管理運(yùn)籌學(xué)課后答案

將下列線性規(guī)劃模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式并列出初始單純形表。minz=x+2x+4x'-3x+2x+2x<19TOC\o"1-5"\h\z-4x+3x+4x>141 2 35x一2x一4x=-261 2 3x<0,x>0,x無約束'1 2 3個(gè)任意大的正解：(1)令x'=-x,x=x'-x",z'=-z，則得到標(biāo)準(zhǔn)型為(其中M為個(gè)任意大的正1 13 3 3數(shù)）maxz'=—2x'+maxz'=—2x'+2x+4x'—4x"+0x+0x—Mx—MxS?tmaxz=2x-x+x3x+x+x<60x-x+2x<101 2 3x+x-2x<201 2 3x,x,x>0

1 2 3解：(1)最優(yōu)解為x*=(15,5,0)T,z*=25。(2)最優(yōu)解為x*=(0,1.5,0,0)t,z*=-3。（2）minz=5x-2x+3x+2xs.t12 3 4x+2x+3x+4x<7<2x+2x+x+2x<3x,x,x,x>0"12 3 41 2 3 3 4 5〃3x'+2x+2x'-2x”+x=194x'+3x+4x'-4x”一x+x=14< 1 2 3 3 5 65氣'+2x?+4x‘'-4x‘''+x7=26x',x,x',x”,x,x,x,x>0"1 2 3 3 4567初始單純形表如表2-1所示:<2-1 c -224-400-M-M9CJX廠b%'x-x。'x3''x〔—x—x.—x—BB2345670x419322-2100019/3-Mx614[4]34-40-11014/4-Mx 26524-4000126/57-z-2+9M2+5M4+8M-4-8M0-M00用單純形法求解下列線性規(guī)劃問題。maxzmaxz=2x+3x—5x1 2 3x+x+x=71 2 32x—5x+x>10x,x,x>01 2 3(2)s.t<分別用大M法和兩階段法求解下列線性規(guī)劃問題。minz=4x+x3x+x=34x+3x-x=62 3x+2x+x=4x,x,x,x>012 3 4解：(1)最優(yōu)解為x*=(6.429,0.571,0)t,z*=14.571。(2)最優(yōu)解為x*=(0.4,1.8,1,0)t,z*=3.4。

已知線性規(guī)劃問題minZ=2x+3x+5x+2x+3xTOC\o"1-5"\h\zx+x+2x+x+3x>4

1 2 3 4 52x一x+3x+x+x>31 2 3 4 51j其對偶問題最優(yōu)解為y;=4/5,1j其對偶問題最優(yōu)解為y;=4/5,y;=3/5;Z*=5。試用對偶理論找出原問題最優(yōu)解。解：先寫出它的對偶問題maxw=4y+3y七+2y2<2y—y<3

1 2y1+3y2<5y1+y2<2y1+y2<3y「y2>0將y*=4/5,y：=3/5代入約束條件可知，第2、3、4個(gè)約束為嚴(yán)格不等式，因此，由互補(bǔ)松弛性得x*=x*=x*=0。又因?yàn)閥*,y*>0,所以原問題的兩個(gè)約束條件應(yīng)取等式，因2 3 4 1 2此有x*二1x;二1xx*二1x;二1x*+x*=3故原問題最優(yōu)解為X*=(1,0,0,0,1)t,Z*=5。現(xiàn)有線性規(guī)劃問題maxz=—5x+5x+13x—x+x+3x<20st]12x+4x+10x<90x,x,x>0"12 3先用單純形法求出最優(yōu)解，然后分析在下列各種條件下，最優(yōu)解分別有什么變化?（1） 約束條件①的右端項(xiàng)系數(shù)由20變?yōu)?0；（2） 約束條件②的右端項(xiàng)系數(shù)由90變?yōu)?0；（3） 目標(biāo)函數(shù)中x3的系數(shù)由13變?yōu)?；（4） x］的系數(shù)列向量由（-1,12）t變?yōu)椋?,5）了；（5） 將原約束條件②改變?yōu)?0x+5x+10x<100；（6） 增加一個(gè)約束條件2氣+3x2+5x3<50。解：在上述LP問題的第①、②個(gè)約束條件中分別加入松弛變量x4,x5得maxz=—5x+5x+13x+0x+0x—x+x+3x+x=20s.t<12x+4x+10x+x=90x,x,x,x,x>0"12345

