2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題培優(yōu)教案專題05 倍長中線模型（含答案解析）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題5倍長中線模型

解題策略

如圖①,A。是△A8C的中線，延長AD至點(diǎn)E使易證：△AD8MEDB(SAS).

如圖②是BC中點(diǎn)，延長FD至點(diǎn)E使OE=FD易證：/\FDB冬/XEDC(S4S)

當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形,目的是對已知條件中的線段

進(jìn)行轉(zhuǎn)移.

/----------------X

經(jīng)典例題

X,________________z

【例1】.(2020?陜西咸陽?一模)問題提出

(1)如圖，力。是△ABC的中線，則AB+4C22D；(填或“=”)

問題探究

(2)如圖,在矩形4BCD中,CD=3,BC=4,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上任意一點(diǎn)，當(dāng)△力EF的周長最小吐求

CF的長;

AD

BEC

問題解決

（3）如圖,在矩形4BCD中/C=4,BC=2,點(diǎn)。為對角線4c的中點(diǎn)，點(diǎn)P為4B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC上任意一

點(diǎn)，連接PO、PQ、BQ,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使折線OPQB的長度最??？若存在，請確定點(diǎn)Q的位置，并求出折線

OPQB的最小長度；若不存在,請說明理由.

【例2】.（2021.湖北武漢?八年級期中）己知△ABC中，

（1）如圖1,點(diǎn)￡為BC的中點(diǎn)，連4E并延長到點(diǎn)尸，使FE=E4則BF與AC的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,若AB=4C,點(diǎn)E為邊4C一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC的垂線交BE的延長線于點(diǎn)。，連接4D,若N/MC=

N4BO,求證：AE=EC.

（3）如圖3,點(diǎn)。在AABC內(nèi)部,且滿足AD=BC/BAD=WCB,點(diǎn)M在DC的延長線上，連4M交BC的延長

[例3]（2020?安徽合肥:模）如圖,正方形ABCQ中,E為8c邊上任意點(diǎn),AF平分/EAQ,交CD于點(diǎn)F.

⑴如圖1,若點(diǎn)F恰好為CZ）中點(diǎn),求證：AE=BE+2CE；

（2）在⑴的條件下，求案的值；

DC

⑶如圖2,延長A/交5c的延長線于點(diǎn)G,延長4E交。C的延長線于點(diǎn)H,連接4G，當(dāng)CG=O尸時,求證：HG

,LAG.

D

【例4】.(2020?江西宜春?一模)將一大、一小兩個等腰直角三角形拼在一起,04=OB,OC=OD/AOB=

乙COD=90",連接力C,BD.

(1)如圖1,若4、。、D三點(diǎn)在同一條直線上，則4C與8。的關(guān)系是；

(2)如圖2,若人。、。三點(diǎn)不在同一條直線上/C與8D相交于點(diǎn)E,連接。瓦猜想4E、BE.OE之間的數(shù)量

關(guān)系,并給予證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下作BC的中點(diǎn)F,連接。凡直接寫出2D與OF之間的關(guān)系.

培優(yōu)訓(xùn)練

\________________z

一、解答題

1.(2022?全國?八年級)如圖1,在AABC中，若48=10,BC=8,求AC邊上的中線8。的取值范圍.

(1)小聰同學(xué)是這樣思考的：延長8。至旦使。連接CE,可證得△€?￡￡＞絲△ABO.

①請證明△CEDm/XABD；

②中線BD的取值范圍是.

(2)問題拓展：如圖2,在△43C中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，分別以AB,8c為直角邊向△A8C外作等腰直角三角

形ABM和等腰直角三角形BCN,其中工B=BM,BC=8N,NABM=/NBC=/90。,連接MN.請寫出BD與

MN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

M

2.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①,aABC中48=74C=5,點(diǎn)。為3c的中點(diǎn)，求AZ）的

取值范圍.

小明的解法如下：延長AD到點(diǎn)E,使連接CE.

-BD=DC

在△AB。與△EC。中，乙ADB=乙EDC

.AD=DE

：./\ABD=AECD（SAS）

：.AB=.

又?在△4EC中EC-ACVAECEC+AC,而AB=EC=1,AC=5,

：.<AE<.

又：人—2"）.

<AD<.

【探索應(yīng)用】如圖②48||€1548=25,。。=8,點(diǎn)七為8。的中點(diǎn),/。/^=/54￡求。尸的長為.（直

接寫答案）

【應(yīng)用拓展】如圖③,NBAC=60o,NCZ）E=120o,AB=ACOC=OE,連接8E,尸為8E的中點(diǎn)，求證：APX

DP.

圖②圖③

3.（2022?江蘇?八年級課時練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動,請你來加入.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

如圖1,延長△ABC的邊8c到。，使OC=BC,過。作。E〃AB交AC延長線于點(diǎn)E,求證：AABC^AEDC.

