【人教數(shù)學(xué)A版選修】《定積分在物理中的應(yīng)用》

1．7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1．7.2定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.應(yīng)用定積分求平面圖形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程及變力做功．2．將實(shí)際問題抽象為定積分的數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用定積分的性質(zhì)來求解．

課堂互動(dòng)講練知能優(yōu)化訓(xùn)練課前自主學(xué)案1.7.2課前自主學(xué)案溫故夯基1．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么_________________________________．><<知新益能連續(xù)恒有f(x)≥0y＝f(x)曲邊梯形2．定積分在物理中的應(yīng)用(1)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即______________W＝Fs(2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向移動(dòng)了s(單位：m)，則力F所作的功為________；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間[a，b]上的定積分，即________________.課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一用定積分求平面圖形的面積考點(diǎn)突破用定積分求“曲邊圖形”面積的步驟：(1)先畫出草圖，確定所求面積是哪部分；(2)解方程組得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，確定被積函數(shù)以及積分的上、下限；(3)把所求的面積用定積分表示；(4)根據(jù)微積分基本定理求出面積．例1【思路點(diǎn)撥】理解定積分的幾何意義，準(zhǔn)確畫出圖形，明確所求面積，并合理分割圖形，結(jié)合定積分求解．【解】

(1)作出曲線y＝8－x2，y＝x2的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．【思維總結(jié)】由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化，通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，將積分區(qū)間進(jìn)一步劃分，然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限．變式訓(xùn)練1求由曲線y＝x2與直線x＋y＝2圍成的圖形的面積．解：如圖，先求出拋物線與直線的交點(diǎn)，考點(diǎn)二求作變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程、位移路程是位移的絕對(duì)值之和，因此在求路程時(shí)，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號(hào)不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間，然后分別計(jì)算，否則會(huì)出現(xiàn)計(jì)算失誤．例2

有一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求(1)P從原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)t＝3時(shí)，離開原點(diǎn)的路程；(2)當(dāng)t＝5時(shí)，P點(diǎn)的位置；(3)從t＝0到t＝5時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程；(4)P從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t后又返回原點(diǎn)時(shí)的t值．【思路點(diǎn)撥】首先要確定的是所要求的是路程還是位移，然后用相應(yīng)的方法求解．變式訓(xùn)練2列車以72km/h的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度－0.4m/s2，問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長時(shí)間以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動(dòng)？解：已知列車速度v0＝72km/h＝20m/s，列車制動(dòng)時(shí)獲得加速度a＝－0.4m/s2.設(shè)列車由開始制動(dòng)到經(jīng)過ts后的速度為v，則v＝v0＋at＝20－0.4t.令v＝0，得t＝50(s)．考點(diǎn)三變力做功例3

設(shè)有一根長25cm的彈簧，若加以100N的力，則彈簧伸長到30cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成正比，求使彈簧由25cm伸長到40cm所做的功．【思路點(diǎn)撥】先求出拉力F(x)，然后再求功．【思維總結(jié)】解決變力作功注意以下兩個(gè)方面：(1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵的一步．(2)根據(jù)變力做功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題．變式訓(xùn)練3在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推到點(diǎn)b處，計(jì)算在移動(dòng)過程中，氣體壓力所做的功．方法技巧方法感悟1．在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限．2．要把定積分和用定積分計(jì)算平面圖形的面積這兩個(gè)概念區(qū)分開，定積分是一種積分和的極限，可為正，可為負(fù)，也可為零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當(dāng)f(x)≤0時(shí)要通過絕對(duì)值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個(gè)曲邊梯形的面積，然后相加起來．3．用定積分解決簡(jiǎn)單的物理問題，關(guān)鍵是要結(jié)合物理學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容，將物理意義轉(zhuǎn)化為用定積分解決．失誤防范1．求定積分和利用定積分計(jì)算平面圖形的面積是兩個(gè)不同的概念．定積分是一個(gè)和式的極限，它可正、可負(fù)、可為零．而平面圖形的面積在一定意義下總為正，特別是當(dāng)曲線有在x