列出此問題的初始單純形表并進(jìn)行迭代運(yùn)算，過程如表2-11所示。由表2-11中的計(jì)算結(jié)果可知，LP問題的最優(yōu)解X*=(0,20,0,0,10)7,z*=5*20=100。約束條件①的右端項(xiàng)系數(shù)由20變?yōu)?0，則有B-ibB-ib=「10「「30]-30「-4190=-30列出單純形表，并利用對偶單純形法求解，過程如表2-12所示。表2-11 c -551300qCrJX廠bxxxxxBB123450X420-11[3]1020/3 0 x 90 124100195C.-7.-55130013JJX320/3-1/3[1/3]11/3020 0 x _70/3 _46/3__2/3 0 -103 1 35 5C.-7.-2/32/30-13/305JJX220-11310 0 x 1B 160-2-415C.-7.00-2-50 c -551300JCXEbx.x.x.x.x_BB123455x230-11310 0 X -30 160[-2]-415C.-7.00-2-505JJx-152310[-5]3/2 13 x 15 -8012-1/23C.-7.-1600-1-10JJx43-23/5-1/501-3/10 13 x 9 6/52/5101/103C.-7.-103/5-1/500-13/10由表2-12中計(jì)算結(jié)果可知，LP問題的最優(yōu)解變?yōu)閄*=(0,0,9,3,0)t,z*=13x9=117。約束條件②的右端常數(shù)由90變?yōu)?0，則有(1-4k(1-4k%列出單純形表，并利用對偶單純形法求解，B-ib=(20)-10

k1U70Y2。)1［八結(jié)果如表2-13所示。表2-13 c -5 5 13 0 0 CJXKbx.x.x.x.x_B5BX2201-121334150 0 X -10 160[-2]-415c.-z.00-2-50577X252310-53/2 13 x 5 -8012-1/23c.-z.-1600-1-1JJ由表2-13結(jié)果知，LP問題的最優(yōu)解變?yōu)閄*=(0,5,5,0,0)『,z*=5x5+13x5=90。目標(biāo)函數(shù)中七的系數(shù)由13變?yōu)?，由于七是非基變量，其檢驗(yàn)數(shù)變?yōu)閏=8-5x3-0x(-2)=-7<03所以LP問題的最優(yōu)解不變。%的系數(shù)列向量由(-1,12)t變?yōu)?0,5)了，則％在最終單純形表中的系數(shù)列向量變?yōu)椤?0]「0]B-\P=1-415=5從而叫在最終單純形表中的檢驗(yàn)數(shù)變?yōu)?「0] -cc]=匕-CbB-1P'=-5-(5,0)5=-5<0所以LP問題的最優(yōu)解保持不變。(5)將原約束條件②改變?yōu)?0x1+5x2+10x3<100，則％在最終單純形表中系數(shù)列向量變?yōu)镻：=B-1P=(-1,14)7，檢驗(yàn)數(shù)c'=c-CB-1P=-5-(5,0)(-1,14)7=01&在1最終單純形表中系數(shù)'列向量變?yōu)镻；=B-1P=(1,17，檢驗(yàn)數(shù)c=c-CB-1P=5-(5,0)(1,1>=0。2 2B2又因B-1b=1020=20的各分量均大于0，故LP問題的最優(yōu)解不變。-4110020(6)增加一個(gè)約束條件2x1+3x2+5x3<50，則在此約束條件中加入松弛變量扣并將此約束加入到最終單純形表中，繼續(xù)迭代，過程如表2-14所示。由表2-14中計(jì)算結(jié)果可知，LP問題的最優(yōu)解變?yōu)閄*=(0,25/2,5/2,0,15,0)7，z*=5x25/2+13x5/2=95。表2-14 c -5 5 13 0 0 0 Cj_X—_b x x x x x x B B 1 2 3 4 5 6

