． B． C． D．【答案】A解析：如圖：設(shè)，∴，∴，∴，∴，故選A．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標卷Ⅰ(理)·第10題18．(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷Ⅰ(理)·第3題)某地區(qū)經(jīng)過一一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半【答案】A解析：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為，建設(shè)后經(jīng)濟收入為．A項，種植收入37×﹣60%=14%＞0，故建設(shè)后，種植收入增加，故A項錯誤．B項，建設(shè)后，其他收入為5%×2=10%，建設(shè)前，其他收入為4%，故10%÷4%=2．5＞2，故B項正確．C項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為30%×2=60%，建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%，故60%÷30%=2，故C項正確．D項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為(30%+28%)×2=58%×2a，經(jīng)濟收入為2，故(58%×2a)÷2a=58%＞50%，故D項正確，因為是選擇不正確的一項．故選：A．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標卷Ⅰ(理)·第3題19．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅰ卷理科·第2題)如圖,正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是()()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正方形邊長為,則圓的半徑為,則正方形的面積為,圓的面積為．由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計算公式得,此點取自黑色部分的概率是,選B．秒殺解析:由題意可知,此點取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例,由圖可知其概率,故選B．【考點】幾何概型【點評】對于幾何概型的計算,首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、面積、體積或時間),其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量,最后計算．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅰ卷理科·第2題20．(2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第10題)從區(qū)間隨機抽取個數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成個數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】幾何概型問題：樣本空間其面積為：事件“兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對”對應(yīng)的集合為：其對應(yīng)區(qū)域面積為：，所以所以，故選C．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第10題21．(2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅰ卷理科·第4題)某公司的班車在，，發(fā)車，小明在至之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()(A)EQ\F(1,3)(B)EQ\F(1,2)(C)EQ\F(2,3)(D)EQ\F(3,4)【答案】B【解析】如圖所示，畫出時間軸：小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中，而當他的到達時間落在線段或時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘根據(jù)幾何概型，所求概率．故選B．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅰ卷理科·第4題22．(2015高考數(shù)學(xué)新課標2理科·第3題)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖。以下結(jié)論不正確的是()2004年2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年190020002100220023002400250026002700A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D解析：由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份負相關(guān)，故選D．考點：正、負相關(guān)．【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\兩個變量間的相關(guān)關(guān)系【題目來源】2015高考數(shù)學(xué)新課標2理科·第3題23．(2015高考數(shù)學(xué)新課標1理科·第4題)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0．6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A．0．648 B．432 C．0．36 D．0．312【答案】A解析：根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得，該同學(xué)通過測試的概率為=0．648，故選A．考點：本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率公式與互斥事件和概率公式【題目欄目】概率\相互獨立事件\n次獨立重復(fù)試驗【題目來源】2015高考數(shù)學(xué)新課標1理科·第4題24．(2014高考數(shù)學(xué)課標2理科·第5題)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0．75，連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0．6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45【答案】A解析：設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，故選A．考點：(1)條件概率的求法；。難度：B備注：易錯題【題目欄目】概率\條件概率【題目來源】2014高考數(shù)學(xué)課標2理科·第5題25．(2014高考數(shù)學(xué)課標1理科·第5題)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率()A． B． C． D．【答案】D解析:4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動共有種,周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有兩種情況:①一天一人一天三人有種;②每天2人有種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為;或間接解法:4位同學(xué)都在周六或周日參加公益活動有2種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為;選D．考點:(1)古典概型的概率(2)分類討論思想難度:B備注:高頻考點【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來源】2014高考數(shù)學(xué)課標1理科·第5題26．(2013高考數(shù)學(xué)新課標1理科·第3題)為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣QUOTE C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣【答案】C解析:因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣，故選C．考點:(1)10．1．3分層抽樣．難度：Ａ備注：高頻考點【題目欄目】統(tǒng)計\隨機抽樣\分層抽樣【題目來源】2013高考數(shù)學(xué)新課標1理科·第3題二、多選題27．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第9題)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是()A．樣本的標準差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)【答案】AC解析:由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢,故選AC．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2021年新高考全國Ⅱ卷·第9題28．(2021年新高考Ⅰ卷·第9題)有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則()A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D．兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD解析:A：且，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選CD．