【理解與應(yīng)用】

如圖2,已知在aABC中，點(diǎn)E在邊BC上且/CAE=NB,點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，若A。平分NBAE.

(1)求證：AC=3O；

(2)若8。=3工。=54丘=乂求》的取值范圍.

4.(2022?全國?八年級課時練習(xí))已知：多項式N+4x+5可以寫成(x-1)2+a(x-1)+b的形式.

(2)AA8C的兩邊BC,AC的長分別是a力，求第三邊4B上的中線C7)的取值范圍.

5.(2022?山東淄博?八年級期末)如圖，。為四邊形ABCC內(nèi)一點(diǎn),E為43的中點(diǎn),QA=0D,08=0C,NA0B+

ZCOD=180°.

(1)若/BOE=NBAO,AB=2四,求OB的長；

(2)用等式表示線段OE和CD之間的關(guān)系，并證明.

6.(2022.江蘇?八年級課時練習(xí))如圖,在銳角AABC中，乙4=60。,點(diǎn)。,E分別是邊AB/C上一動點(diǎn)，連接BE交

直線CO于點(diǎn)F.

A

AMA

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若4B>AC,S.BD=CE/BCD="BE,求“FE的度數(shù)；

(2)如圖2,若4B=AC,且BD=4E,在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段CM,連接MF,點(diǎn)N是

MF的中點(diǎn)，連接CN.在點(diǎn)DE運(yùn)動過程中，猜想線段B￡CF￡N之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

7.(2022?全國?八年級專題練習(xí))如圖1,在△力BC中,CM是4B邊的中線,/BCN=NBCM交力B延長線于點(diǎn)

N,2cM=CN.

(2)如圖2,NP平分乙4NC交CM于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)0,若乙4MC=120°,CP="C,求工的值.

8.(2021.全國?八年級單元測試)(1)如圖中,4。為中線，求證：AB+AO2AD；

(2)如圖2,ZMBC中，。為BC的中點(diǎn),￡>E_LD尸交AB、AC于E、F.求證：BE+CF>EF.

9.（2022?江蘇?八年級課時練習(xí)）（1）如圖1,已知AHBC中,A。是中線，求證：AB+AO2AD；

（2）如圖2,在△力BC中Q,E是BC的三等分點(diǎn),求證：AB+AC>AD+AE；

(3)如圖3,在△ABC中,￡>,E在邊BC上，且BD=CE.求證：AB+AC>AD+AE.

10.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）在△ABM中垂足為點(diǎn)。是線段AM上一動點(diǎn).

（1）如圖1,點(diǎn)C是延長線上一點(diǎn),MD=MC,連接AC,若30=17,求AC的長；

（2）如圖2,在（1）的條件下，點(diǎn)E是aABM外一點(diǎn),EC=AC,連接ED并延長交BC于點(diǎn)F,且點(diǎn)尸是線段

BC的中點(diǎn)，求證：/BDF=NCEF.

（3）如圖3,當(dāng)E在8。的延長上，且AEJ_8J4E=EG時,請你直接寫出Nl、N2、N3之間的數(shù)量關(guān)

11.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）已知：等腰RtziABC和等腰Rt△4DE中,AB=4C,4E=/W/B4C=

AEAD=90°.

圖1

（1）如圖1,延長DE交BC于點(diǎn)F,若MAE=68。,則NDFC的度數(shù)為；

（2）如圖2,連接EC、BD,延長E4交BD于點(diǎn)M,若乙4EC=90。,求證：點(diǎn)M為BD中點(diǎn)；

（3）如圖3,連接EC、BD,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，連接AG,交8D于點(diǎn)/MG=9,HG=5,直接寫出△力EC的面積.

12.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）在AABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)4旋轉(zhuǎn),BM_L直線a于點(diǎn)

M.CN1直線a于點(diǎn)N,連接PMFN.

⑴如圖1,若點(diǎn)B,P在直線a的異側(cè)，延長MP交CN于點(diǎn)E.求證：PM=PE.

（2）若直線a繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點(diǎn)B,P在直線a的同側(cè)淇它條件不變，此時S"MP+$ACNP=

7,BM=1,CN=3,求MN的長度.

圖2

（3）若過P點(diǎn)作PG1直線a于點(diǎn)G.試探究線段PG、和CN的關(guān)系.

備用圖

13.（2021.陜西?西安市鐵一中學(xué)八年級開學(xué)考試）（1）閱讀理解：如圖1,在△A8C中，若AB=10,8C=

8.求AC邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至E,使QE=B。,連接CE.利用全

等將邊A3轉(zhuǎn)化到CE,在△8CE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線8。的取值范圍,在這個過程中小聰同

學(xué)證三角形全等用到的判定方法是;中線BD的取值范圍是.

（2）問題拓展：如圖2,在AABC中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，分別以為直角邊向aABC外作等腰直角三角

形ABM和等腰直角三角形8CN,其中NABM=/NBC=90。,連接MN,探索3。與MN的關(guān)系，并說明理由.