5x220-1131000x510160-2-4100x.5023500156x220-1131000x510160-2-4100 x -1050[-4]-3016c-z.00-2-500JJ5x225/211/410-5/403/40x51527/200-5/21-1/213 x 5/2_-5/4013/40-1/43c-z.-5/200-7/20-1/2JJ分別用分支定界法和割平面法求解下列整數(shù)規(guī)劃模型。(2)maxz=x+x2x+x(2)maxz=x+x2x+x<64x+5x<201 2x,x>0,且為整數(shù)2「4x+x<102x+3x<8x,x>0,且為整數(shù)1 2解：(1)求解得到最優(yōu)解x*=2,x*=1,z*=-11o(計(jì)算步驟略)(2)僅寫出利用割平面法求解的過程。在原IP問題約束條件中加入松弛變量x3,x4，化為標(biāo)準(zhǔn)型，可得maxz=x+x+0x+0x2x+x+x =6s.t<x+5x++x=20s.t<x,x,x,x>0且為整數(shù)12 3 4不考慮整數(shù)條件，用單純形法求解原問題的松弛問題，計(jì)算結(jié)果如表3-1所示。c.11009.1CJXE_b_x x x一x.B0_0_B乂3 x 6_20_12 4 21[5]31 0 40 1 6_4 4c.-z.11000_1 JJx3 x 2_4_[6/5]4/50110-1/51/55/352c.-z.1/500-1/51 1 JJx1 x 5/3_8/3_1 0 0 1 5/6 -2/3 -1/6 1/3 2c.-z.00-1/6-1/30