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【題目來源】2021年新高考Ⅰ卷·第9題29．(2020年新高考I卷(山東卷)·第12題)信息熵是信息論中的一個重要概念．設(shè)隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵．()A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC解析：對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確．對于B選項，若，則，，所以，當時，，當時，，兩者相等，所以B選項錯誤．對于C選項，若，則，則隨著增大而增大，所以C選項正確．對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且()．．由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤．故選：AC【題目欄目】概率\離散型隨機變量及其概率分布\離散型隨機變量的分布列【題目來源】2020年新高考I卷(山東卷)·第12題三、填空題30．(2022年全國甲卷理科·第15題)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．【答案】．解析：從正方體的個頂點中任取個，有個結(jié)果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：．【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來源】2022年全國甲卷理科·第15題31．(2022年全國乙卷理科·第13題)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【答案】解析：從5名同學(xué)中隨機選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來源】2022年全國乙卷理科·第13題32．(2022新高考全國II卷·第13題)已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．【答案】解析：因為，所以，因此．故答案為：．【題目欄目】概率\正態(tài)分布【題目來源】2022新高考全國II卷·第13題33．(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅱ卷理科·第13題)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有個車次的正點率為，有個車次的正點率為，有個車次的正點率為，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為．【答案】.【解析】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為，所以該站所有高鐵平均正點率約為．【點評】本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅱ卷理科·第13題34．(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅰ卷理科·第15題)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是．【答案】答案：解析：因為甲隊以4：1獲勝，故一共進行5場比賽，且第5場為甲勝，前面4場比賽甲輸一場，若第1場或第2場輸1場，則，若第3場或第4場輸1場，則，所以甲以4：1獲勝的概率是．【題目欄目】概率\條件概率【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅰ卷理科·第15題35．(2017年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第13題)一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則．【答案】【命題意圖】本題考查二項分布概念及其數(shù)字特征，意在考查學(xué)生的運算求解能力．【解析】隨機變量，【知識拓展】離散型隨機變量是高考考點之一，隨機變量分布是熱點話題，正態(tài)分布和二項分布都以小題出現(xiàn)，且在基礎(chǔ)題位置，難度較低，在平時復(fù)習(xí)時不宜研究難題．【考點】二項分布的期望與方差【點評】判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：(1)一是是否為次獨立重復(fù)試驗．在每次試驗中事件發(fā)生的概率是否均為P．二是隨機變量是否為在這次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，且表示在獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第13題36．(2013高考數(shù)學(xué)新課標2理科·第14題)從個正整數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則＝________．【答案】8解析：由題意，取出的兩個數(shù)只可能是1與4,2與3這兩種情況，∴在n個數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù)的總情況應(yīng)該是，．考點：(1)10．5．2古典概型的概率問題；難度：B備注：高頻考點【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來源】2013高考數(shù)學(xué)新課標2理科·第14題

2013年至2022年全國高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題13概率統(tǒng)計解答題一、解答題1．(2022年全國甲卷理科·第19題)甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0．5，0．4，0．8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析：，．解析：(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．(2)依題可知，的可能取值為，所以，,，，．即的分布列為01020300．160．440．340．06期望．【題目欄目】概率\相互獨立事件\相互獨立事件同時發(fā)生的概率【題目來源】2022年全國甲卷理科·第19題2．(2022年全國乙卷理科·第19題)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：)和材積量(單位：)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號ｉ12345678910總和根部橫截面積0．040．060．040．080080．050．050．070．070．060．6材積量0．250．400．220．540．510．340．360．460．420．403．9并計算得．(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0．01)；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】(1)；(2)(3)解析：【小問1詳解】樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為【小問2詳解】則小問3詳解】設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\線性回歸方程【題目來源】2022年全國乙卷理科·第19題3．(2022新高考全國II卷·第19題)在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0．0001)．【答案】(1)歲；(2)；(3)．解析：(1)平均年齡(歲)．(2)設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．(3)設(shè)任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，則由條件概率公式可得．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\頻率分布直方圖【題目來源】2022新高考全國II卷·第19題4．(2022新高考全國I卷·第20題)一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．(ⅰ)證明：；(ⅱ)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用(ⅰ)的結(jié)果給出R的估計值．附，0．0500．0100．001k3．8416．63510．828【答案】(1)答案見解析(2)(i)證明見解析；(ii)；解析：(1)由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．(2)(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以【題目欄目】概率\條件概率【題目來源】2022新高考全國I卷·第20題5．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．(1)已知，求；(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義．【答案】解析:(1)．(2)設(shè)，因為，故，若，則，故．，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則．若，則，故．此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且．所以為的一個最小正實根，此時，故當時，．(3)意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2021年新高考全國Ⅱ卷·第21題6．(2021年新高考Ⅰ卷·第18題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0．8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0．