A/

N

B

圖2

14.（2020?遼寧?大連市第三十四中學(xué)八年級階段練習(xí)）課堂上，老師出示了這樣一個問題:

如圖1,點(diǎn)。是△力BC邊BC的中點(diǎn)=5,AC=3,求4。的取值范圍.

（1）小明的想法是，過點(diǎn)8作BE〃/1C交4D的延長線于點(diǎn)E,如圖2,從而通過構(gòu)造全等解決問題，請你按照小

明的想法解決此問題；

（2）請按照上述提示，解決下面問題：

在等腰Rt△ABC中/BAC=90。,AB=AC,點(diǎn)。邊4c延長線上一點(diǎn)，連接BD,過點(diǎn)4作4E1BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)4作

AF1AE,5.AF=4E,連接EF交BC于點(diǎn)G,連接CF,求證BG=CG.

15.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是NMON內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作用〃ON交OM于點(diǎn)A,P8〃

OM交ON于點(diǎn)B（雨NPB）,在線段08上取一點(diǎn)C,連接4C,將△AOC沿直線AC翻折，得到△"＞（；延長AD

交PB于點(diǎn)E,延長CD交PB于點(diǎn)F.

（1）如圖1,當(dāng)四邊形AOBP是正方形時,求證：DF=PF,

（2）如圖2,當(dāng)C為OB中點(diǎn)時，試探究線段AE,AO,BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接CE,/ACE的平分線CH交AE于點(diǎn)“，設(shè)0A=a,BE=6,若NC40=Z

CEB,求△C￡>〃的面積（用含“力的代數(shù)式表示）.

圖3

16.（2022?全國?八年級專題練習(xí)）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1,在

△A8C中,A8=8,AC=6,求BC邊上的中線AZ）的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方

法（如圖2）,

圖1圖2圖3

①延長AD到M使得DM=AD-,

②連接通過三角形全等把AB、AC、2A。轉(zhuǎn)化在AABM中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得4M的取值范圍為AB-8MVAMV4B+8M從而得到AD的取值范圍

是;

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法''多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

（2）請你寫出圖2中AC與8M的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明.

（3）深入思考?：如圖34力是AABC的中線4C=A尸尸=90。,請直接利用（2）的結(jié)

論，試判斷線段A。與EF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

17.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1,在AABC中，若AB=5,AC=8,求BC邊上的中線

A力的取值范圍.小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至E,使OE=4。，連接BE.利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到

BE,在△8AE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AO的取值范圍.在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用

到的判定方法是，中線AD的取值范圍是；

(2)問題解決：如圖2,在△A8C中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在48邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若力MLCW.求

證：BM+CN>MN；

(3)問題拓展：如圖3,在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，分別以48,4(?為直角邊向442(7外作MZXABM和

RfZXACN,其中N54M=NNAC=90o,A8=AM,AC=4V,連接MN,探索A。與MN的關(guān)系，并說明理由.

CE于點(diǎn)P.

(1)如圖1,求證：ZBPC=120°；

(2)點(diǎn)M是邊8C的中點(diǎn)，連接以,PM,延長8P到點(diǎn)F，使PF=PC,連接CF,

①如圖2,若點(diǎn)A,P,M三點(diǎn)共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是.

②如圖3,若點(diǎn)三點(diǎn)不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由.

19.(2022?山東德州?八年級期末)(1)方法呈現(xiàn)：

如圖①：在4人5。中，若4B=6,AC=4,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線4。的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長AQ到點(diǎn)E使DE=4。,再連接BE,可證△4CD三AEBD,從而把AB、

AC,24。集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AO的取值范圍是這種解決

問題的方法我們稱為倍長中線法：

(2)探究應(yīng)用：

如圖②，在△ABC中，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn),DE1OF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)、E,OF交AC于點(diǎn)F,連接EF,判斷BE+

CF與E尸的大小關(guān)系并證明；

（3）問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中,4B〃CD,AF與OC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是NB力尸的角平

分線.試探究線段AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

圖③

20.（2021?重慶市渝北中學(xué)校九年級階段練習(xí)）（1）如圖1.在RtZsACB中，NACB=90°,AC=S,BC=6,

點(diǎn)D、E分別在邊CA,CB上且CD=3,CE=4,連接AE,BD,尸為AE的中點(diǎn),連接CF交BD于點(diǎn)、G,則線段

CG所在直線與線段8。所在直線的位置關(guān)系是.（提示：延長C尸到點(diǎn)M,使加=C居連接AM）

（2）將△DCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明;

若不成立,請說明理由.

（3）將△OCE繞點(diǎn)C逆時針在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B,D,E三點(diǎn)在同一條直線上時,CF的長

為.

