全等三角形-提高練習含答案

-.z.全等三角形提高練習如圖所示，△ABC≌△ADE，BC的延長線過點E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度數(shù)。如圖，△AOB中，∠B=30°，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°，得到△A′OB′，邊A′B′與邊OB交于點C（A′不在OB上），則∠A′CO的度數(shù)為多少？如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分別是AC、BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)是多少？如圖所示，把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，若∠A′DC=90°，則∠A=已知，如圖所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，則AD是多少？如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點B、C作過點A的垂線BC、CE，垂足分別為D、E，若BD=3，CE=2，則DE=如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，交AD于G，AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論。如圖所示，在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面積是28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求DE的長。已知，如圖：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求證：AF⊥CD如圖，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點H，則BH與AC相等嗎？為什么？如圖所示，已知，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證：BE⊥AC△DAC、△EBC均是等邊三角形，AF、BD分別與CD、CE交于點M、N，求證：（1）AE=BD（2）CM=（3）△CMN為等邊三角形（4）MN∥BC已知：如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交于點F求證：AN=BM求證：△CEF為等邊三角形如圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等邊三角形；⑥FG∥AD，其中正確的有（）A．3個B.4個C.5個D.6個已知：BD、CE是△ABC的高，點F在BD上，BF=AC，點G在CE的延長線上，CG=AB，求證：AG⊥AF如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG求證：（1）AD=AG（2）AD與AG的位置關(guān)系如何17．如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD的中點，點F在BC上，且∠DAE=∠FAE求證：AF=AD-CF18．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延長線上一點，∠ADB=60°，E是AD上一點，且DE=DB，求證：AC=BE+BC19．如圖所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足為F，DB=DC，求證：BE=CF20．已知如圖：AB=DE，直線AE、BD相交于C，∠B+∠D=180°，AF∥DE，交BD于F，求證：CF=CD21．如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F(xiàn)是OC上一點，連接DF和EF，求證：DF=EF22．已知：如圖，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，且BD=CD，求證：（1）△BDE≌△CDF（2）點D在∠A的平分線上23．如圖，已知AB∥CD，O是∠ACD與∠BAC的平分線的交點，OE⊥AC于E，且OE=2，則AB與CD之間的距離是多少？24．如圖，過線段AB的兩個端點作射線AM、BN，使AM∥BN，按下列要求畫圖并回答：畫∠MAB、∠NBA的平分線交于E（1）∠AEB是什么角？（2）過點E作一直線交AM于D，交BN于C，觀察線段DE、CE，你有何發(fā)現(xiàn)？（3）無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD誰成立？并說明理由。25．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？26．正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，則S△BEF為多少？27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，點D是AB的中點，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延長線于E，求證：BC垂直且平分DE28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：DE=AD+BE（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，求證：DE=AD-BE（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系。1解：∵△ABC≌△AED∴∠D=∠B=50°∵∠ACB=105°∴∠ACE=75°∵∠CAD=10°∠ACE=75°∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個角的和）同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°2根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得∠B′=∠B，因為△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°，所以∠BOB′=52°，而∠A'CO是△B′OC的外角，所以∠A′CO=∠B′+∠BOB′，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．解答：解：∵△A′OB′是由△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，∠B=30°，∴∠B′=∠B=30°，∵△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°，∴∠BOB′=52°，∵∠A′CO是△B′OC的外角，∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．故選D．3全等三角形的性質(zhì)；對頂角、鄰補角；三角形角和定理．分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，根據(jù)鄰補角定義求出∠DEC、∠EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的角和定理求出即可．解答：解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°，∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC，

=180°-90°-60°=30°．4分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得知∠ACA′=35°，從而求得∠A′的度數(shù)，又因為∠A的對應(yīng)角是∠A′，即可求出∠A的度數(shù)．解答：解：∵三角形△ABC繞著點C時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△AB′C′

∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°

∴∠A′=55°，∵∠A的對應(yīng)角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°；故答案為：55°．點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)地性質(zhì)；圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞*個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動．其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變．解題的關(guān)鍵是正確確定對應(yīng)角．5因為AB=AC三角形ABC是等腰三角形所以AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因為AD垂直于BC于D，所以BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6解：∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠D=∠E∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE∵在△ABD與△CAE中{∠ABD=∠CAE∠D=∠EAB=AC∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE∵DE=AD+AE∴DE=BD+CE∵BD=3，CE=2∴DE=57證明：∵AD是∠BAC的平分線∴∠EAD＝∠FAD又∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED＝∠AFD＝90°邊AD公共∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS）∴AE＝AF即△AEF為等腰三角形而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線∴AD⊥底邊EF（等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡寫成“三線合一”）8AD平分∠BAC，則∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠DFA=90度，AD=AD所以△AED≌△AFDDE=DFS△ABC=S△AED+S△AFD28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE)DE=29AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD則△ABC≌△AEDAC=AD△ACD是等腰三角形∠CAF=∠DAFAF平分∠CAD則AF⊥CD10解：∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90∴∠CAD+∠C＝90∵BE⊥AC∴∠BEC＝∠ADB＝90∴∠CBE+∠C＝90∴∠CAD＝∠CBE∵AD＝BD∴△BDH≌△ADC（ASA）∴BH＝AC11解：（1）證明：∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定義），∴∠1＋∠2=90°（直角三角形兩銳角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）.∴∠2=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）.∵∠1＋∠2=90°（已證），所以∠1＋∠C=90°.∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形角和等于180°），∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC（垂直定義）；12證明：（1）∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中，AC=DC∠ACE=∠DCBEC=BC∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE=BD（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°．又點A、C、B在同一條直線上，∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，即∠D=60°．∴∠ACM=∠D．在△ACM和△D中，∠CAM=∠CDNAC=DC∠ACM=∠D∴△ACM≌△D（ASA）．∴CM=．(3)由（2）可知CM=,∠D=60°∴△CMN為等邊三角形(4)由(3)知∠CMN=∠M=∠D=60°∴∠CMN+∠MCB=180°∴MN//BC13分析：（1）由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，進而可由SAS得到△CAN≌△MCB，結(jié)論得證；（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，進而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形．解答：證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，在△CAN和△MCB中，

AC=MC，∠A=∠MCB，NC=BC，∴△CAN≌△MCB（SAS），∴AN=BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN=∠CMB，又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE，在△CAE和△CMF中，∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形．點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運用．14考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：由題中條件可得△ABE≌△CBD，得出對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，進而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確，進而可得出結(jié)論．解答：解：∵△ABC與△BDE為等邊三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABE=∠CBD，即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD

∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，又∵∠DBG=∠FBE=60°，∴△BGD≌△BFE，∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，∴△BFG是等邊三角形，∴FG∥AD，∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，∴△ABF≌△CGB，∴∠BAF=∠BCG，∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，∴∠AHC=60°，∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，∴B、G、H、F四點共圓，∵FB=GB，∴∠FHB=∠GHB，∴BH平分∠GHF，∴題中①②③④⑤⑥都正確．故選D．點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握．15考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：仔細分析題意，若能證明△ABF≌△GCA，則可得AG=AF．在△ABF和△GCA中，有BF=AC、CG=AB這兩組邊相等，這兩組邊的夾角是∠ABD和∠ACG，從已知條件中可推出∠ABD=∠ACG．在Rt△AGE中，∠G+∠GAE=90°，而∠G=∠BAF，則可得出∠GAF=90°，即AG⊥AF．解答：解：AG=AF，AG⊥AF．∵BD、CE分別是△ABC的邊AC，AB上的高．∴∠ADB=∠AEC=90°∴∠ABD=90°-∠BAD，∠ACG=90°-∠DAB，∴∠ABD=∠ACG在△ABF和△GCA中BF=AC∠ABD=∠ACGAB=CG．∴△ABF≌△GCA（SAS）∴AG=AF∠G=∠BAF又∠G+∠GAE=90度．∴∠BAF+∠GAE=90度．∴∠GAF=90°∴AG⊥AF．點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；要求學生利用全等三角形的判定條件及等量關(guān)系靈活解題，考查學生對幾何知識的理解和掌握，運用所學知識，培養(yǎng)學生邏輯推理能力，圍較廣．161、證明：∵BE⊥AC∴∠AEB＝90∴∠ABE+∠BAC＝90∵CF⊥AB∴∠AFC＝∠AFG＝90∴∠ACF+∠BAC＝90，∠G+∠BAG＝90∴∠ABE＝∠ACF∵BD＝AC，CG＝AB∴△ABD≌△GCA（SAS）∴AG＝AD2、AG⊥AD證明∵△ABD≌△GCA∴∠BAD＝∠G∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90∴AG⊥AD17過E做EG⊥AF于G，連接EF∵ABCD是正方形∴∠D=∠C=90°AD=DC∵∠DAE=∠FAE，ED⊥AD，EG⊥AF∴DE=EGAD=AG∵E是DC的中點∴DE=EC=EG∵EF=EF∴Rt△EFG≌Rt△ECF∴GF=CF∴AF=AG+GF=AD+CF18因為：角EDB=60°DE=DB所以：△EDB是等邊三角形，DE=DB=EB過A作BC的垂線交BC于F因為：△ABC是等腰三角形所以：BF=CF，2BF=BC又：角DAF=30°所以：AD=2DF又：DF=DB+BF所以：AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=【2DB+BC】（AE+ED）=2DB+BC，其中ED=DB所以：AE=DB+BC，AE=BE+BC19補充：B是FD延長線上一點；ED=DF（角平分線到兩邊上的距離相等）；BD=CD；角EDB=FDC（對頂角）；則三角形EDB全等CDF；則BE=CF；或者補充：B在AE邊上；ED=DF（角平分線到兩邊上的距離相等）；DB=DC則兩直角三角形EDB全等CDF（HL）即BE=CF20解：∵AF//DE∴∠D=∠AFC∵∠B＋∠D=180°,，∠AFC＋∠AFB=180°∴∠B=∠AFB∴AB=AF=DE△AFC和△EDC中：∠B=∠AFB,∠ACF=∠ECD(對頂角）,AF=DE∴△AFC≌△EDC∴CF=CD21證明：∵點P在∠AOB的角平分線OC上，PE⊥OB，PD⊥AO，∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，∴∠DPF=∠EPF，在△DPF和△EPF中PD=PE∠DPF=∠EPFPF=PF（SAS），∴△DPF≌△EPF∴DF=EF．22考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得△BED≌△CFD；（2）連接AD．利用（1）中的△BED≌△CFD，推知全等三角形的對應(yīng)邊ED=FD．因為角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以點D在∠A的平分線上．解答：證明：（1）∵BF⊥AC，CE⊥AB，∠BDE=∠CDF（對頂角相等），∴∠B=∠C（等角的余角相等）；在Rt△BED和Rt△CFD中，∠B=∠CBD=CD(已知)∠BDE=∠CDF，∴△BED≌△CFD（ASA）；（2）連接AD．由（1）知，△BED≌△CFD，∴ED=FD（全等三角形的對應(yīng)邊相等），∴AD是∠EAF的角平分線，即點D在∠A的平分線上．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．常用的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，HL等，做題時需靈活運用．23考點：角平分線的性質(zhì)．分析：要求二者的距離，首先要作出二者的距離，過點O作FG⊥AB，可以得到FG⊥CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，OE=OF=OG，即可求得AB與CD之間的距離．解答：解：過點O作FG⊥AB，∵AB∥CD，∴∠BFG+∠FGD=180°，∵∠BFG=90°，∴∠FGD=90°，∴FG⊥CD，∴FG就是AB與CD之間的距離．∵O為∠BAC，∠ACD平分線的交點，OE⊥AC交AC于E，∴OE=OF=OG（角平分線上的點，到角兩邊距離相等），∴AB與CD之間的距離等于2?OE=4．故答案為：4．點評：本題主要考查角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，作出AB與CD之間的距離是正確解決本題的關(guān)鍵．24考點：梯形中位線定理；平行線的性質(zhì)；三角形角和定理；等腰三角形的性質(zhì)．專題：作圖題；探究型．分析：（1）由兩直線平行同旁角互補，及角平分線的性質(zhì)不難得出∠1+∠3=90°，再由三角形角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的結(jié)論；（2）過E點作輔助線EF使其平行于AM，由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系，進一步求出邊之間的關(guān)系；（3）由（2）中得出的結(jié)論可知EF為梯形ABCD的中位線，可知無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E，AD+BC的值總為一定值．解答：解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分別為∠MAB、∠NBA的平分線，∴∠1+∠3=12（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB為直角；（2）過E點作輔助線EF使其平行于AM，如圖則EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F為AB的中點，又EF∥AD∥BC，根據(jù)平行線等分線段定理得到E為DC中點，∴ED=EC；（3）由（2）中結(jié)論可知，無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E，總滿足EF為梯形ABCD中位線的條件，所以總有AD+BC=2EF=AB．點評：本題是計算與作圖相結(jié)合的探索．對學生運用作圖工具的能力，以及運用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)，三角形角和定理，及梯形中位線等基礎(chǔ)知識解決問題的能力都有較高的要求．25如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5考點：角平分線的性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形高相等，底分別是20，30，40，所以面積之比就是2：3：4．解答：解：利用同高不同底的三角形的面積之比就是底之比可知選C．故選C．點評：本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式．做題時應(yīng)用了三個三角形的