6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；(2)為使累計得分期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．【答案】解析：(1)由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為(2)由(1)知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2021年新高考Ⅰ卷·第18題7．(2020年新高考I卷(山東卷)·第19題)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了天空氣中的和濃度(單位：)，得下表：3218468123710(1)估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：(3)根據(jù)(2)中列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，0．0500．0100．0013．8416．63510．828【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)有．解析：(1)由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；(2)由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100(3)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)．【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\獨立性檢驗【題目來源】2020年新高考I卷(山東卷)·第19題8．(2020新高考II卷(海南卷)·第19題)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了天空氣中的和濃度(單位：)，得下表：(1)估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)有．解析：(1)由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；(2)由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100(3)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)．【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\獨立性檢驗【題目來源】2020新高考II卷(海南卷)·第19題9．(2021年高考全國乙卷理科·第17題)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9．810．31001029．99．810．010．110．29．7新設(shè)備10110．410．110．010．110．310．610．510．410．5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．(1)求，，，；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．【答案】(1)；(2)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高．解析：(1)，，，．(2)依題意，，，，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【題目來源】2021年高考全國乙卷理科·第17題10．(2021年高考全國甲卷理科·第17題)甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0．0500．0100．001k3．8416．63510．828【答案】(1)75%；60%；(2)能．解析：(1)甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為．(2),故能有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\獨立性檢驗【題目來源】2021年高考全國甲卷理科·第17題11．(2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅰ卷理科·第19題)甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．【答案】(1)；(2)；(3)．【解析】(1)記事件甲連勝四場，則；(2)記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進行第五場比賽的概率為；(3)記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏概率為．由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為．【點睛】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題．【題目欄目】概率\相互獨立事件\相互獨立事件同時發(fā)生的概率【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅰ卷理科·第19題12．(2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第18題)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，．(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0．01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1．414．【答案】(1)；(2)；(3)詳見解析解析：(1)樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為(2)樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為(3)由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計．【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題．【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\兩個變量間的相關(guān)關(guān)系【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第18題13．(2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第18題)某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2≥k)0．0500．0100．001k38416．63510．828【答案】(1)該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率分別為、、、；(2)；(3)有，理由見解析．解析：(1)由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為；(2)由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為(3)列聯(lián)表如下：人次人次空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好，因此，有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)．【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題．【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\獨立性檢驗【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第18題14．(2019年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第17題)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為．(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．【答案】(1)，；(2)，.00．【官方解析】(1)由已知得，故，．(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為．乙離子殘留百分比的平均值的估計值為．【點評】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)概念和頻率分布直方圖中平均數(shù)法人計算，屬于基礎(chǔ)題．【題目欄目】統(tǒng)計\用樣本估計總體\用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第17題15．(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅱ卷理科·第18題)分制乒乓球比賽，每贏一球得分，當某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束．求；求事件“且甲獲勝”的概率．【答案】；.【官方解析】就是平后，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束，則這個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此．且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束，且這個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為．【分析】本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果.