21.（2022?安徽宿州?九年級期末）已知：在矩形48CD中，連接ZC,過點(diǎn)。作DF14C,交2C于點(diǎn)E,交4B于點(diǎn)

F.

（1）如圖1,若tan乙4co=—.

2

①求證：AF=BF：

②連接BE,求證：CD=近BE.

（2）如圖2,若4尸2=AB.BF,求cos/FDC的值.

22.（2022.全國.八年級課時練習(xí)）閱讀理解：

圖3

（1）如圖1,在△4BC中，若AB=10,4C=6,求BC邊上的中線4D的取值范圍.解決此問題可以用如下方

法：延長4。到點(diǎn)E,使得4。=0E,再連接8E,把4區(qū)",24。集中在△48E中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中

線力。的取值范圍是.

（2）解決問題：如圖2,在△ABC中刀是BC邊上的中點(diǎn),DE1DFQE交4B于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求

證：BE+CF>EF.

（3）問題拓展：如圖3,在4ABC中，。是BC邊上的中點(diǎn)，延長ZM至E,使得AC=BE,求證：/.CAD=乙BED.

23.（2022全國?八年級課時練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動,請你來加入.

圖1圖2困3

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖14。是AABC的中線，延長A。至點(diǎn)E,使ED=4D,連接BE,證明：△4CD三△EBD.

【理解與應(yīng)用】

(2)如圖2,EP是ADEF的中線，若EF=5,DE=3,設(shè)EP=x，則x的取值范圍是.

(3)如圖3H。是△ABC的中線,￡\尸分別在AB、AC上，且DE1DF,求證：BE+CF＞EF.

24.(2020?福建福州?九年級開學(xué)考試)如圖1,已知正方形4BCD和等腰RMBEF,EF=BE/BEF=90。,F是

線段BC上一點(diǎn)，取D尸中點(diǎn)G,連接EG、CG.

(1)探究EG與CG的數(shù)量與位置關(guān)系,并說明理由；

(2)如圖2,將圖1中的等腰心4師尸繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)61。(0＜。＜90。),則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？

請說明理由；

(3)在(2)的條件下，若4。=2,求2GE+B尸的最小值.

經(jīng)典例題

________________y

【例11（2020?陜西咸陽?一模）問題提出

（1）如圖,40是△4BC的中線，則48+AC2AD；（填“或“="）

問題探究

（2）如圖,在矩形4BCD中,CO=3,BC=4,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上任意一點(diǎn)，當(dāng)△4EF的周長最小時，求

CF的長；

問題解決

（3）如圖，在矩形力BCD中=4,BC=2,點(diǎn)0為對角線4c的中點(diǎn)，點(diǎn)P為力B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC上任意一

點(diǎn)，連接P0、PQ、BQ,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使折線OPQB的長度最??？若存在，請確定點(diǎn)Q的位置，并求出折線

OPQB的最小長度；若不存在,請說明理由.

【答案】（1）>:（2）CF=1；（3）當(dāng)點(diǎn)Q與4c的中點(diǎn)。重合時斷線OPQB的長度最小，最小長度為4.

【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出4B=EC,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系

定理即可得;

（2）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出48=3/8=/BCD=90。,4B〃CD,從而可得AE的長，再根

據(jù)三角形的周長公式、兩點(diǎn)之間線段最短得出△4EF的周長最小時，點(diǎn)F的位置，然后利用相似三角形的判定

與性質(zhì)即可得；

（3）如圖（見解析），先根據(jù)軸對稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出折線OPQB的長度最小時四點(diǎn)

共線,再利用直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出NB4C=30。,AB=2V3,A0=2,然后利用軸對稱的性質(zhì)、

角的和差可得48,=2^,AO'=2,^B'A0'=90。,由此利用勾股定理可求出夕。的長，即折線。PQB的最小長

度；設(shè)B'O'交4c于點(diǎn)Q',根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得4Q'=2,從而可得4Q'=40,由此即可得折線

OPQB的長度最小吐點(diǎn)Q的位置.

【詳解】(1)如圖，延長AD,使得DE=4。,連接CE

???4。是△ABC的中線

BD=CD

AD=ED

在448。和4ECD中,,Z.ADB=乙EDC

.BD=CD

.-?AABDECD(SAS)

：.AB=EC

在^ACE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：EC+AOAE,即EC+AC>AD+DE

?**AB-l-AC>2.AD

故答案為：>;

（2）如圖，作點(diǎn)E關(guān)于CD的對稱點(diǎn)G,連接FG,則CE=CG

??,四邊形ABCD是矩形,CD=3,8C=4

AB=CD=3,48=乙BCD=90。,4B“CD

DC垂直平分EG

???EF=FG

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

1

BE=CE=-BC=2

AE=yjAB2+BE2=代,CG=CE=2.BG=BC+CG=6

則44EF的周長為4E+EF+AF=V13+EF+AF=V13+FG+AF

要使△AEF的周長最小，只需FG+4F

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)4F,G共線吐FG+4尸取得最小值4G

vAB“CD

/.△FCG?4ABG

吟吟，畔卷

解得CF=1；

（3）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于4c的對稱點(diǎn)B',作點(diǎn)。關(guān)于4B的對稱點(diǎn)。',連接4B',Q8',力。'/。',8'0',則（28=