因此，松弛問題的最優(yōu)解為X]=5/3,x2=8/3x3=0,x4=0；z=13/3。由于x2不為整數(shù)，因此在最終單純形表中根據(jù)x2所在的行作割平面2/3-1/3（%+氣）<0—x—x<—2將它作為約束條件，引入松弛變量后加到最終單純形表中，并采用對偶單純形法繼續(xù)迭代，計(jì)算過程如表3-2所示。表J-2 c 1 1 0 0 0 C7bx.x.x.X,x_B1Bx15/3112035/64-1/6501x28/301-2/31/300x.-200-1[-1]15C.-7.00-1/6-1/300177x121010-1/61x2201-101/30 x _2_0011-14C-7.0000-1/677由于x1,x2的值均為整數(shù)，所以得到原問題的最優(yōu)解為X*=（2,2）T,z*=4某廠新購4臺(tái)不同類型機(jī)器，可以把它們安裝在4個(gè)不同的地點(diǎn)。由于對特定的機(jī)器而言，某些地方可能安裝起來特別方便且合適，所以不同的機(jī)器安裝在不同的地點(diǎn)費(fèi)用是不同的。估計(jì)的費(fèi)用見表3-3,試制定使得總安裝費(fèi)用最小的安裝方案。表3-3 （費(fèi)用單位：元）地點(diǎn)機(jī)器 --1234機(jī)器總數(shù)1109871234561321121443561需要量1111解：設(shè)11,如果機(jī)器，?安裝在地點(diǎn)7x=解：設(shè)710,否則c廠機(jī)器i安裝在地點(diǎn)/?所需的費(fèi)用。建立該問題的數(shù)學(xué)模型如下:目標(biāo)函數(shù)：min擺4￡…i=1 j=1??約束條件：（1） 每一部機(jī)器只分配在一個(gè)地點(diǎn)，即￡4]x=1i=1,2,3,4（2） 每一個(gè)地點(diǎn)只能有一臺(tái)機(jī)器，即￡4x=1j=1,2,3,4i=1j（3） xj=。或1工作指派問題可以看成是一類特殊的運(yùn)輸問題，每個(gè)供應(yīng)點(diǎn)的供應(yīng)量為1，每個(gè)需求點(diǎn)的需求量也為1。因此，本題可以采用表上作業(yè)法進(jìn)行計(jì)算，也可以利用匈牙利法進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算得到的最佳安裝方案為：機(jī)器1安裝在地點(diǎn)4、機(jī)器2安裝在地點(diǎn)1、機(jī)器3安裝在地點(diǎn)3、機(jī)器4安裝在地點(diǎn)2,最小總安裝費(fèi)為14元。設(shè)有三個(gè)化肥廠供應(yīng)四個(gè)地區(qū)的農(nóng)用化肥。假定等量的化肥在這些地區(qū)使用的效果相同。各化肥廠年產(chǎn)量、各地區(qū)年需求量及從各化肥廠到各地區(qū)運(yùn)送單位化肥的運(yùn)價(jià)如表3-17所示。試確定使總運(yùn)費(fèi)最少的化肥調(diào)撥方案。表3-17需求產(chǎn)地 -----------一一一IIIIIIIV產(chǎn)量（萬噸）A1613221750B1413191560C19202350最低需求（萬噸）最高需求（萬噸）3050707003010不限解：這是一個(gè)產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問題，總產(chǎn)量為160萬t，四個(gè)地區(qū)的最低需求為11。萬t，最高需求為無限。根據(jù)現(xiàn)有產(chǎn)量，第IV個(gè)地區(qū)每年最多能分配到60萬t，這樣最高需求就為210萬t，大于產(chǎn)量。為了求得平衡，在產(chǎn)銷平衡表中增加一個(gè)假想的化肥廠D，其年產(chǎn)量為50萬t。由于各地區(qū)的需求量包含兩部分，如地區(qū)I，其中30萬t是最低需求，故不能由假想化肥廠D供給，令相應(yīng)的單位運(yùn)價(jià)為M（任意大的正數(shù)）；而另一部分20萬t滿足或不滿足均可以，因此可以由假想化肥廠D供給，按前述，可令相應(yīng)的單位運(yùn)價(jià)為0。對凡是需求分兩種情況的地區(qū)，實(shí)際上可按照兩個(gè)地區(qū)看待。這樣可以寫出這個(gè)問題的產(chǎn)銷平衡表（表3-18）和單位運(yùn)價(jià)表（表3-19）。并根據(jù)表上作業(yè)法，可以求得這個(gè)問題的最優(yōu)解，如表3-20所示。表3-18銷地產(chǎn)地II’IIIIIIVIV’產(chǎn)量A50B60

CD銷量3020703010505050銷地產(chǎn)地ff-一II，IIIIIIVIV，A161613221717B141413191515C19192023MMDM0M0M0地產(chǎn)地f'-f.II，IIIIIIVIV，產(chǎn)量A5050B20103060C3020050 D 30 20 _50 銷量302070301050利用單純形法求解下列目標(biāo)規(guī)劃模型。(1)minz-P(d-+d+)+Pdx+2x+d-一d+-50TOC\o"1-5"\h\z2 1 12x+x+d--d+-4012 2 22x+2x+d--d+=80x,x,d-,d+>0,i=1,2,31 2ii解：(1)本題的三個(gè)約束條件都是目標(biāo)約束，有三個(gè)負(fù)偏差變量，因此選擇負(fù)偏差變量為初始基變量。并計(jì)算出各非基變量的檢驗(yàn)數(shù)，得到初始的單純形表如表4-1所示。非基變量的檢驗(yàn)數(shù)分別為吁-P1-2P2和吁-2P]-2P2,它們的最高優(yōu)先級(jí)的系數(shù)都小于零，但。2中P1的系數(shù)等于-2，其絕對值等于2,大于q中P1的系數(shù)的絕對值1，因此x2應(yīng)當(dāng)進(jìn)基。用最小比值法確定d-應(yīng)當(dāng)出基。換基后，通過計(jì)算求得新的基本可行解，如表4-2所示。 c _0__0_P,_0__0_P,_P._0_9-C^jb-^1—x21d-d+d-1d+2d-d+ 1 1 2 2 3 3 P1d-501[2]1-1000025