【解析】由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，所以.由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”所以.【點評】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題.【題目欄目】概率\相互獨立事件\相互獨立事件同時發(fā)生的概率【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅱ卷理科·第18題16．(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅰ卷理科·第21題)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定，對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為X．(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則()，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．【答案】(1)解：X的所有可能取值為，．所以的分布列為X01P(2)(i)由(1)得．因此，故，即．又因為，所以為公比為4，首項為的等比數(shù)列．(ii)由(i)可得.由于，故，所以．表示最終認為甲藥更有效的概率，由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標全國Ⅰ卷理科·第21題17．(2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷(理)·第18題)(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種生產(chǎn)方式，為比較兩咱生產(chǎn)方式的效率，選取名工人，將他們隨機分成兩組，每組人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：)繪制了如下莖葉圖：第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表，能否有的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：【答案】【官方解析】(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．．(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85．5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73．5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．(2)由莖葉圖知．列聯(lián)表如下：超過不超過第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．【民間解析】(1)法一：第二種生產(chǎn)方式效率更高，因為第二種多數(shù)數(shù)據(jù)集中在之間，第一種多數(shù)數(shù)據(jù)集中在之間，易知第一種完成任務(wù)的平均時間大于第二種，故第二種生產(chǎn)方式的效率更高。法二：第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間為第二種生產(chǎn)完成任務(wù)的平均時間為第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間第二種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間所以第二種生產(chǎn)方式效率更高(2)中位數(shù)為超過不超過第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由(2)可計算得所以有的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．點評：本題主要考查了莖葉圖和獨立性檢驗，考察學(xué)生的計算能力和分析問題的能力，貼近生活．【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\獨立性檢驗【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷(理)·第18題18．(2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷(理)·第18題)(12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為)建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為)建立模型②：．(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．【答案】解析：(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為(億元)．利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．理由如下：(i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，的變化趨勢．2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．(ii)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．以上給出了2種理由，考生答出其中一種或其他合理理由均可得分．【題目欄目】概率\決策建議【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷(理)·第18題19．(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷Ⅰ(理)·第20題)(12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【答案】解析：(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為．因此．令，得．當時，；當時，．所以的最大值點為．(2)由(1)知，．(i)令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即．所以．(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元．由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗．【題目欄目】概率\決策建議【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標卷Ⅰ(理)·第20題20．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅰ卷理科·第19題)(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9．9510．129．969．9610．019．929．9810．0410．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0．01)．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1),;(2)詳見解析．【分析】(1)根據(jù)題設(shè)條件知一個零件尺寸在之內(nèi)的概率為,則零件的尺寸在之外的概率為,而,進而可以求出的數(shù)學(xué)期望．(2)(i)判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性,重點是考慮一天內(nèi)抽取的個零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率大還是小,若小即合理;(ii)根據(jù)題設(shè)條件題出的估計值和的估計值,剔除之外的數(shù)據(jù),算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù),即為的估計值,剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方法,即為的估計值．【解析】(1)抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0．9974,從而零件的尺寸在之外的概率為0．0026故．因此．的數(shù)學(xué)期望為．(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在之外的概率只有,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0．0408,發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．(ii)由,得的估計值為,的估計值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外,因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．剔除之外的數(shù)據(jù)9．22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為因此的估計值為剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,因此的估計值為．【考點】正態(tài)分布,隨機變量的期望和方差．【點評】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量中重要的數(shù)學(xué)概念,反應(yīng)隨機變量取值的平均水平,求解離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時,首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì),確定離散型隨機變量的所有取值,然后根據(jù)概率類型選擇公式,計算每個變量取每個值的概率,列出對應(yīng)的分布列,最后求出數(shù)學(xué)期望．