線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

杏林學(xué)院國(guó)貿(mào)101蔡慧1004123016線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用線性代數(shù)有什么用？這是我們剛剛開始思考時(shí)的第一個(gè)問題。其實(shí)線性代數(shù)作為一個(gè)將復(fù)雜多元方程簡(jiǎn)單化求解的數(shù)學(xué)工具，對(duì)分析多種變量相互影響而產(chǎn)生復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的經(jīng)濟(jì)學(xué)的貢獻(xiàn)可謂是不言而喻的。在本科階段的學(xué)習(xí)中，線性代數(shù)的重要性便集中體現(xiàn)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)大量數(shù)據(jù)的處理上。比如欲預(yù)測(cè)10年后某地區(qū)的房屋價(jià)格，可通過搜集人均收入、土地價(jià)格、建筑原材料價(jià)格等多種變量的基期數(shù)據(jù)，用假定和計(jì)量的方法、統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)分析房屋價(jià)格與各因素的相關(guān)程度并用線性代數(shù)的數(shù)學(xué)方法解多元線性方程組，從而計(jì)算出相應(yīng)公式，再加入通貨膨脹、利息率等現(xiàn)實(shí)因素，便可大致模擬出10年后該地的房屋價(jià)格。又如在國(guó)民經(jīng)濟(jì)部門，投入產(chǎn)出分析主要是編制棋盤式的投入產(chǎn)出表和建立相應(yīng)的線性代數(shù)方程式體系，構(gòu)成一個(gè)模擬現(xiàn)實(shí)的國(guó)民經(jīng)濟(jì)結(jié)果和社會(huì)產(chǎn)品再生產(chǎn)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，借助計(jì)算機(jī)綜合分析和確定國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門間錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系和再生產(chǎn)的重要比例關(guān)系。這里我想重點(diǎn)分析一下列昂惕夫的“投入-產(chǎn)出”模型。（關(guān)于列

昂惕夫：列昂惕夫用線性代數(shù)研究經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，1949年曾用計(jì)算機(jī)計(jì)算出了由美國(guó)統(tǒng)計(jì)局的25萬(wàn)條經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)所組成的42個(gè)未知數(shù)42個(gè)方程的方程組。）投入產(chǎn)出分析的方法基礎(chǔ)包括：線性方程組和矩陣運(yùn)算（靜態(tài)模型）、微分方程和差分方程（動(dòng)態(tài)模型）、電子計(jì)算機(jī)。其中線性方程組和矩陣運(yùn)算、微分方程和差分方程都屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)，而我們這里主要考慮數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)系，即這里的線性方程組和矩陣運(yùn)算。線性方程組:方程：含有未知數(shù)的等式元一次方程：只有一個(gè)未知數(shù)且乘方次數(shù)是一次的方程。n元一次方程組（n維線性方程組）n>1ax+ax+—+ax=c111 122 1nn1ax+ax+—+ax=c211 222 2nn2ax+ax+???+&x=cnl1n22 nnnn1a12...alna12an2維線性方程組可變換為矩陣方程:1a12...alna12an2a1C1X2C2……xncn孔—a22...a2nan2...ann矩陣運(yùn)算初步：矩陣：按行和列規(guī)則排列的矩形表叫矩陣（行與列相等的叫方陣）。向量：只有一行或一列的矩陣叫向量，向量是一個(gè)特殊的矩陣。兩個(gè)矩陣相加減，是指對(duì)應(yīng)元素相加減，前提條件是兩個(gè)矩陣行列數(shù)必須對(duì)應(yīng)相等。對(duì)于經(jīng)濟(jì)工作而言，矩陣加法是同類性質(zhì)的兩個(gè)或兩個(gè)以上表格相加（匯總）的過程，矩陣減法則是匯總表減去一個(gè)或若干個(gè)局部表所得到的數(shù)據(jù)表。（矩陣加減法滿足交換律和結(jié)合律）矩陣與矩陣相乘，是指前面矩陣的每一行與后面矩陣的每一列對(duì)應(yīng)元素乘積之和，前提是前面矩陣的列數(shù)與后面矩陣的行數(shù)相同。數(shù)與矩陣相乘，用該數(shù)乘以矩陣中的每一個(gè)元素，相當(dāng)于若干個(gè)相同的矩陣相加。（矩陣乘法滿足結(jié)合律和分配律，不滿足于交換律）逆矩陣：一個(gè)矩陣A與另一個(gè)矩陣8相乘，其結(jié)果是單位矩陣E，則稱B矩陣是A矩陣的逆矩陣。（只有方陣才有逆矩陣，但不是所有的方陣都有逆矩陣，當(dāng)方陣的行列式值不等于零時(shí)，才有逆矩陣）矩陣A的逆矩陣可以等于矩陣A的行列式分之一乘以矩陣A的伴隨矩陣。（伴隨矩陣是原矩陣的代數(shù)余子式組成的轉(zhuǎn)置矩陣）投入產(chǎn)出分析：首先要理解投入產(chǎn)出模型的概念，然后列出投入產(chǎn)出平衡表，并寫出產(chǎn)品分配平衡方程組和產(chǎn)值構(gòu)造平衡方程組，最后要能對(duì)平衡方程組進(jìn)行求解。根據(jù)假設(shè)，每一個(gè)部門都負(fù)擔(dān)著生產(chǎn)和消費(fèi)的作用，就產(chǎn)品的分配來(lái)看，一方面將自己的產(chǎn)品分配給各部門作為生產(chǎn)資料或滿足社會(huì)的非生產(chǎn)性消費(fèi)需求，并提供積累；另一方面，每一個(gè)生產(chǎn)部門在其生產(chǎn)過程中，也要消耗各部門的產(chǎn)品。所以該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門之間就形成了一個(gè)錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系。為了清楚地表示這個(gè)關(guān)系，就利用投入產(chǎn)生平衡表來(lái)表示。投入產(chǎn)出平衡表分為四個(gè)部分與平面直角坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)，左上，右上，左下，右下分別稱為第1、第2、第3、第4象限。在第1象限，橫行看，該部門作為生產(chǎn)部門將自己的產(chǎn)品分配給各部門；縱行看，該部門又作為消費(fèi)者在生產(chǎn)過程中消耗各部門的產(chǎn)品；行與列的交叉點(diǎn)可以看作是列行部門消耗行部門的產(chǎn)品量。這部分是投入產(chǎn)出平衡表最基本的部分。第2象限，是第1象限的橫向延伸，它反映了該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各生產(chǎn)部門用于最終產(chǎn)品的情況。橫行看，反映了該部門用于最終產(chǎn)品的分配情況；縱列看，反映了該部門用于消費(fèi)、積累等方面的最終產(chǎn)品分別由各部門提供的數(shù)量情況。第3象限，是第1象限的縱向延伸，它反映了主要的經(jīng)濟(jì)關(guān)系。橫行看，反映了各部門創(chuàng)造的價(jià)值（勞動(dòng)報(bào)酬與純收入）的構(gòu)成情況；縱列看，反映了該部門創(chuàng)造的價(jià)值的數(shù)量情況。第4象限，反應(yīng)總收入的再分配情況。第1,2象限的每一行都可以寫出線性方程，得到一個(gè)方程組，這個(gè)方程組稱為產(chǎn)品分配平衡方程組。第1,3象限的每一列也可以寫出線性方程，得到一個(gè)方程組，這個(gè)方程