0Pd-2d-40802212000010-10010-14040J 3氣P-1-20101001P-2-2000001表4-2 c 00P00PP00CrJX廠bxx1d-d+d-1d+2d-d+BB12 1 1 22 3 3 0X2251/211/2-1/20000500d-215[3/2]0-1/21/21-10010Pd-3010-11001-1302 3 P00100100CJ1P-101-100012盡管呵與d;具有相同的負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，但根據(jù)前面討論的原則，由于呵是決策變量，選擇%進(jìn)基，用最小1比值法確定d-出基，換基后，計(jì)算所得新的基本可行解如表4-3所示。<4-3 c 00P00PP00CrJX廠bxx1d-d+d-1d+2d-d+BB121122330X220012/3-2/3-1/31/300—0X11010-1/3[1/3]2/3-2/30030P.d-2000-2/32/3-2/32/31-1302 3—P_0__0__1__0__0__1__0__0_CJ1-P-002/3-2/32/3-2/301首項(xiàng)系數(shù)小于零的檢驗(yàn)數(shù)只有dj的為-2/3弓，因此dj應(yīng)當(dāng)進(jìn)基，由于存在兩個(gè)最小比值，取下標(biāo)最小的變量出基，因此呵出基，換基后，再計(jì)算新的基本可行解，如表4-4所示。 c 00P00PP0J112CnXn bxxd-d+d-d+d-d+0BB12 1 1 2 2 3 3 0x2 4021001-1000d； 3030-112-200Pd- 0-2000-221-12C3r J00100100

此時(shí)所有變量的檢驗(yàn)數(shù)的首項(xiàng)系數(shù)都已經(jīng)大于等于零，因此獲得了滿意解如下：呵=0,可=40,d.=30,其他偏差變量都等于零。某廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，裝配工作在同一生產(chǎn)線上完成，三種產(chǎn)品時(shí)的工時(shí)消耗分別為6、8、10小時(shí)，生產(chǎn)線每月正常工作時(shí)間為200小時(shí)；三種產(chǎn)品銷售后，每臺(tái)可獲利分別為500、650和800元；每月銷售量預(yù)計(jì)為12、10和6臺(tái)。該廠經(jīng)營目標(biāo)如下：（1）利潤指標(biāo)為每月16000元，爭取超額完成；（2）充分利用現(xiàn)有生產(chǎn)能力；（3）可以適當(dāng)加班，但加班時(shí)間不得超過24小時(shí)；（4）產(chǎn)量以預(yù)計(jì)銷售量為準(zhǔn)。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。+pd+pd+++d-+d++d-+d+)

5 5 6 6+800%+d-d+=16000-d+=2002TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"minZ=pd-+pd11 22p（d-+d+

4 4 4500氣+650X26%+8x+10x+ds.t.d++d--d+=242 3 3s.t.%+d--d+=12x+d--d+=105 5%+d--d+=66 6\o"CurrentDocument"%,%,%>0,d-,d+>0（i=1,2,,6）12 3圖5-1計(jì)算從A圖5-1計(jì)算從A到B、C和D的最短路。已知各段路線的長度如圖5-1所示。解：求從A到B、C和D的最短路等價(jià)于求從B、C和D到A的最短路。設(shè)階段變量k=1,2,3,4,依次表示4個(gè)階段選路得過程，第1階段從B、C或D出發(fā)到B3、C3或D3，第2階段從B3、C3或D3出發(fā)到B2、C2或D2，第3階段從B2、C2或D2出發(fā)到B1>C1或D1，第4階段從B1>C1或D1出發(fā)到A；狀態(tài)變量％表示k階段初可能處的位置；決策變量%k表示k階段可能選擇的路線；階段指標(biāo)*表示k階段與所選擇的路線相應(yīng)的路長；

