【2022屆高考數(shù)學一輪復習】《導數(shù)的概念與導數(shù)的運算》

-1-第9講導數(shù)的概念與導數(shù)的運算了解導數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義，能用導數(shù)定義，求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的導數(shù)，能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)．-1-基礎自查1．平均變化率函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為

2．導數(shù)及其幾何意義(1)定義設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，當Δx無限趨近于0時，比值＝無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f(x)在x＝x0處

，并稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點x＝x0處的

，記作f′(x0)．可表示為“當Δx→0時，→A”

可導導數(shù)-1-(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是過曲線y＝f(x)上點

的切線的斜率．3．導函數(shù)若f(x)對于區(qū)間(a，b)內任一點都可導，則f(x)在各點的導數(shù)也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)該函數(shù)稱為f(x)的導函數(shù)，記作f′(x)．(x0，f(x0)4．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝Cf′(x)＝

,f(x)＝xα(α為常數(shù))f′(x)＝

,f(x)＝sinxf′(x)＝

,f(x)＝cosxf′(x)＝

,f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝

,f(x)＝exf′(x)＝

,f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝0αxα－1cos_x－sin_xaxlnaex

-1-5.導數(shù)運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝

；(2)[cf(x)]′＝

(c為常數(shù))；(3)[f(x)·g(x)]′＝

；(4)′＝(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)cf′(x)Uf′(x)g(x)＋f(x)g′(x)6．若y＝f(u)，u＝ax＋b，則yx′＝

，即yx′＝

.yu′·ux′yu′·a-1-聯(lián)動思考想一想：求導函數(shù)的流程圖是什么？議一議：f′(x)、f′(x0)及[f(x0)]′是什么關系？答案：f′(x)與f′(x0)是一般與個別的關系．f′(x0)是導函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0，而[f(x0)]′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，f(x0)是常數(shù)，則[f(x0)]′＝0.-1-聯(lián)動體驗1．(2010·江蘇連云港高考模擬)若曲線f(x)＝x4－x在點P處的切線平行于直線

3x－y＝0，則點P的坐標為__________．答案：(1,0)2．函數(shù)y＝xcosx－sinx的導數(shù)為____________．解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsin

x－cosx＝－xsinx.

答案：－xsinx3．(2010·江蘇南通模擬)曲線y＝x3－x2＋5在x＝1處的切線方程為

__________．解析：∵y′＝f′(x)＝x2－2x，∴f′(1)＝－1，又f(1)＝，∴切線方程為：y－＝－(x－1)，即3x＋3y－16＝0.

答案：3x＋3y－16＝0

-1-4．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值為__________．解析：(1)∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.

答案：5．已知曲線y＝－3lnx的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為

________．答案：3-1-考向一利用導數(shù)的定義求導數(shù)-1-反思感悟：善于總結，養(yǎng)成習慣利用定義求函數(shù)f(x)導數(shù)的步驟：①求函數(shù)值的增量Δf＝f(x＋Δx)－f(x)；②計算平均變化率-1-考向二利用求導公式法則求導數(shù)-1-反思感悟：善于總結，養(yǎng)成習慣對于復雜函數(shù)求導，要選取恰當?shù)姆椒ǎ瑢馕鍪竭M行合理變形，轉化為較易求導的結構形式，如(3)(4)．再求導數(shù)，但必須注意等價變形．-1--1-考向三復合函數(shù)的導數(shù)-1--1-考向四導數(shù)的幾何意義【例3】(1)已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為________．

(2)設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝

lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________．答案：(1)2

(2)－2-1-反思感悟：善于總結，養(yǎng)成習慣函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))

處的切線的斜率，即k＝f′(x0)．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－

x0)．因此求函數(shù)對應曲線在某一點處的切線的斜率，只要求函數(shù)在該點處的導數(shù)即可．導數(shù)的幾何意義建立了導數(shù)與解析幾何知識的關聯(lián)，運用導數(shù)知識解決相應的解析幾何問題，是在知識交匯處命題的一個熱點．-1-遷移發(fā)散3．已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在點

(1，f(1))處的切線方程是__________．解析：∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8.∴f(2－x)＝2f(x)－x2＋4x－4＋16－8x－8.

將f(2－x)代入f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8

得f(x)＝4f(x)－2x2－8x＋8－x2＋8x－8.∴f(x)＝x2.∴y＝f(x)在(1，f(1))處的切線斜率為y′|x＝1＝2.∴函數(shù)y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

答案：y＝2x－1-1-課堂總結感悟提升1．函數(shù)在某一點處的導數(shù)值的幾何意義就是函數(shù)曲線在這一點處的切線斜率．因此求曲線上某一點的切線方程時，只需通過求這一點處的導數(shù)獲取斜率，就可求出切線方程．導函數(shù)概念的引入，使函數(shù)在某一點處的導數(shù)又有了更深一層的理解．因為函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)和f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)是函數(shù)與函數(shù)值的關系，所以求f′(x0)，可以先求f′(x)，再令x＝x0，求f′(x)的函數(shù)值f′(x0)即可．2．弄清“函數(shù)在一點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)(導數(shù))”的區(qū)別與聯(lián)系．

(1)函數(shù)在一點處的導數(shù)f′(x0)是一個常數(shù)，不是變量．

(2)函數(shù)的導數(shù)，是針對某一區(qū)間內任意x而言的．函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內可導，是指對于區(qū)間(a，b)內的每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數(shù)

f′(x0)，根據(jù)函數(shù)的定義，在開區(qū)間(a，b)內就構成了一個新的函數(shù)，也就是函數(shù)f