常微分方程的差分方法

常微分方程的差分方法第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三章常微分方程的差分方法1．教學(xué)內(nèi)容：

Euler方法：Euler公式，單步顯式公式極其局部截?cái)嗾`差；后退Euler公式，單步隱式公式極其局部截?cái)嗾`差；梯形公式，預(yù)測(cè)校正公式與改進(jìn)Euler公式。2．重點(diǎn)難點(diǎn)：

Euler公式，預(yù)測(cè)校正公式與改進(jìn)Euler公式3．教學(xué)目標(biāo)：

了解歐拉方法的幾何意義、對(duì)給出的初值問(wèn)題，能利用Euler公式，改進(jìn)Euler公式進(jìn)行數(shù)值求解第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六科學(xué)技術(shù)當(dāng)中常常需要求解常微分方程的定解問(wèn)題。這類問(wèn)題的最簡(jiǎn)單的形式，是本章著重要考察的一階方程的初值問(wèn)題：（1）（2）本章中我們假定右函數(shù)適當(dāng)光滑以保證初值問(wèn)題解的存在唯一。雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但求解從實(shí)際問(wèn)題中歸結(jié)出來(lái)的微分方程要靠數(shù)值解法。初值問(wèn)題（1）、（2）局部解的唯一存在條件：若連續(xù)且滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L，對(duì)一切有第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六差分法是一類重要的數(shù)值方法，這類方法是要尋求離散節(jié)點(diǎn)上的近似解，相鄰節(jié)點(diǎn)間距稱為步長(zhǎng)。初值問(wèn)題的各種差分方法都采用“步進(jìn)式”，即求解過(guò)程順著節(jié)點(diǎn)排列的次序一步一步地向前推進(jìn)。描述這類算法，只要給出從已知信息計(jì)算的遞推公式，這類計(jì)算格式統(tǒng)稱為差分格式。微分方程初值問(wèn)題（1）、（2）的數(shù)值解法，就是求它的解y(x)在一系列節(jié)點(diǎn)上的近似值，用。稱為步長(zhǎng)，一般總?cè)為常數(shù)。第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六3、1歐拉方法1、歐拉格式

微分方程的本質(zhì)特征是方程中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這也是它難于求解的癥結(jié)所在。數(shù)值解法的第一步就是設(shè)法消除其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這項(xiàng)手續(xù)稱為離散化。實(shí)現(xiàn)離散化的基本途徑就用差商代替導(dǎo)數(shù)。譬如，若在點(diǎn)處列出方程并用差商代替，結(jié)果有

第五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè)用的近似值代入上式右端，記所求結(jié)果為，這樣導(dǎo)出的計(jì)算公式（3）已先期算出已知節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)這就是眾所周知的歐拉（Euler）格式，若初值是已知的，則依據(jù)上式即可逐步算出數(shù)值解第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六yx0仿此不斷地作下去……歐拉方法的幾何解釋Y1第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1求解初值問(wèn)題（其解析解為）解：設(shè)步長(zhǎng)h=0.1，由歐拉公式（3）有：所以，……第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六計(jì)算結(jié)果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.10001.09450.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六解析解數(shù)值解第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六

為簡(jiǎn)化分析，人們常假設(shè)在第n步求得的為準(zhǔn)確即的前提下估計(jì)誤差

這種誤差稱為局部截?cái)嗾`差。誤差估計(jì)為：y(xn+1)-[y(xn)+hf（xn,y(xn)）]

如果不作這一假定，累積了n步的誤差，稱為整體截?cái)嗾`差。其表達(dá)式為y(xn+1)-yn+1=y(xn+1)-［yn+hf(xn,yn)］第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六如果一種數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差為

則稱它的的精度是p階的，或稱之為p階方法。對(duì)于歐拉格式（3），假定則有：第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六由此我們可知?dú)W拉格式僅為一階方法。將在點(diǎn)泰勒展開(kāi)：因此有：

雖然歐拉公式（3）的精確度很差，但卻體現(xiàn)了數(shù)值方法的基本思想。第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、隱式歐拉格式設(shè)改用向后差商替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)再離散化，即可導(dǎo)出下列格式（5）該格式右端含有未知的它實(shí)際上是個(gè)關(guān)于的函數(shù)方程。故稱該格式為隱式歐拉格式。由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隱式歐拉格式也是一階方法，精度與歐拉格式相當(dāng)。但計(jì)算遠(yuǎn)比顯式格式困難得多。第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六3、兩步歐拉格式設(shè)改用中心差商替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，再離散化，即可導(dǎo)出下列格式

設(shè)用的近似值，的近似值代入上式右端，記所求結(jié)果為，這樣導(dǎo)出的計(jì)算公式（6）第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六無(wú)論是顯式歐拉格式還是隱式歐拉格式，它們都是單步法，其特點(diǎn)是計(jì)算時(shí)只用到前一步的信息，而該格式卻調(diào)用了前面兩步的信息，兩步歐拉格式因此而得名。

兩步歐拉格式具有更高的精度，可以驗(yàn)證它是二階方法。事實(shí)上，由泰勒展開(kāi)式知所以：第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六故有：假設(shè)則：故兩步歐拉格式是二階方法。第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六3、2改進(jìn)的歐拉方法為了改進(jìn)歐拉方法的精度，我們將微分方程（1）兩邊從x0到x對(duì)x積分，于是得到與初值問(wèn)題（1）、（2）等價(jià)的積分方程因此，求解y(x)就轉(zhuǎn)化為計(jì)算上式右端的積分。1、梯形格式第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六一般地有：（7）為了求得的近似值，只要用數(shù)值積分方法求出積分的近似值就可以了，而選用不同的積分方法，便導(dǎo)出不同的差分格式。例如用矩形公式計(jì)算，得代入（7）式得第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六若用分別近似代替則得計(jì)算公式此式正是歐拉格式為了提高精度，改用梯形公式計(jì)算積分，即代入（7）式得第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六用分別近似代替則得計(jì)算公式（8）與梯形求積公式相呼應(yīng)的這一差分格式稱為梯形格式。它實(shí)際上是顯式歐拉格式與隱式歐拉格式的算術(shù)平均。第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六例：用梯形法求解

解析解解：設(shè)步長(zhǎng)h=0.1，由梯形格式（8）有：得：整理得：所以：第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、改進(jìn)的歐拉格式歐拉方法（3）是一種顯式算法，計(jì)算量小，但精度低；梯形方法（8）雖然提高了精度，但它是一種隱式算法，必須通過(guò)解方程或者迭代過(guò)程求解，計(jì)算量大。我們綜合這兩種方法，先用歐拉法求得一個(gè)初步的近似值，記為，稱之為預(yù)報(bào)值，然后用它替代梯形法右端的再直接計(jì)算，得到校正值。這樣建立的預(yù)報(bào)－校正系統(tǒng)稱為改進(jìn)的歐拉格式：預(yù)報(bào)校正（9）第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六把預(yù)報(bào)代入校正中，便可表為或表為下列平均化形式：可以驗(yàn)證改進(jìn)的歐拉格式與梯形格式具有同等的精度，但梯形格式是隱式的，而改進(jìn)的歐拉格式卻是顯式的，便于計(jì)算。（10）第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六例2用改進(jìn)的歐拉格式求解初值問(wèn)題（其解析解為）解：設(shè)步長(zhǎng)h=0.1，由改進(jìn)的歐拉格式（10）有：第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六n=0時(shí)n=1時(shí)第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六計(jì)算結(jié)果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.09591.09450.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61651.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321改進(jìn)的歐拉格式明顯地改善了精度第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六解析解歐拉格式改進(jìn)的歐拉格式第