指標(biāo)函數(shù)V=￡V表示k至第4階段的總路長；i-k遞推公式f-min{v+f},k-4,3,2,1;f-0k k k+1 5計(jì)算過程如表5-1所示。由表中計(jì)算結(jié)果可以看出：從B到A的最短路線為B-C3-C2-B1-A，最距離為16；從C到A的最短路線為C—C3—C2—B1tA或C—D3—C2—B1tA,最短距離為21；從D到A的最短路線為DtD3—C2—B1—A，最短距離為20。<5-1knX.VV,=V+f,fX_*4kB,kkk4kJk+13+0Jkkc1A88+08Ad1 A 7 7+0 7 A 3B2B,44+37Bic122+8C2Bi33+36Bic188+8d177+7D2c44+812C1d166+72B3b：1010+717B221313+6C3b21212+711C2c255+6d：66+12D32 7 7+6 13C2d：88+121Bb：99+1716C3355+11c31010+1721C3、D3c31010+11d388+13Dc：1515+1120D3377+133某工業(yè)部門根據(jù)國家計(jì)劃的安排，擬將某種高效率的設(shè)備5臺(tái)，分配給所屬的甲、乙、丙三個(gè)工廠，各工廠若獲得這種設(shè)備之后，可以為國家提供的盈利如表5-2所示。表5-2設(shè)備數(shù)012345甲03791213乙0510111111丙046111212問：這5臺(tái)設(shè)備如何分配給各工廠，才能使國家得到的盈利最大？解：將問題按工廠分為3個(gè)階段，甲、乙、丙3個(gè)工廠分別編號(hào)為1、2、3；設(shè)％表示分配給第k個(gè)工廠至第n個(gè)工廠的設(shè)備臺(tái)數(shù)；叫表示分配給第k個(gè)工廠的設(shè)備臺(tái)數(shù)；則sk+1=sk-xk為分配給第k+1個(gè)工廠至第n個(gè)工廠的設(shè)備臺(tái)數(shù)；P(xk)表示xk臺(tái)設(shè)備分配給第k個(gè)工廠所得得盈利值；仇(％)表示sk臺(tái)設(shè)備分配給第k個(gè)工廠至第n個(gè)工廠時(shí)所得到得最大贏利值。由以上的假設(shè)可寫出逆推關(guān)系式為f(s)=max[P(x)+f(s-x)],k=3,2,1kk*,kk k+1kk0^xkVSkf(s4)=0下面采用逆推法進(jìn)行計(jì)算。第3階段：設(shè)s3臺(tái)設(shè)備(s3=0,1,2,3,4,5)全部分配給工廠丙時(shí)，則最大贏利值為f(s3)=max[P(x3)]

33x333其中x3=s3=0,1,2,3,4,5。因?yàn)榇藭r(shí)只有一個(gè)工廠，有多少臺(tái)設(shè)備就全部分配給工廠丙，故它的盈利值就是該段的最大盈利值。其數(shù)值計(jì)算如表5-3所示。表5-3■X■ P3<^)力藩)戒0123450000144:2662311113412124512125表中x*表示使匕(s「為最大值時(shí)的最優(yōu)決策。設(shè)把S2臺(tái)設(shè)備(52=0,1,2,3,4,5)分配給工廠乙和工廠丙時(shí)，則對每個(gè)S2值有一種最優(yōu)分配方案，使最大盈利值為f(s)=max[P(x)+f(s-x)]2 2 2 2 3 2 2X2其中x2=0,1,2,3,4,5。因?yàn)榻o乙工廠x2臺(tái)，其盈利為P2(x2)，余下的s2-x2臺(tái)就給丙工廠，則它的盈利最大值為f3(s2-x2)o現(xiàn)要選擇x2的值使P(x)+f(s-x)取最大值。其數(shù)值計(jì)算如表5-4所示。322 2 2 2 3 2 2表5-4<j2450000]0■45i-0s1a0+65+4偵十010230111&+611+0-2+0+125+1L]DE11■■+11+01混&。+空5+12W+iiH-V611+4212第1階段：設(shè)把s1臺(tái)(這里只有s1=5的情況)設(shè)備分配給甲乙丙3個(gè)工廠，則最大盈利值為匕(5)=max[p(氣)+七(5-氣)]x1其中呵=0,1,2,3,4,5。因?yàn)榻o甲工廠x1臺(tái)，其盈利為P1(x1)，剩下的5-x1臺(tái)就分給一合丙兩個(gè)工廠，則它的盈利最大值為人(5-呵)。現(xiàn)要選擇呵值使PR)+f2(5-氣)取最大值，它就是所求的總盈利最大值，其數(shù)值計(jì)算如表5-5所示。表5-5p.：比j-r；技—衛(wèi)：)/i（5）01z34550+213+]67-i-149+IQ12+513+0210,2然后按計(jì)算表格的順序反推算，可知最優(yōu)方案有兩個(gè)：由于x*=0，根據(jù)s2=s1-x*=5-0=5，查表5-4知x*=2，由s3=s2-x*=5-2=3，故1 2 1 1 2 3 2 2x;=s3=3。即甲工廠分配0臺(tái)、乙工廠分配2臺(tái)、丙工廠分配3臺(tái)。由于x*=2，根據(jù)s2=s1-x*=5-2=3，查表5-4知x*=2，由s3=s2-x*=3-2=1，故1 2 1 1 2 3 2 2x;=S3=1。即甲工廠分配2臺(tái)、乙工廠分配2臺(tái)、丙工廠分配1臺(tái)。以上兩個(gè)分配方案所得的總盈利均為21萬元。在此問題中，如果原設(shè)備的太熟不是5臺(tái)，而是4臺(tái)或3臺(tái)，用其他方法求解時(shí)，往往需要從頭再算，但用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解時(shí)，這些列出的表仍舊有用，只需要修改最后的表格就