QB',OP=O'P

，折線OPQB的長度為OP+PQ+QB=O'P+PQ+QB'

由兩點(diǎn)之間線段最短可知,O'P+PQ+QB'>B'O',當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B1Q,P,O'四點(diǎn)共線時，折線OPQB取得最小長

度為B'。'

?在矩形4BCD中=4,BC=2,/.ABC=90°

:?乙BAC=30MB=y/AC2-BC2=2百

?.?點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)

：.AO=-AC=2

2

:點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于/C對稱，點(diǎn)。與點(diǎn)。'關(guān)于力B對稱

：.Z.B'AC=/.BAC=30°,AB'=AB=273

/.O'AB=Z.BAC=30。/。'=AO=2

：./.B'AO'=/.B'AC+ABAC+/.O'AB=90°

AB'O'=y/AB'2+A0'2=J（2百/+22=4

設(shè)B'。'交AC于點(diǎn)Q'

在RtA48'。'中,40'=2,B'O'=4

J.^AB'O'=30°

乙400=900-Z.AB'0'=60。,即4O'Q'=60°

）L'：AO'AQ'=ABAC+WAB=60°

.?.△40'Q'是等邊三角形

：.AQ'=A0'=2

\'A0=2

AQ'=AO

二點(diǎn)Q'與4c的中點(diǎn)。重合

綜上，當(dāng)點(diǎn)Q與AC的中點(diǎn)0重合時，折線OPQB的長度最小，最小長度為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角

形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（3），利用軸對稱的性質(zhì)正確找出折線OPQB的最小長度是解題關(guān)

鍵.

【例2】.（2021.湖北武漢.八年級期中）已知△ABC中,

（1）如圖1,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連4E并延長到點(diǎn)F,使FE=E4則BF與4c的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2,若4B=4C,點(diǎn)E為邊4c一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC的垂線交BE的延長線于點(diǎn)。，連接4。,若Z/MC=

N4BD,求證：AE=EC.

（3）如圖3,點(diǎn)。在△4BC內(nèi)部,且滿足ZD=BC/B4D=4DCB,點(diǎn)、M在DC的延長線上，連4M交BD的延長

線于點(diǎn)N,若點(diǎn)N為4M的中點(diǎn)，求證：DM=AB.

【答案】（1）BF=AC;（2）見解析；（3）見解析

【分析】（1）通過證明ABEF三△CE4即可求解：

（2）過點(diǎn)A引4F||CD交BE于點(diǎn)尸，通過△ABFSAC4D得至必F=CD,再通過△AFE6CDE即可求解;

(3)過點(diǎn)“作時7||4B交BN的延長線于點(diǎn)T,MG||40,在MT上取一點(diǎn)K,使得MK=CD,連接GK,利用全等三

角形的性質(zhì)證明AB=MT、DM=M「即可解決.

【詳解】證明：(1)BF=AC

由題意可得：BE=EC

在ABE尸和ACEA中

'BE=EC

乙BEF=/.CEA

,EF=AE

.?.△BEF三△CEA(SAS)

:.BF=AC

(2)過點(diǎn)A引AF||CD交BE丁點(diǎn)凡如卜圖：

由題意可得：CD1BC,且NEAF=Z.ACD

則4F1BC

又=AC

.?.AF平分NB4C,

J.Z.BAF=LEAF=AACD

...在AABF和ACAD中

(/.ABF=ADAC

AB=AC

V/.BAF=^ACD

.?.△/WF三△C/WQ4SA)

：.AF=CD

在△”后和4CDE中

ZF4E=4DCE

AAEF=MED

,AF=CD

：.△AFE三△CDE(AAS)

：.AE=EC

(3)證明：過點(diǎn)M作MT||AB交BN的延長線于點(diǎn)T,MG||AD,在MT上取一點(diǎn)K,使得MK=CD,連接GK,如下

圖：

\'AB||MT

"ABN=乙T

?2ANB=乙MNT,AN=MN

：.△ANB=△MNT(AAS)

；?BN=NT,AB=MT

VMG||AD

，乙ADN=乙MGN

■:乙AND=乙MNG,AN=NM

：?〉A(chǔ)NDMNG(AAS)

：.AD=MG,DN=NG

:?BD=GT

■:乙BAN=乙AMT,乙DAN=乙GMN

工乙BAD=乙GMT

?:乙BAD=乙BCD

：.Z.BCD=Z.GMK

\UAD=BC,AD=GM

：.BC=GM

又〈MK=CD

：.△BCDGMK(SAS)

：.GK=BD/BDC=乙MKG

/.GK=GT/MDT=乙GKT

"GKT=NT

：.DM=MT

\'AB=MT

：.DM=AB

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

【例3】.(2020?安徽合肥?二模)如圖,正方形ABCD中,E為8c邊上任意點(diǎn)力F平分/E4D,交CZ)于點(diǎn)F.