正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過一次,尤其是正態(tài)分布的原則．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅰ卷理科·第19題21．(2017年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第18題)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(Ⅱ)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值?【答案】(Ⅰ)分布列略;(Ⅱ)n=300時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值,最大值為520元．【解析】(1)依題意可知的所有可能取值為其中,,所以的分布列為(2)①當時:,此時,當時取到．②當時:若,則,若時,則若時,則的分布列為∴此時,當時取到．③當時,若,則若時,則若時,則的分布列為∴(元)④當時,易知一定小于③的情況．綜上,當為瓶時,的數(shù)學(xué)期望達到最大值．【考點】離散型隨機變量的分布列;數(shù)學(xué)期望;【點評】離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值范圍以及取各值的概率;要理解兩種特殊的概率分布——兩點分布與超幾何分布;并善于靈活運用兩性質(zhì):一是(i=1,2,);二是檢驗分布列的正誤．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第18題22．(2017年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第18題)(12分)淡水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)某頻率直方圖如下：(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0．01)【答案】(1)；(2)有的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；(3)?！久}意圖】概率統(tǒng)計,獨立檢驗等知識的綜合運用【基本解法】(Ⅰ)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0．012×5+0．014×5+0．024×5+0．034×5+0．040×5=0．62，由于兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，于是P(A)=0．62×0．66=0．4092(Ⅱ)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的有100×0．62=62箱，不低于50kg的有38箱，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的有100×0．66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2×2列聯(lián)表如下：箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg合計舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100合計96104200所以，所以有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。(III)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為0．038×5+0．046×5+0．010×5+0．008×5=0．66>0．50，不低于55kg的頻率為0．046×5+0．010×5+0．008×5=0．32<0．50，于是新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)介于50kg到55kg之間，設(shè)新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)為x，則有(55-x)×0．068+0．046×5+0．010×5+0．008×5=0．50解得x=52．3529因此，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值52．35?！军c評】利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預(yù)測．獨立性檢驗考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并能較為準確地給出這種判斷的可信度，隨機變量的觀測值越大，說明兩個變量有關(guān)系的可能性越大．利用頻率直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點：(1)最高的小長方形底邊中點即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．【知識拓展】首先，先表示事件，再寫出其發(fā)生的概率，將未知事件用已知事件表示，依據(jù)事件間的關(guān)系，求出未知事件的概率．統(tǒng)計的基本原理是用樣本估計總體．獨立性檢驗，先填2*2列聯(lián)表，再計算,與參考值比較，作出結(jié)論；中位數(shù)的計算要根據(jù)中位數(shù)以左其頻率和為50%．求面積和計算頻率．【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\獨立性檢驗【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第18題23．(2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第18題)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為:,.【答案】(Ⅰ)理由見解析;(Ⅱ)1.82億噸.【解析】(Ⅰ)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得,,,,.因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明與的線性相關(guān)程度相當高從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.(Ⅱ)由及(Ⅰ)得,.所以,關(guān)于的回歸方程為:.將2016年對應(yīng)的代入回歸方程得:.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.【題目欄目】統(tǒng)計\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗\線性回歸方程【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅲ卷理科·第18題24．(2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第18題)(本題滿分12分)某險種的基本保費為(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234概率0．300．150．200．200．100．05(=1\*ROMANI)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(=2\*ROMANII)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率；(=3\*ROMANIII)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(=1\*ROMANI)設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于，故．(=2\*ROMANII)設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于，故，又因此所求概率為．(=3\*ROMANIII)記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為：．【題目欄目】概率\離散型隨機變量的均值、方差【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅱ卷理科·第18題25．(2016高考數(shù)學(xué)課標Ⅰ卷理科·第19題)(本小題滿分12分)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(I)求的分布列；(=2\*ROMANII)若要求，確定的最小值；(=3\*ROMANIII)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？【答案】(I)16171819202122(=2\*ROMANII)19(=3\*ROMANIII)【官方解答】(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0．2,0．4,0．2,0．2．從而，，，，所以的分布列為16171819202122(=2\*ROMANII) 由(I)得，，故的最小值為19(=3\*ROMANIII)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)當時，當時，．要令，，則的最小值為19可知當時所需要的費用的期望小于當時所需要的費用的期望∴故應(yīng)選．【民間解答】=1\*GB2⑴ 每臺機器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11記事件為第一臺機器3年內(nèi)換掉個零件記事件為第二臺機器3年內(nèi)換掉個零件由題知，設(shè)2臺機器共需更換的易損零件數(shù)的隨機變量為則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，2216171819202122=2\*GB2⑵要令，，則的最小值為19．=3\*GB2⑶購買零件所需費用含兩部分