可得到:當(dāng)設(shè)備臺(tái)數(shù)位4臺(tái)時(shí)，最優(yōu)分配方案為孔=1,、;=2,弋=1或％=2,、;=2,弋=0，總盈利為17萬元。當(dāng)設(shè)備臺(tái)數(shù)位3臺(tái)時(shí)，最優(yōu)分配方案為：丁0,x;=2,%=1，總盈利為14萬元。設(shè)有一輛載重量為15噸的卡車，要裝運(yùn)4種貨物。已知4種貨物的單位重量和價(jià)值如表5-6所示，在裝載重量許可的情況下每輛車裝載某種貨物的條件不限，試問如何搭配這4種貨物才能使每輛車裝載貨物的價(jià)值最大？表5-6貨物代號(hào)重量(噸)價(jià)值(千元)貨物代號(hào)重量(噸)價(jià)值(千元)123345 2 3 4 4 5 6 解：設(shè)決策變量x,x,x,x分別為4種貨物的裝載件數(shù)，則問題為一線性整數(shù)規(guī)劃：TOC\o"1-5"\h\z12 3 4maxz=3x+4x+5x+6x12 3 42x+3x+4x+5x<15St< 1 2 3 4? [x,>0,且為整數(shù)(i=1,2,3,4)將其轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，分為4個(gè)階段，每個(gè)階段的指標(biāo)函數(shù)記為g(x)=3x，g(x)=4x，g(x)=5x，g(x)=6x1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4狀態(tài)變量sk表示第k種至第4種貨物總允許載重量，即Sk=2(i+1)x.(k=1,2,3,4)i=k允許狀態(tài)集合為Sk={0,1,2,,15},k=1,2,3,4,最優(yōu)值函數(shù)fk(Sk)表示裝載第k種至第4中貨物的價(jià)值，則動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型為f(s)=max{g(x)+/(s)})kk *、kk k+1k+1T 乂況(%)l/(S5)=0(k=4,3,2,1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為s=s-(k+1)x,k=1,2,3,4允許決策集合為DkDk(sk)T°』2 ,s—k—k+1>,(k=1,2,3,4)即表示在載重量允許的范圍內(nèi)可能裝載第k種貨物的件數(shù)。用逆推方法求解如下： …k=4:f(s)=max{6x},xgD(s),sgS4 4 4 4 4 4 4 4卜S4卜S4={"2,,15}；D4(S4)=1"2,,f5k=3:f(s)=max{5x+f(s)},xgD(s),sgS33 3 44 3 33 3 3