⑴如圖1,若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn),求證：AE=BE+2CE；

(2)在⑴的條件下，求案的值；

DC

(3)如圖2,延長A尸交的延長線于點(diǎn)G,延長AE交。C的延長線于點(diǎn)，，連接HG,當(dāng)CG=￡>F時,求證：HG

1AG.

【答案】⑴見解析；(2道(3)見解析

【分析】(1)延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G,利用“AAS”證4ADF四4GCF得AD=CG,據(jù)此知CG=BC=

BE+CE,根據(jù)EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得證；

(2)設(shè)CE=a.BE=b，貝I」AE=2a+b,AB=a+b,在RtAABE中，由AB?+BE2=AE2可得b=3a,據(jù)此可得答

案；

(3)連接DG,證aADF絲Z\DCG得NCDG=NDAF,再證△AFHs/\DFG得竺=型，結(jié)合NAFD=NHFG,

DFFG

知△ADFs^HGF,從而得出NADF=NFGH,根據(jù)NADF=90唧可得證.

【詳解】解：(1)如圖1,延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G,

圖1

VAD//CG,

:,NDAF=/G,

又??FF平分ND4E,

???NDAF=NEAF,

：.ZG=ZEAF,

:?EA=EG,

???點(diǎn)尸為CO的中點(diǎn)，

:.CF=DF,

又ZDFA=ZCFG,ZFAD=ZGy

：.AADF^AGCF（A4S）,

:?AD=CG,

：.CG=BC=BE+CE,

：.EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；

（2）設(shè)CE=a,8E=/?,貝ljAE=2a+bAB=a+b,

在RtZiABE中/82+8E2=即（〃+與2+人2=（2。+〃）2,

解得b=3a,b=-〃（舍），

?.?—CE=a=一1；

BCQ+b4

(3)如圖2,連接DG,

圖2

CG=DF,DC=DA,ZADF=ZDCG,

：.△4。尸絲△OCG(SAS),

/.ZCDG=ZDAF,

二NHAF=NFDG,

又,：NAFH=/DFG,

：./\AFH^>/^DFG,

.AF__FH^

DF-FG'

又；ZAFD=ZHFG,

：.△ADFsXHGF、

...ZADF=ZFGH,

,/ZADF=90°,

：.NFGH=90°,

：.AG±GH.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題,解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定與性

質(zhì)等知識點(diǎn).

【例4】.(2020?江西宜春?一模)將一大、一小兩個等腰直角三角形拼在一起,04=0B,0C=。。,乙4。8=

乙COD=90",連接力C,BD.

(1)如圖1,若4、。、。三點(diǎn)在同一條直線上，則4C與8。的關(guān)系是；

(2)如圖2,若人。、。三點(diǎn)不在同一條直線上,4C與BD相交于點(diǎn)E,連接0E,猜想AE、BE、0E之間的數(shù)量

關(guān)系,并給予證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下作BC的中點(diǎn)F,連接OF,直接寫出AD與OF之間的關(guān)系.

【答案】(1)=且4C1BD；(2)4E=BE+V^0E;證明見解析；(3)4D=2。尸且4。_L。凡

【分析】(1)根據(jù)題意利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及延長AC交BD于點(diǎn)C進(jìn)行角的等量代換進(jìn)行分

析即可；

(2)根據(jù)題意在4E匕截取AM=BE,連接0M,并全等三角形的判定證明ZL40C=/BOD和44M。三ABEO,

進(jìn)而利用勾股定理得出。用2+0E2=ME?進(jìn)行分析求解即可；

(3)過點(diǎn)B作BM〃OC,交OF的延長線于點(diǎn)M,延長F0交AD丁點(diǎn)N,證明ABFM三ACFO,AAOD三AOBM,

進(jìn)而即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)；。4=OB,OC=OD.ZAOB=&COD=90",

：.△AOC=△BOD(SAS),AC=BD,

延長AC交BD于點(diǎn)C;如下圖：

,A

Bdi

?：△AOC=△BOD,乙4co=乙BCG,

：.Z.AC0+^CAO=乙BCU+乙CBC'==90°,/-BC'C=90°,

即4c1BD.綜上AC=BDiiAC1BD,

故答案為：AC=BDRAC1BD；

(2)4E=BE+y/20E

證明:在AE上截取AM=BE,連接0M

B

圖2b

???2LA0B=乙COD=90°

Z.AOB+乙BOC=乙COD+Z.BOC

Z.AOC=4BOD

在A40c和ZB。。中

AO=BO

{Z.AOC=乙BOD

0C=0D

AAAOC=ABOD(SAS)

???Z-CAO=Z.DB0

在/力M。和ZBE。中

AM=BE

{/.MAO=Z.EBO

AO=BO

AAAMO=ABEO(SAS)

乙

???OM=0EfZ-A0M=BOE

???Z,A0M+乙MOB=90°

???Z,BOE+乙BOM=90°

???OM2+OE2=ME2

即2。央=ME2

V2OE=ME

??,ME+MA=AE

???^20E+BE=AE\

(3)40=20FB.AD1OF,理由如下：

過點(diǎn)B作BM〃OC,交OF的延長線于點(diǎn)M,延長FO交AD于點(diǎn)N,

VBM/70C,

???ZM=ZF0C,

■:ZBFM=ZCFO,BF=CF,

.?.△BFM=ACFO(AAS),

???OF=MF,BM=CO,

VDO=CO,

:.D0=BM,

?.?BM〃0C,

???ZOBM+ZBOC=180°,

ZBOC+ZAOD=360°-90°-90°=180°,

.\ZOBM=ZAOD,

又；AO=BO,

...△AODwAOBM(SAS),

.\AD=OM=2OF,ZBOM=ZOAD,

ZBOM+ZAON=180°-90°=90°,

.,.NOAD+NAON=90。,即OF1AD.

：.AD=2OFS.AD1OF.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)以及全

等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

培優(yōu)訓(xùn)練

\____________________Z

一、解答題

1.(2022?全國?八年級)如圖1,在AABC中，若48=10,8C=8,求AC邊上的中線8。的取值范圍.

(1)小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E,使。E=BZ),連接CE,可證得△CE。絲△ABD.

①請證明△CEDgaAB。；

②中線BD的取值范圍是.

(2)問題拓展：如圖2,在△ABC中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，分別以AB,BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角

形ABM和等腰直角三角形BCN淇中XB=BMBC=BN,NABM=/NBC=N9O。,連接MN.請寫出BD與

MN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

M

【答案】(1)①見解析；②1<BD<9；(3)MN=28￡>,理由見解析

【分析】(1)①只需要利用SAS證明即可；

②根據(jù)△CEO絲△A8O可得A8=CE,由三角形三邊的關(guān)系可得CE-BC<BE<CE+BC^AB-BC<

BE<AB+BC貝Ij2<BE<18,再由BE=2BD,可得1<BD<9；

(2),延長8。到E使得同(1)原理可證△4￡正g48)8,得到/。4￡=/。(?a4￡'=。8,然后證明/

B4E=NM8N,則可證△8AE絲△M8N得到MN=8E,再由BE=BD+ED=2BD,可得MN=2BD.

【詳解】解：(1)①?；8。是三角形ABC的中線，

.'.AD=CD,

又：/ABD=NCDE,BD=ED,

：.^\CED^/\ABD(SAS)；

②?.?△CED畛△ABD

：.AB-CE,

'：CE-BC<BE<CE+BC,

：.AB-BC<BE<AB+BC即2<BE<18,

又，；BE=BD+DE=2BD,

：.1<BD<9；

故答案為：1<BD<9；

如圖所示，延長BD到E使得DE=BD,

同(1)原理可證(SAS),

:.NDAE=/DCB,AE=CB,

?:BC=BN,

：.AE=BN,

???NA6A仁NNBC=90。，

/.NMBN+/ABC=3600-/ABM-NNBC=180。,

?/ZABC+ZBAC+ZACB=180°,

???ZABC^-ZBAC+ZDAE=\SO\

：.ZBAE+ZABC=\S00,

：.NBAE=NMBN,

XVAB=BM,

:?△BAE咨4MBN(SAS),

:?MN=BE,

?：BE=BD+ED=2BD,

：.MN=2BD.

E

圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于

能夠熟練掌握倍長中線法證明兩個三角形全等.

2.(2022?全國?八年級課時練習(xí))【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①,ZVIBC中工8=7,AC=5,點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，求AO的

取值范圍.

小明的解法如下：延長AD到點(diǎn)瓦使連接CE.

(BD=DC

在AABD與AECD中=Z.EDC

(AD=DE

：.AECD(SAS)

：.AB=.

又；在中EC-AC<AE<EC+AC^nAB=EC=7,AC=5,

/.<AE<.

又

r.<AD<.

【探索應(yīng)用】如圖②,4B||CDA8=25,CD=8,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，/力FE=NBAE,求。尸的長為.（直

接寫答案）

【應(yīng)用拓展】如圖③,NBAC=60o,NC￡>E=120o5AB=AC,OC=OE,連接BE,P為8E的中點(diǎn)，求證：API.

DP.