>,S3={0,1,2,,15},s4=s3—4%；TOC\o"1-5"\h\zk=2:f(s)=max{4x+f(s)},xgD(s),sgS2 2 2 3 3 2 2 2 2 2D2(D2(s2)=10』2…,>,S2={0,1,2,???,15},s3=s2-3%；3k=1:f(s)=max{3x+f(s)},xgD(15),s=151A )1 2 2 1 1 1D1(15)={0,1,2,...,7},s2=15—2\。...最后得到問題的最優(yōu)解為x*=6,x*=1,x*=0,x*=0，最優(yōu)值為22千克。12 3 4求解下列矩陣對策，其中贏得矩陣A分別為1/2—1—11/2—1—1(1)—11/2—1_—1—1 1一2721"234(3)5442316（2）2931806 5 4 6 7(4)2 4 3 3 86 2 2 13 2 3 5 4解：（1解：（1）由于maxmina=—1,minmaxa=1/2，ijj jij所以A所對應(yīng)的支付矩陣沒有純對策。即局中人1以,，的概率分別出策略1、2和3,其贏得值為。（2） 由于maxmina=一1,minmaxa=2，所以A所對應(yīng)的支付矩陣沒有純對策。ijij jiij即局中人1以、的概率分別出策略1和策略2,贏得值為.（3） 根據(jù)贏得矩陣有maxmina=minmaxa=a=3，所以G的解為ijijjiij31(氣,P1),Vg=3。(4)根據(jù)贏得矩陣有maxmina=minmaxa=a=4，所以G的解為ijijjiij23(以2,°3),4。甲、乙兩家公司生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，爭奪市場的占有率。假設(shè)兩家公司市場占有率之和為100%，即顧客只購買這兩家公司的產(chǎn)品，無其他選擇。若公司甲可以采用的商業(yè)策略為A］、A2、A3，公司乙可以采用的商業(yè)策略為B］、B2、B3。表7-1給出在不同策略下公司甲的市場占有率。在此情況下，請為這兩家公司選擇他們的最優(yōu)策略。表7-1 B B2 B3A1A2解：若完全采用二人常數(shù)和對策的方法確定最優(yōu)純策略，則由maxminaA-minmaxas-0.5ijijjiij可得，局中人甲米用策略A3、局中人乙米用策略B1，各獲得50%的市場占有率。從計(jì)算結(jié)果可以看出，局中人甲采用策略A3、局中人乙采用策略B1,各獲得50%的市場占有率。某一決策問題的損益矩陣如表10-1所示，其中矩陣元素值為年利潤。表10-1 單位：元二一____事件E：§方案巳1 晶4020024003SO1009240200若各事件發(fā)生的概率尸是未知的，分別用maxmin決策準(zhǔn)則、maxmax決策準(zhǔn)則、拉普拉斯準(zhǔn)則和最小機(jī)會(huì)損失準(zhǔn)則選出決策方案。若P值仍是未知的，并且a是樂觀系數(shù)，問a取何值時(shí)，方案S1和S3是不偏不j 1 3倚的？若P=,P=,P=,那么用EMV準(zhǔn)則會(huì)選擇哪個(gè)方案？解：(1)采用maxmin準(zhǔn)則應(yīng)選擇方案S2，采用maxmax決策準(zhǔn)則應(yīng)選擇方案S］，米用Laplace準(zhǔn)則應(yīng)選擇方案S］，采用最小機(jī)會(huì)損失準(zhǔn)則應(yīng)選擇方案S］。(2)； (3)方案S1或S3。假設(shè)有外表完全相同的木盒100只，將其分為兩組，一組內(nèi)裝白球，有70盒，另一組內(nèi)裝黑球，有30盒?，F(xiàn)從這100盒中任取一盒，請你猜，如這盒內(nèi)裝的是白球，猜對了得500分，猜錯(cuò)了罰200分；如這盒內(nèi)裝的是黑球，猜對了得1000分，猜錯(cuò)了罰150分。有關(guān)數(shù)據(jù)列于表10-7。為使期望得分最多，應(yīng)選哪一種方案？試