【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：EC,2,12,1,6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見解析

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由“SAS'可證4AB力畛△ECR可得AB=EC,由三角形的三邊關(guān)系可求解；

探索應(yīng)用：由“SAS'可證△"《二△”（”,可得A8=C4=25,即可求解；

應(yīng)用拓展：由“SAS'可證△￡?以絲可得A8=FE,/P8A=NPEF,由“SAS'可證△AC。絲△FE￡>,可得

AO=FD由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)

解：如圖①，延長AD到點(diǎn)￡使DE=4。,連接CE,

在△ABO與△ECD中，

BD=DC

Z.ADB=乙EDC,

,AD=DE

:.AABDmAECD(SAS),

：.AB=EC,

在△4EC41,EC-AC<AE<EC+AC^A8=EC=7,AC=5,

：.2<AE<\2.

又,.,AE=2AD,

，〕VAOV6,

故答案為：EC,2,12,1,6；

探索應(yīng)用

解:如圖2,延長AE,CD交于H,

???點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，

：.BE=CE,

,:CD〃AB、

：.NABE=/ECH,/H=NBAE,

：./\ABE^AHCE(AAS),

：.AB=CH=25,

：.DH=CH-CD=17y

■:ZDFE=ZBAE,

???NH=NDFE,

：.DF=DH=]1,

故答案為：17：

應(yīng)用拓展

證明：如圖2,延長AP至IJ點(diǎn)F,使/￥=4尸，連接

圖③

在△3%與AEPF中，

PF=AP

乙EPF=乙BPA,

.PE=PB

:?叢BPAQ4EPF(S4S),

??.AB=FE,ZPBA=ZPEF,

?：AC=BC,

:?AC=FE,

在四邊形3AOE中,N3AO+NAQE+NOE8+NEBA=360。,

■:ZBAC=6Q°.ZCDE=120°,

ZC^D+ZADC+ZDEfi+ZEBA=180°.

???ZCALH-ZADC+ZACD=180°,

???NACD=NDEB+NEBA,

:.NACD=/FED,

在△4CO與△FEO中，

AC=FE

^ACD=乙FED,

CD=DE

：.AACD^AFED(SAS),

：.AD=FD,

?；AP=FP,

：.APA.DP.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，證

得三角形全等是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2022?江蘇?八年級課時練習(xí))某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動,請你來加入.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

如圖1,延長/XABC的邊8c至I］D,使Z)C=BC,過。作￡>E〃AB交AC延長線于點(diǎn)E,求證：AABC^AEDC.

【理解與應(yīng)用】

如圖2,已知在△4BC中，點(diǎn)E在邊BC上且NC4E=NB,點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，若AO平分NB4E.

(1)求證：AC=BD-,

(2)若8￡>=34￡>=5,AE=x，求尤的取值范圍.

【答案】［探究與發(fā)現(xiàn)］見解析；［理解與應(yīng)用］(1)見解析；(2)Kx<4

【分析】［探究與發(fā)現(xiàn)］由ASA證明△ABC絲△￡￡>(?即可；

［理解與應(yīng)用］(1)延長AE到F,使EF=E4,連接。尸,證△OE/WZ\CEA(SAS)，得AC=FQ,再證

AFD(AAS),得2￡>=F￡>,即可得出結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得AB=A尸=2x,再由三角形的三邊關(guān)系得4。-8。<48<4￡>+8。,即5-3<2x<5+3,

即可求解.

【詳解】解：［探究與發(fā)現(xiàn)］

證明：'：DE//AB,

:.NB=ND,

又BC=DC,ZACB=ZECD,

：./\ABC^AEDC(ASA)；

［理解與應(yīng)用］

(1)證明：如圖2中，延長AE到￡使￡F=EA,連接DF,

???點(diǎn)七是co的中點(diǎn)，

；?ED=EC,

在ADEF與ACEA中，

(EF=EA

Z.DFF=Z.CEA,

(ED=EC

：./\DEF^/\CEA(SAS),

：.AC=FD,

：.ZAFD=ZCAE.

U：ZCAE=ZB.

：.NAFD二NB,

TAD平分

???NBAD=NFAD,

在△A8O與ZU/T)中，

乙B=Z-AFD

Z.BAD=Z.FAD,

.AD=AD

：./^ABD^/\AFD(AAS),

：.BD=FD,

；.AC=BD；

(2)解：由(1)得：AF=2AE=2x^ABD^/\AFD,

.\AB=AF=2x,

VBD=3,AZ>5,

在AABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD<AB<AD+BD,

即5-3<2x<5+3,

解得：l<x<4,

即x的取值范圍是I<x<4.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目,考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線定義以及三角

形的三邊關(guān)系等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?全國?八年級課時練習(xí))已知：多項式x2+4x+5可以寫成(x-1)2+a(x-1)+b的形式.

(2)AABC的兩邊BC,AC的長分別是“也求第三邊AB上的中線CD的取值范圍.

【答案】(l)a=6,b=10

(2)2<C￡X8

【分析】(1)把0-